同じ重さでも、H形は正方形の10倍曲がりにくい断面二次モーメント

同じ定規なのに、立てると曲がらない

プラスチックの定規を、2つの台に平らに渡して、真ん中を指で押します。定規は、ぐにゃりと曲がります。

今度は、同じ定規を、長い軸のまわりに 90° 回して、立てて渡します。同じ力で押しても、びくともしません。

材料も、長さも、重さも、同じです。ちがうのは、置き方だけです。

置き方で変わる、この曲がりにくさを、1つの数にしたものが、断面二次モーメント $\sI$ です。

立てるだけで、曲がりにくさは何倍にもなります。その倍率は、どこから来るのでしょうか。

予想してから読む幅 30 mm・厚さ 2 mm の定規。平らに置いたときと比べて、立てると、曲がりにくさは何倍？

A15倍B225倍C3,375倍

遠い帯ほど、2乗で効く

まず、図心（断面の中心） の単元のおさらいです。

はりを曲げると、上のほうは縮み、下のほうは伸びます。その間の、長さの変わらない線が中立軸でした。中立軸は図心を通ります。長方形なら、高さの真ん中です。

断面を、横に薄い帯に切ると、中立軸から遠い帯ほど、大きく伸び縮みします。だから、1本の帯が受け持つ力は、「距離 × 面積」に比例しました。

ここからが、この単元の話です。

はりの切り口を、横から見ます。曲げると、切り口は、中立軸を支点にして少し回ります。縦に立てたシーソーと同じです。

帯の力は、この切り口を押したり引いたりして、回そうとします。

シーソーの決まりを思い出してください。同じおもりでも、支点から遠くに置くほど、シーソーを強く回します。回す効き目は、力 × 距離です。図心の単元で $2 \times 1 = 1 \times 2$ が釣り合ったのも、この決まりでした。

では、切り口のシーソーに、帯を置いてみます。同じ面積の帯を3本、中立軸の下に置きます。距離は 1、2、3 です。

帯の力は距離に比例するので、1、2、3 です。回す効き目は、力 × 距離です。

$$\htmlClass{q-force}{1} \times 1 = 1,\qquad \htmlClass{q-force}{2} \times 2 = 4,\qquad \htmlClass{q-force}{3} \times 3 = 9$$

距離が3倍になると、効き目は9倍です。

力にも距離がかかり、回す腕にも距離がかかります。距離が2回かかるので、2乗になるのです。

$$\underbrace{y}_{\text{力}} \times \underbrace{y}_{\text{腕}} = y^2$$

上の側の帯も同じです。図心の単元では、上の押す力と下の引く力が、つり合いました。でも、回す向きは、上も下も同じです。上は押して、下は引いて、同じ向きに切り口を回します。だから、回す効き目は、上と下で足し合わさります。

帯の面積が広ければ、力も、そのぶん大きくなります。だから、1本の帯の効き目は、面積 × 距離の2乗です。この効き目を、断面のすべての帯について、全部足します。

$$\sI = \sum \underbrace{\Delta A}_{\text{帯の面積}}\,\underbrace{y^2}_{\text{距離の2乗}}$$

これが、断面二次モーメント $\sI$ です。$\Delta A$ は帯の面積、$y$ は中立軸から帯までの距離です。遠い材料ほど、2乗で効く。$\sI$ は、このことを1つの数にしたものです。

面積は長さの2乗です。そこに距離の2乗をかけるので、単位は長さの4乗です。mm で測れば mm⁴ になります。

長方形の I を、帯を足して作る

では、長方形の断面で、$\sI$ を作ってみます。幅を $\sb$、高さを $\sh$ とします。

まず、いちばん粗く、上と下の2本の帯に切ります。図心の単元と同じように、帯の面積は、帯の真ん中に集まっていると見ます。

使う式は、「面積 × 距離の2乗」を2本ぶん足す、です。

$$\sI \approx \Delta A\,y^2 + \Delta A\,y^2$$

1本の帯の面積は、全体の半分で $\sb\sh/2$。距離は、中立軸から帯の真ん中までで、高さの 1/4 です。数を式の枠に入れます。

$$\sI \approx 2 \times \dfrac{\sb\sh}{2} \times \left(\dfrac{\sh}{4}\right)^2 = 2 \times \dfrac{1}{32}\,\sb\sh^3 = \dfrac{1}{16}\,\sb\sh^3$$

