棒を2倍長くすると、8倍下がる片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重）

前の単元との違い前の単元で積分して出した $\sP\,\sL^3/(3\,\sE\,\sI)$ を、使う側から読みます。どの数字が、どれだけ効くかを見ます。

壁から突き出した棒は、どれだけ下がる？

看板のアーム、棚受け、ロボットの腕、プールの飛び込み台。どれも、片方の端だけが壁や柱に固定されて、もう片方が空中に出ています。こういう棒を片持ちばりといいます。

先に重さがかかると、先端が少し下がります。この下がった量がたわみ $\sdelta$ です。

ロボットの腕なら、先端が 1 mm 下がるだけで部品をつかみ損ねます。壁に付けた棚なら、棚板の先が下がって、載せた本が傾きます。たわみは「壊れるかどうか」より手前で問題になる量です。

この単元では、1本の看板のアームで考えます。店の壁から、鋼の角棒が 800 mm 突き出しています。断面は幅 15 mm、高さ 30 mm です。先に 200 N（約 20 kg）の看板をつるします。

先端は、何 mm 下がるでしょうか。

予想してから読むこの看板のアームを2倍の 1,600 mm に伸ばすと、先端の下がりは何倍になる？

A2倍B4倍C8倍

公式はこれ

たわみの微分方程式と積分法 で、曲げモーメントを2回積み上げて出した式です。

$$\sdelta = \dfrac{\sP\,\sL^3}{3\,\sE\,\sI}$$

公式を、3つのかたまりに分けて読む

この式は、3つの部分の掛け算になっています。

$$\sdelta = \underbrace{\sP\,\sL}_{\text{根元を曲げる力}} \times \underbrace{\dfrac{1}{\sE\,\sI}}_{\text{曲がりやすさ}} \times \underbrace{\dfrac{\sL^2}{3}}_{\text{長さで広がる}}$$

1. 根元を曲げる力 $\sP\,\sL$　根元で切って、先の部分をシーソーと見ます。力 × 距離で、根元の曲げモーメントは $\sP\,\sL$ です（せん断力図と曲げモーメント図）。同じ重さでも、壁から遠いところにつるすほど、根元を強く曲げます。柄の長いスパナほど、ボルトがよく回るのと同じ「力 × 距離」です。

   

2. 曲がりやすさ $1/\sE\,\sI$　材料の硬さ $\sE$ と、断面の形 $\sI$ の掛け算が「曲がりにくさ」（曲げ剛性）です。分母にあるので、大きいほど曲がりません。

3. 長さで広がる $\sL^2/3$　根元で少し傾くと、その傾きは先端まで続きます。腕が長いほど、先端で大きな「ずれ」になります。3 がどこから来るかは、次の節で見ます。

$\sL$ は、1つ目のかたまりに1回、3つ目のかたまりに2回出てきます。合わせて3回なので、$\sL^3$ になります。長さを2倍にすると、根元を曲げる力が2倍、先での広がりが4倍で、たわみは 2 × 4 = 8倍です。

「3」の出どころ　曲がりを、先端から見る

たわみの微分方程式と積分法 では、積分の 1/2 − 1/6 から 3 が出ました。ここでは、同じ 3 を、図心の単元のシーソーで見ます。

1. 1か所だけ曲がったとき。棒の途中の短い区間だけが、少し折れ曲がったとします。その先の部分は、まっすぐなまま、その折れ角だけ傾きます。

定規の根元を少し傾けると、先が大きく動きます。先端の下がりは、次の掛け算です。

$$\text{先端の下がり} = \text{折れ角} \times \text{先端までの距離}$$

2. 全部の区間を足す。本当の棒は、あらゆる場所で少しずつ曲がっています。折れ角は、その場所の曲がり具合 $\sM/\sE\sI$ × 区間の長さです（前の単元）。区間ごとに上の掛け算をして、全部足せば、先端のたわみです。

$$\sdelta = \sum \Bigl(\underbrace{\dfrac{\sM}{\sE\,\sI} \times \Delta\sx}_{\text{折れ角}}\Bigr) \times \text{先端までの距離}$$

