両端で支えるだけで、たわみは16分の1単純支持ばりのたわみ（中央に集中荷重）

前の単元との違い荷重は片持ちの単元と同じ1点です。支え方が、片端の固定から、両端を下から支えるだけに変わります。

両端を支えた棒の、真ん中に乗ると

用水路に渡した板、丸太を渡しただけの橋、電車が走る橋の桁、床を支える梁、物干し竿。どれも、棒の両端が下から支えられていて、真ん中がたわみます。

端を固定せず、下から支えるだけで、端が傾くのは自由。こういう支え方を単純支持といい、両端を単純支持したはりを単純支持ばり（両端支持ばり）といいます。

水たまりに渡した板の真ん中に乗ると、足もとがぐっと沈みます。本棚の棚板は、本を並べるうちに、真ん中がゆるやかに下がってきます。どれも「両端が支えられて、真ん中が空いている」形です。

この単元では、1枚の渡し板で考えます。幅 1,000 mm の用水路に、鋼の板（幅 300 mm、厚さ 12 mm）を渡します。両端は岸に載せただけです。その真ん中に、体重 80 kg の人（約 800 N）が立ちます。

板の真ん中は、何 mm 沈むでしょうか。

片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重） の片持ちばりは、片方の端だけを壁に固定していました。今回は、両端を支えるだけです。支え方が変わると、たわみはどう変わるでしょうか。

予想してから読む同じ棒・同じ長さ・同じ荷重で、片持ちばりをやめて両端を支え、真ん中に荷重をかけると、たわみは？

A2分の1B8分の1C16分の1

公式はこれ

$$\sdeltaMax = \dfrac{\sP\,\sL^3}{48\,\sE\,\sI}$$

片持ちばりの $\sP\,\sL^3/(3\,\sE\,\sI)$ と、とてもよく似た形です。違うのは、分母の 3 が 48 になっただけ。同じ棒、同じ荷重、同じ長さなら、たわみは 48 ÷ 3 = 16分の1 です。

48 は、突然出てくる数に見えます。でも、前の単元の片持ちばりの式から作れます。

なぜ 48 なのか　片持ちばりが背中合わせ

1. 支点が支える力。はり全体をシーソーと見ます（せん断力図と曲げモーメント図）。荷重が真ん中なので、左右の支点が、荷重を半分ずつ受け持ちます。どちらの支点も、$\sP/2$ で押し上げています。

2. 真ん中は水平。たわんだ形は、左右対称です。だから、真ん中では、はりは水平になっています（傾きが 0）。

3. 真ん中を壁と見る。傾きが 0 で、動かない。それは、壁に固定されているのと同じです。そこで、真ん中を壁に見立てると、単純支持ばりは、長さ $\sL/2$ の片持ちばりが、左右に1本ずつの形になります。

片持ちばりの先端（もとの支点）には、上向きに $\sP/2$ の力がかかっています。壁から見ると、この先端が、真ん中より $\sdeltaMax$ だけ上がっています。これが、真ん中のたわみです。

4. 片持ちばりの式に入れる。荷重 $\sP/2$、長さ $\sL/2$ を入れます。

$$\sdeltaMax = \dfrac{(\sP/2)\,(\sL/2)^3}{3\,\sE\,\sI} = \dfrac{\sP\,\sL^3}{3 \times 2 \times 8\;\sE\,\sI} = \dfrac{\sP\,\sL^3}{48\,\sE\,\sI}$$

48 = 3 × 2 × 8 です。3 は片持ちばりの 3、2 は荷重が半分、8 は長さが半分（の3乗）から来ています。

16分の1の理由も、これで見えます。長さが半分になると、$\sL^3$ が効いて 1/8。荷重が半分になると 1/2。合わせて 1/8 × 1/2 = 1/16 です。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

背中合わせの見方で、式を3つの部分に分けます。

$$\sdeltaMax = \underbrace{\dfrac{\sP}{2}\cdot\dfrac{\sL}{2}}_{\text{真ん中を曲げる力}} \times \underbrace{\dfrac{1}{\sE\,\sI}}_{\text{曲がりやすさ}} \times \underbrace{\dfrac{(\sL/2)^2}{3}}_{\text{長さで広がる}}$$

1. 真ん中を曲げる力 $\sP\,\sL/4$　支点の力 $\sP/2$ × 真ん中までの距離 $\sL/2$ です。これが真ん中の曲げモーメントで、せん断力図の単元で出した $\sP\sL/4$ と同じです。
2. 曲がりやすさ $1/\sE\,\sI$　片持ちばりと同じです。$\sE\,\sI$ が大きいほど、曲がりません。
3. 長さで広がる $\sL^2/12$　片持ちばりの $\sL^2/3$ の長さを、半分の $\sL/2$ にしたものです。$(\sL/2)^2/3 = \sL^2/12$ です。