面積から $\sb$ と $\sh$、距離の2乗から $\sh^2$。かけ合わせると、$\sb\sh^3$ が出てきます。

次に、4本に切ります。帯の面積は、どれも $\sb\sh/4$。距離は、近い2本が $\sh/8$、遠い2本が $3\sh/8$ です。2乗すると、近い帯が 1、遠い帯が 9。シーソーのとおり、遠い帯は9倍効きます。

$$\sI \approx 2 \times \dfrac{\sb\sh}{4} \times \dfrac{1^2 + 3^2}{8^2}\,\sh^2 = 2 \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{10}{64}\,\sb\sh^3 = \dfrac{5}{64}\,\sb\sh^3$$

帯を細かくするほど、答えは少しずつ大きくなります。帯を1点に集めると、帯の中の、遠いほうの材料を取りこぼすからです。

10本で、もう 99%。限りなく細かく切ると、ぴったり 1/12 になります。ぴったりの値は、積分という計算で出せます（下の「式の導き方」）。

$$\sI = \dfrac{\sb\,\sh^3}{12}$$

12 という数は、帯を細かく足していった行き着く先です。形が変われば、この数も変わります。

式を、かたまりに分けて読む

$$\sI = \underbrace{\sb}_{\text{幅（1乗）}} \times \underbrace{\sh^3}_{\text{高さ（3乗）}} \times \underbrace{\dfrac{1}{12}}_{\text{帯を足した行き着く先}}$$

1. 幅 $\sb$（1乗）　幅を2倍にするのは、同じ長方形を横に2つ並べるのと同じです。$\sI$ も2倍です。
2. 高さ $\sh^3$（3乗）　高さを2倍にすると、帯の面積が2倍になります。しかも、どの帯も中立軸から2倍遠くなります。シーソーの腕が2倍なので、効き目は2乗で4倍。面積の2倍と合わせて、8倍です。
3. 係数 1/12　帯を細かく足していった行き着く先です。長方形の形で決まる数です。

高さを2倍にしたときを、式と数で確かめます。

$$\sh \to 2\sh \;\Rightarrow\; \sI \to 2^3\,\sI = 8\,\sI \qquad (\sh = 1 \to 1^3 = 1,\quad \sh = 2 \to 2^3 = 8)$$

立てた定規は、何倍？

冒頭の定規に戻ります。幅 30 mm、厚さ 2 mm です。使う式は、長方形の式です。平らなときと、立てたときの2つを並べます。

平らに置くと、幅が 30 mm、高さが 2 mm です。

$$\sI_{\text{平ら}} = \dfrac{30 \times 2^3}{12} = \dfrac{30 \times 8}{12} = 20\ \mathrm{mm^4}$$

立てると、幅と高さが入れかわります。幅が 2 mm、高さが 30 mm です。

$$\sI_{\text{立てる}} = \dfrac{2 \times 30^3}{12} = \dfrac{2 \times 27{,}000}{12} = 4{,}500\ \mathrm{mm^4}$$

20 と 4,500。立てるだけで、225倍曲がりにくくなります。

225 は、15 の2乗です。幅と厚さの比は 15 倍。高さは3乗、幅は1乗で効くので、差し引き 15 の2乗が残ります。

$$\dfrac{2 \times 30^3}{30 \times 2^3} = \dfrac{30^2}{2^2} = 15^2 = 225$$

シーソーで見ると、こうです。立てた定規は、材料が中立軸から 15 mm のところまで広がっています。平らな定規は、1 mm までです。腕が短くて、回す効き目が小さいのです。

同じ材料の量で、形を比べる

次は、材料の量を同じにして、形だけを変えます。断面積は、どれも 1,800 mm²。同じ重さの棒です。比べるのは3つ。正方形、立てた長方形、H形です。

まず、正方形。一辺は 42.4 mm です。長方形の式に、幅も高さも 42.4 を入れると、$\sI$ は 270,000 mm⁴ です。これを、基準の 1 にします。