3. シーソーの形になっている。この足し算は、図心（断面の中心） のシーソーと同じ「重さ × 距離」の形です。重さの代わりに、曲がり具合のグラフの面積が乗っています。シーソーの決まりから、全部足した答えは「面積の合計 × 図心までの距離」になります。

4. 片持ちばりの曲がり具合は、三角形。曲げモーメントは根元で $\sP\sL$、先端で 0 の直線でした。だから曲がり具合のグラフは、根元で $\sP\sL/\sE\sI$、先端で 0 の三角形です。

• 面積は、$\dfrac{1}{2} \times \sL \times \dfrac{\sP\,\sL}{\sE\,\sI} = \dfrac{\sP\,\sL^2}{2\,\sE\,\sI}$。これは先端の傾きと同じです（前の単元の1回目の積み上げ）。
• 三角形の図心は、太い側（底辺）から高さの 1/3 のところでした（図心の単元）。根元から $\sL/3$、先端からは $2\sL/3$ です。

5. 掛ける。 $$\sdelta = \underbrace{\dfrac{\sP\,\sL^2}{2\,\sE\,\sI}}_{\text{面積}} \times \underbrace{\dfrac{2\,\sL}{3}}_{\text{図心から先端まで}} = \dfrac{\sP\,\sL^3}{3\,\sE\,\sI}$$

1/2 × 2/3 = 1/3。3 は、「三角形の面積の 1/2」と「図心までの 2/3」から出てくる数です。曲がっているのが根元に寄っているので、先端までの距離が 2/3 で済みます。もし曲げモーメントがどこでも根元と同じなら、曲がり具合のグラフは長方形で、面積は1倍、図心は真ん中の 1/2 なので、係数は 1/2 になります。

看板のアームで確かめる。まず断面二次モーメントです。

$$\sI = \dfrac{\sb\,\sh^3}{12} = \dfrac{15 \times 30^3}{12} = 33{,}750\ \mathrm{mm^4}$$

次に、三角形の面積（先端の傾き）です。

$$\dfrac{\sP\,\sL^2}{2\,\sE\,\sI} = \dfrac{200 \times 800^2}{2 \times 206{,}000 \times 33{,}750} = 0.009205\ \mathrm{rad}$$

これに、図心から先端までの距離 $2 \times 800/3 = 533.3\ \mathrm{mm}$ を掛けます。

$$\sdelta = 0.009205 \times 533.3 = 4.91\ \mathrm{mm}$$

公式に直接入れても、同じ 4.91 mm です。

高さが3乗で効く理由　断面二次モーメント $\sI$ の中身

$\sI$ は、断面二次モーメント で出した「断面の形の曲がりにくさ」です。1文で振り返ると、断面を帯に切り、帯の面積 × 中立軸からの距離² を全部足したものです。

$$\sI = \sum \bigl(\text{帯の面積} \times \text{中立軸からの距離}^2\bigr)$$

距離が2回かかるのは、帯の伸び（力）も、シーソーの腕の長さも、距離に比例するからでした。下の図では、遠い帯ほど濃く塗っています。

長方形（幅 $\sb$、高さ $\sh$）では、$\sI = \sb\,\sh^3/12$ です。

• 幅 $\sb$ は1乗。幅を2倍にするのは、同じ断面を2つ並べるのと同じです。帯の面積が2倍になるので、$\sI$ も2倍です。
• 高さ $\sh$ は3乗。高さを2倍にすると、帯の面積が2倍になります。しかも、帯が中立軸から2倍遠くなり、距離の2乗で4倍効きます。2 × 4 = 8倍です。