$\sL$ は1つ目のかたまりに1回、3つ目に2回出てきます。合わせて3回なので $\sL^3$ です。

3乗は、実物で見ると大きな差になります。渡し板（幅 300 mm、厚さ 12 mm の鋼板に 800 N）で、スパンを変えてみます。

スパンを2倍にすると、たわみは8倍です。幅の広い用水路ほど、同じ板では渡れなくなります。

真ん中が下がり、両端は傾く

荷重をかけると、板はなめらかな弓なりにたわみます。

• 真ん中：いちばん下がります。傾きは 0 で、水平です。
• 両端（支点）：下がりません（支えられているから）。そのかわり、傾きます。
• その間：下がり方が、真ん中に向かって大きくなります。

支点の傾きも、背中合わせの見方で出せます。長さ $\sL/2$ の片持ちばりの先端の傾き $(\sP/2)(\sL/2)^2/(2\sE\sI)$ です。

$$\sthetaA = \dfrac{(\sP/2)\,(\sL/2)^2}{2\,\sE\,\sI} = \dfrac{\sP\,\sL^2}{16\,\sE\,\sI}$$

渡し板（スパン 1,000 mm）では 0.0056 rad、角度にして約 0.32° です。わずかですが、橋と道路のつなぎ目（伸縮装置）のように、端の動きが問題になる場所では無視できません。橋の桁の端は、車や電車が通るたびに、この傾きの分だけ小さく首を振ります。

支え方の違い　ピンとローラ

両端を支えるといっても、実は2種類の支え方を組み合わせています。

• ピン支持：板を下から受け、横にもずれないようにします。端は、ピンを軸にして、くるりと傾くことができます。
• ローラ支持：板を下から受けるだけ。丸いころの上に載っているので、横には自由に動けます。

両方をピンにして完全に固定すると、板が温度で伸びたとき、逃げ場がなくて余計な力がかかります。そこで、片方はローラにして、伸び縮みを逃がします。橋の桁の片側に、ころが付いているのはこのためです。

どちらも、端が傾くのを止めません。端が傾けるから、真ん中を「壁」と見た片持ちばりの先端が、自由に動けます。端を壁に埋めて傾かないようにすると、別の式（両端固定ばり）になります。

片持ちばりと比べる

同じ鋼の角棒（幅 30 mm、高さ 60 mm）、長さ 1,500 mm、荷重 2,000 N（約 200 kg）で比べます。

同じ棒が、支え方を変えるだけで、16倍も曲がりにくくなります。

どの数字がいちばん効く？

1割ずつ変えたときの効き方は、片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重） の表とまったく同じです（長さ +33%、高さ −25%、荷重・幅・硬さは ±9〜10%）。式の形が同じで、違うのは分母の数（3 と 48）だけだからです。支え方は、たわみの大きさを16分の1にしますが、どの数字がどれだけ効くかは変えません。

渡し板に戻る

最初の問いに戻ります。まず、板の断面二次モーメントです。

$$\sI = \dfrac{\sb\,\sh^3}{12} = \dfrac{300 \times 12^3}{12} = 43{,}200\ \mathrm{mm^4}$$

公式に入れます。

$$\sdeltaMax = \dfrac{\sP\,\sL^3}{48\,\sE\,\sI} = \dfrac{800 \times 1000^3}{48 \times 206{,}000 \times 43{,}200} = 1.87\ \mathrm{mm}$$

板の真ん中は、約 1.9 mm 沈みます。足もとが少し沈む感覚があるくらいです。

同じ板を、片方の岸だけに固定して突き出したら、16倍の約 30 mm です。両端を岸に載せるだけで、渡れる板になっています。

動かしてみよう

盤の初期値は、渡し板（鋼板 300 × 12 mm、スパン 1,000 mm、800 N）です。まず「支え方」を片端だけ壁に固定（片持ち）に切り替えて、同じ板・同じ荷重で、たわみが何倍になるか見てください。

次に「両端を支える」に戻して、支点の間隔 $\sL$ を変えます。たわみと一緒に、支点のたわみ角 $\sthetaA$ の数字も見てください。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1支え方を「片端だけ壁に固定（片持ち）」にする（同じ板・同じ 800 N）（まだ）
2. 2「両端を支える」に戻して、支点の間隔 L を半分の 500 mm にする（まだ）
3. 3間隔 L を2倍の 2,000 mm にして、端のたわみ角 θ も見る（まだ）

支支え方

両端を支える片端だけ壁に固定（片持ち）

P荷重−N＋

Lはりの長さ−mm＋

E縦弾性係数（ヤング率）−GPa＋

b断面の幅−mm＋

h断面の高さ−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる最大たわみは、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

たわみの描き方いまの倍率　×16

倍率を固定実寸

たわみは実際には小さいので、見やすいように拡大して描いています。倍率は、初期値のときの ×16 のまま変えないので、数字を変えると、たわみの大きさが、そのまま図に出ます。