次に、幅 30 mm、高さ 60 mm の、立てた長方形です。$\sI$ は 540,000 mm⁴。正方形の2倍です。

最後に、H形。高さ 100 mm、幅 60 mm、上と下の板（フランジ）の厚さ 10 mm、まん中の板（ウェブ）の厚さ 7.5 mm です。

H形の $\sI$ は、大きな長方形から、左右のすき間を引いて求めます。図心の単元で、穴の面積を引いたのと同じ考え方です。左右のすき間は、寄せると、幅 $60 - 7.5 = 52.5$ mm、高さ $100 - 2 \times 10 = 80$ mm の1つの長方形になります。

$$\sI = \underbrace{\dfrac{60 \times 100^3}{12}}_{\text{外側}} - \underbrace{\dfrac{52.5 \times 80^3}{12}}_{\text{すき間}} = 5{,}000{,}000 - 2{,}240{,}000 = 2{,}760{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

正方形の 270,000 と比べると、およそ10倍です（$2{,}760{,}000 \div 270{,}000 = 10.2$）。

材料は、少しも足していません。正方形の中ほどの材料を、上と下へ移しただけです。それだけで、10倍になりました。

シーソーで言えば、おもりを、支点の近くから遠くの端へ置きなおしたのです。効き目は距離の2乗なので、遠くへ移した材料ほど、大きく効きます。

建物のはりが H形なのも、自転車のフレームが太くて薄いパイプなのも、同じ理由です。

ただし、板を薄くしすぎると、その部分がへこんだり、ねじれたりします。冒頭の定規も、立てて強く押すと、横へねじれて倒れようとします。薄くするのには、限度があります（くわしくは オイラーの座屈荷重 の単元）。

動かしてみよう

H形の寸法を動かして、同じ断面積の正方形と比べてみてください。ウェブ（中ほどの板）を薄く、フランジ（上下の板）を厚くすると、棒グラフの差がどう変わるでしょうか。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1ウェブの厚さ tw を 5 mm に薄くして、正方形との比を見る（まだ）
2. 2tw をフランジの幅と同じ 60 mm にして、60 × 100 mm の長方形にする（まだ）
3. 3長方形のまま（tw 60 mm）、高さ H を2倍の 200 mm にする（まだ）

H断面の高さ−mm＋

Bフランジ（上下の板）の幅−mm＋

tfフランジの厚さ−mm＋

twウェブ（中ほどの板）の厚さ−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べるI の比（H形 ÷ 正方形）は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-material}{\eta} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{I}}{\htmlClass{q-material}{I_{\text{正方形}}}}$$$$= \dfrac{2{,}760{,}000}{270{,}000}$$$$= 10.22\ \text{倍}$$

断面積

$\htmlClass{q-geometry}{A} = 1{,}800\ \mathrm{mm^2}$

断面二次モーメント

$\htmlClass{q-material}{I} = 2{,}760{,}000\ \mathrm{mm^4}$

同じ断面積の正方形の I

$\htmlClass{q-material}{I_{\text{正方形}}} = 270{,}000\ \mathrm{mm^4}$

I の比（H形 ÷ 正方形）

$\htmlClass{q-material}{\eta} = 10.22\$

途中の計算（導出）を見る

1. ウェブの内のり高さ（上下のフランジを除いた高さ）

   $$h = \htmlClass{q-geometry}{H} - 2\,\htmlClass{q-geometry}{t_f} = 100 - 2 \times 10 = 80\ \mathrm{mm}$$

2. 断面積（フランジ2枚＋ウェブ）

   $$\htmlClass{q-geometry}{A} = 2\,\htmlClass{q-geometry}{B}\,\htmlClass{q-geometry}{t_f} + h\,\htmlClass{q-geometry}{t_w} = 2 \times 60 \times 10 + 80 \times 7.5 = 1{,}800\ \mathrm{mm^2}$$

3. 断面二次モーメント（大きな長方形から、両側のすき間を引く）

   $$\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{B}\,\htmlClass{q-geometry}{H}^3 - (\htmlClass{q-geometry}{B} - \htmlClass{q-geometry}{t_w})\,h^3}{12} = \dfrac{60 \times 100^3 - (60 - 7.5) \times 80^3}{12} = 2{,}760{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

4. 同じ断面積の正方形の I（一辺 √A、I = (√A)⁴/12 = A²/12）

   $$\htmlClass{q-material}{I_{\text{正方形}}} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{A}^2}{12} = \dfrac{1{,}800^2}{12}\quad (\text{一辺 } 42.43\ \mathrm{mm}) = 270{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

5. I の比（同じ材料の量で、何倍曲がりにくいか）

   $$\htmlClass{q-material}{\eta} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{I}}{\htmlClass{q-material}{I_{\text{正方形}}}} = \dfrac{2{,}760{,}000}{270{,}000} = 10.22\ \text{倍}$$