上の図の2本は、同じ断面積でも $\sI$ が4倍違います。たわみは $\sI$ に反比例するので、立てた棒のたわみは、寝かせた棒の4分の1です。

「3乗」は、長方形の場合の数です。形が変われば、乗数も変わります。

中立軸の近くの材料は、曲がりにくさにあまり効きません。だから、H形鋼や管のように、材料を中立軸から遠いところに集めた形は、軽いのに曲がりにくくなります。

どの数字がいちばん効く？

それぞれの数字を1割（10%）だけ変えたとき、たわみがどう変わるかを並べてみます。

長さと断面の高さは、ほかの3つの約3倍効きます（33%・25% に対して 9〜10%）。

看板のアームに戻る

最初の問いに戻ります。長さ 800 mm、幅 15 mm・高さ 30 mm の鋼の角棒に、200 N の看板。先端は 4.91 mm 下がります。

看板を壁からさらに離して、アームを 2倍の 1,600 mm にすると、たわみは8倍の 39.3 mm です。同じ棒のままでは、看板がはっきり傾いて見えます。

長くしたいなら、棒の高さを増やします。高さを2倍の 60 mm にすれば、8倍が打ち消されて、たわみは元の 4.91 mm に戻ります。

動かしてみよう

長さ $\sL$ のスライダーを右へ動かして、棒が伸びるのに合わせて、下がりがどれだけ急に増えるか見てください（薄い線が初期値の図です）。次に、高さ $\sh$ を少しだけ大きくしてみてください。

たわみは実際にはとても小さいので、図では、見やすいように拡大して描いています。図の下の「たわみの描き方」で、2つの描き方を切り替えられます。「倍率を固定」では、倍率が整数のまま動かないので、数字を変えるとたわみの大きさがそのまま図に出ます。「実寸」では、拡大しない本当の大きさになります。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1アームの長さ L を2倍の 1,600 mm にする（ほかは初期値のまま）（まだ）
2. 2長さを 800 mm に戻して、高さ h を2倍の 60 mm にする（まだ）
3. 3寸法は初期値のまま、材料の硬さ E をアルミの 70 GPa にする（まだ）

鋼 206 GPaアルミ 70 GPa木 9 GPa

P荷重−N＋

Lはりの長さ−mm＋

E縦弾性係数（ヤング率）−GPa＋

b断面の幅−mm＋

h断面の高さ−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる先端のたわみは、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

たわみの描き方いまの倍率　×10

倍率を固定実寸

たわみは実際には小さいので、見やすいように拡大して描いています。倍率は、初期値のときの ×10 のまま変えないので、数字を変えると、たわみの大きさが、そのまま図に出ます。

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{\delta} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{3\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}}$$$$= \dfrac{200 \times 800^3}{3 \times 206{,}000 \times 33{,}750}$$$$= 4.91\ \mathrm{mm}$$

先端のたわみ

$\htmlClass{q-displacement}{\delta} = 4.91\ \mathrm{mm}$

先端のたわみ角

$\htmlClass{q-displacement}{\theta} = 0.009205\ \mathrm{rad}$

最大曲げ応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = 71.11\ \mathrm{MPa}$

最大曲げモーメント

$\htmlClass{q-moment}{M_{\max}} = 160{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$

ほかの値（2 個）

断面二次モーメント

$\htmlClass{q-material}{I} = 33{,}750\ \mathrm{mm^4}$

断面係数

$\htmlClass{q-material}{Z} = 2{,}250\ \mathrm{mm^3}$

途中の計算（導出）を見る

1. 断面二次モーメント（長方形断面）

   $$\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{15 \times 30^3}{12} = 33{,}750\ \mathrm{mm^4}$$

2. 先端のたわみ

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{3\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{200 \times 800^3}{3 \times 206{,}000 \times 33{,}750} = 4.91\ \mathrm{mm}$$

3. 先端のたわみ角

   $$\htmlClass{q-displacement}{\theta} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^2}{2\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{200 \times 800^2}{2 \times 206{,}000 \times 33{,}750} = 0.009205\ \mathrm{rad}$$

4. 最大曲げモーメント（固定端）

   $$\htmlClass{q-moment}{M_{\max}} = \htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L} = 200 \times 800 = 160{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$$