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{48\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}}$$$$= \dfrac{800 \times 1{,}000^3}{48 \times 206{,}000 \times 43{,}200}$$$$= 1.873\ \mathrm{mm}$$

最大たわみ

$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = 1.873\ \mathrm{mm}$

端のたわみ角（両端支持は支点・片持ちは先端）

$\htmlClass{q-displacement}{\theta} = 0.005618\ \mathrm{rad}$

最大曲げ応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = 27.78\ \mathrm{MPa}$

支点の反力

$\htmlClass{q-force}{R} = 400\ \mathrm{N}$

最大曲げモーメント

$\htmlClass{q-moment}{M_{\max}} = 200{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$

ほかの値（2 個）

断面二次モーメント

$\htmlClass{q-material}{I} = 43{,}200\ \mathrm{mm^4}$

断面係数

$\htmlClass{q-material}{Z} = 7{,}200\ \mathrm{mm^3}$

途中の計算（導出）を見る

1. 断面二次モーメント（長方形断面）

   $$\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{300 \times 12^3}{12} = 43{,}200\ \mathrm{mm^4}$$

2. 支点の反力（荷重が中央なので、左右で半分ずつ）

   $$\htmlClass{q-force}{R} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}}{2} = \dfrac{800}{2} = 400\ \mathrm{N}$$

3. 最大曲げモーメント（中央）

   $$\htmlClass{q-moment}{M_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{4} = \dfrac{800 \times 1{,}000}{4} = 200{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$$

4. 最大たわみ（中央）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{48\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{800 \times 1{,}000^3}{48 \times 206{,}000 \times 43{,}200} = 1.873\ \mathrm{mm}$$

5. 支点のたわみ角

   $$\htmlClass{q-displacement}{\theta_A} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^2}{16\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{800 \times 1{,}000^2}{16 \times 206{,}000 \times 43{,}200} = 0.005618\ \mathrm{rad}$$

6. 最大曲げ応力（中央の上下の面）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M_{\max}}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{200{,}000}{7{,}200} = 27.78\ \mathrm{MPa}$$

よくある勘違い

「支点には、それぞれ荷重と同じ大きさの力がかかる」

支点にかかる力は、荷重の半分ずつです（$\sR = \sP/2$）。左右の支点が、荷重を分け合って、下から支えています。荷重が真ん中からずれると、荷重に近い支点が、より多くを受け持ちます（任意の位置に集中荷重 の単元で扱います）。

「たわむのは、真ん中だけ」

はり全体が、なめらかに曲がっています。たわみがいちばん大きいのが、真ん中です。支点のところでも、はりは傾いています（支点のたわみ角 $\sthetaA = \sP\,\sL^2/(16\,\sE\,\sI)$）。

「両端を支えているから、両端もたわむ」

支点は上下に動かないので、両端のたわみは 0 です。動くのは傾きだけです。「たわみ」は下がった量、「傾き（たわみ角）」は向きの変化で、別のものです。

この公式が使える条件

• 荷重が、はりの真ん中の1点にかかる
• たわみが、はりの長さに比べて十分小さい（長さの1割くらいまで）
• 荷重を外すと元に戻る範囲（弾性の範囲）
• はりの重さは考えない。はりの太さは、端から端まで同じ
• 支点は、はりを上下に支えるだけ。端は傾いてよく、片方は横にも動ける

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

出発点の式 $\sE\,\sI\,d^2\sv/d\sx^2 = -\sM$ は、たわみの微分方程式と積分法 で出しました。ここでは、積分と境界条件で、背中合わせの見方と同じ答えになることを確かめます。

左の支点から $\sx$ の位置の曲げモーメントは、左の支点の力 $\sP/2$ によって $\sM = \sP\,\sx/2$（$0 \le \sx \le \sL/2$）です。下向きのたわみを $\sv$ とすると、

$$\sE\,\sI\,\dfrac{d^2\sv}{d\sx^2} = -\dfrac{\sP\,\sx}{2}$$

1回積分すると、

$$\sE\,\sI\,\dfrac{d\sv}{d\sx} = -\dfrac{\sP\,\sx^2}{4} + C_1$$

真ん中（$\sx = \sL/2$）で傾きが 0 なので、$C_1 = \sP\,\sL^2/16$。もう1回積分すると、

$$\sE\,\sI\,\sv = -\dfrac{\sP\,\sx^3}{12} + \dfrac{\sP\,\sL^2\,\sx}{16} + C_2$$

支点（$\sx = 0$）で $\sv = 0$ なので $C_2 = 0$。よって、

$$\sv(\sx) = \dfrac{\sP\,\sx\,(3\sL^2 - 4\sx^2)}{48\,\sE\,\sI}$$

真ん中 $\sx = \sL/2$ を入れると、$\sdeltaMax = \sP\,\sL^3/(48\,\sE\,\sI)$ です。支点（$\sx = 0$）での傾きは $\sthetaA = C_1/(\sE\sI) = \sP\,\sL^2/(16\,\sE\,\sI)$ です。