よくある勘違い

「面積が同じなら、I も同じ」

ちがいます。上の3つは、どれも同じ面積でした。それでも、$\sI$ は10倍ちがいました。

「材料を 10% 増やせば、I も 10% 増える」

足す場所で変わります。30 × 60 mm の立てた長方形で比べます。どちらも、断面積は 10% 増えます。

• 幅を 10% 広げると、$\sI$ も 10% 増えます。幅は1乗だからです。
• 高さを 10% 伸ばすと、$\sI$ は 33% 増えます。$1.1^3 = 1.331$ です。

中立軸から遠ざかる向きに足した材料ほど、よく効きます。ほかの寸法も並べると、次のとおりです（丸棒は直径 60 mm、管は外径 60 mm・内径 54 mm）。

「I が大きいほど、壊れにくい」

$\sI$ が表すのは、曲がりにくさ（たわみにくさ）です。壊れにくさは、材料の強さと、断面係数という別の量で決まります。断面係数は、はりの章の 断面係数（形の効率） の単元で扱います。

よく使う形の I

記号は、長方形が幅 $\sb$・高さ $\sh$、丸棒が直径 $d$、丸管が外径 $D$・内径 $d$、箱形が外側の幅 $\sB$・高さ $\sH$ と内側の幅 $\sb$・高さ $\sh$。H形は、高さ $\sH$、フランジの幅 $\sB$・厚さ $\stf$、ウェブの厚さ $\stw$、ウェブの内のり高さ $h = \sH - 2\stf$ です。箱形・丸管・H形は、どれも「外側の形から、すき間の形を引く」考え方です。

この単元で使う前提

• 中立軸は、断面の図心を通る、水平な線（曲げの軸）
• 断面は、上下対称（長方形、H形、円など）。非対称な断面は、図心の位置を先に求める
• 長さの単位をそろえる（mm で入れると、$\sI$ は mm⁴ で出る）

図心からずれた軸のまわりの $\sI$ は、平行軸の定理 の単元で求めます。

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

定義：帯を限りなく細くすると、足し算 $\sum \Delta A\,y^2$ は積分になります。

$$\sI = \int y^2\,dA$$

長方形：中立軸から $y$ の位置にある帯（厚さ $dy$）の面積は $\sb\,dy$ です。

$$\sI = \int_{-\sh/2}^{\sh/2} y^2\,\sb\,dy = \sb\cdot\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{\sh}{2}\right)^3 = \dfrac{\sb\,\sh^3}{12}$$

帯 n 本の足し算が 1/12 に近づくこと：帯 n 本の真ん中に面積を集めた足し算は、$\dfrac{1}{12}\left(1 - \dfrac{1}{n^2}\right)\sb\sh^3$ です。足りない $\sb\sh^3/(12 n^2)$ は、帯それぞれが自分の真ん中のまわりに持つ $\sI$（高さ $\sh/n$ の長方形 n 本ぶん）です。n = 2 で 1/16、n = 4 で 5/64、n = 10 で 33/400 です。

丸棒：中心から距離 $r$ の、薄い輪（厚さ $dr$）の面積は $2\pi r\,dr$ です。中心のまわりで $r^2$ をかけて足した量を $J$ とすると、

$$J = \int_0^{d/2} r^2 \cdot 2\pi r\,dr = 2\pi\cdot\dfrac{(d/2)^4}{4} = \dfrac{\pi d^4}{32}$$

$r^2 = y^2 + z^2$ で、円はどの向きにも同じなので、水平な軸まわりの $\sI$ と垂直な軸まわりの $\sI$ が等しく、$J = 2\sI$ です。よって、

$$\sI = \dfrac{J}{2} = \dfrac{\pi d^4}{64}$$

中空・箱形・H形：外側の形の $\sI$ から、すき間の形の $\sI$ を引きます。H形は、高さ $\sH$・幅 $\sB$ の長方形から、左右に1つずつ、すき間（幅 $(\sB - \stw)/2$、高さ $h$）を引きます。2つのすき間は、どちらも中立軸をはさんで上下対称なので、まとめて幅 $\sB - \stw$、高さ $h$ の1つの長方形として引けます。

$$\sI = \dfrac{\sB\,\sH^3}{12} - \dfrac{(\sB - \stw)\,h^3}{12}$$