5. 最大曲げ応力（固定端の上下の面）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M_{\max}}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{160{,}000}{2{,}250} = 71.11\ \mathrm{MPa}$$

よくある勘違い

「強い鋼にすれば、曲がらなくなる」

「強い」と「曲がりにくい」は、別のものです。先に言葉を分けます。

ガラスの棒は、硬いのに、曲げすぎると急に割れます。硬いことと、強いことは別です。

ここでいう「硬さ」は、爪で引っかいて傷がつくかどうか（硬度）ではなく、力をかけたときの変形のしにくさです。材料の硬さを表す数値が、縦弾性係数 $\sE$ です。

鋼には、安い普通の鋼も、高価な高強度の鋼もあります。高強度の鋼は、壊れるまでに耐えられる力が大きい鋼です。ところが $\sE$ は、どちらもほぼ同じ約 206 GPa です。そのため、同じ荷重をかけたときのたわみも、同じです。高強度の鋼は、もっと重いものを載せても壊れない、というだけです。

曲がりにくさを決めているものは2つあります。材料の硬さ $\sE$ と、断面の形 $\sI$ です。掛け算した $\sE\,\sI$ が、はり全体の曲がりにくさ（曲げ剛性）です。たわみを減らしたいときは、この2つのどちらかを大きくします。

「同じ棒なら、向きはどうでもいい」

大違いです。上で見たとおり、$\sI$ は高さ $\sh$ の3乗で決まるので、同じ角棒を立てて使うか寝かせて使うかで、たわみが何倍も変わります（例題2）。

この公式が使える条件

• たわみが、棒の長さに比べて十分小さい（長さの1割くらいまで）
• 荷重を外すと元に戻る範囲（弾性の範囲）
• 棒の重さは考えない。棒の太さは根元から先まで同じ

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

積分で出す：出発点の式 $\sE\,\sI\,d^2\sv/d\sx^2 = -\sM$ は、たわみの微分方程式と積分法 で出しました。下向きのたわみを $\sv$、壁からの位置を $\sx$ とすると、$\sM = -\sP(\sL - \sx)$ なので、

$$\sE\,\sI\,\dfrac{d^2\sv}{d\sx^2} = \sP\,(\sL - \sx)$$

右辺の大きさは、根元で $\sP\,\sL$、先端で 0 です。2回積分すると、

$$\sE\,\sI\,\sv = \sP\left(\dfrac{\sL\,\sx^2}{2} - \dfrac{\sx^3}{6}\right) + C_1\,\sx + C_2$$

根元は壁に固定されていて、下がらず傾きもしないので、$\sx = 0$ で $\sv = 0$、$d\sv/d\sx = 0$。これで $C_1 = C_2 = 0$ になり、

$$\sv(\sx) = \dfrac{\sP\,\sx^2\,(3\sL - \sx)}{6\,\sE\,\sI}$$

先端 $\sx = \sL$ を入れると $\sdelta = \sP\,\sL^3/(3\,\sE\,\sI)$ です。

図心で出す方法と同じになる理由：本文の足し算を、積分で書くと次のようになります。

$$\sdelta = \int_0^{\sL} \dfrac{\sM(\sx)}{\sE\,\sI}\,(\sL - \sx)\,d\sx = \dfrac{\sP}{\sE\,\sI}\int_0^{\sL} (\sL - \sx)^2\,d\sx = \dfrac{\sP\,\sL^3}{3\,\sE\,\sI}$$

$\int_0^{\sL} (\sL-\sx)^2\,d\sx = \sL^3/3$ の 1/3 は、断面二次モーメントの 1/12 が出てきたのと同じ「距離² を細かく足す」計算です。

$\sI = \sb\,\sh^3/12$：中立軸からの距離を $y$ とすると、

$$\sI = \int y^2\,dA = \int_{-\sh/2}^{\sh/2} y^2\,\sb\,dy = \sb \cdot \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{\sh}{2}\right)^3 = \dfrac{\sb\,\sh^3}{12}$$