おもりを4倍にしても、揺れは半分の速さにしかならない1自由度の自由振動（ばねと質量）

ばねにつるしたおもりは、どれだけ速くゆれる？

天井からばねをつるし、先におもりを付けます。おもりを少し引き下げて手をはなすと、おもりは上下に行ったり来たりします。

同じことが、車でも起きています。車体は、車輪の上の太いばね（サスペンションのばね）に載っています。段差を越えると、車体はばねの上で上下にゆれます。

ゆれが速すぎると、車に乗った人は細かく揺さぶられます。遅すぎると、船に乗ったようにふわふわします。ばねとおもりで「1秒に何回ゆれるか」を決められれば、乗り心地を作れます。

この単元では、1つのばねとおもりで考えます。ばね定数（1 m 伸ばすのに要る力）は 800 N/m、おもりの質量は 2 kg です。おもりをつるすと、ばねは自重で 24.5 mm 伸びて止まります。そこから 20 mm 引き下げて、手をはなします。

おもりは、1秒に何回ゆれるでしょうか。

予想してから読むおもりの質量を4倍にすると、1秒にゆれる回数は？

A4分の1B2分の1C変わらない

公式はこれ

$$\skrFn = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\skrk}{\skrm}}$$

答えは、1秒に 3.18 回です。1往復にかかる時間（周期）は、その逆数の 0.314 s です。

この式がどこから来るのかを、綱引きで見ていきます。

ゆれは、2つの性質の綱引き

ゆれには、2つの性質が関わっています。

1. ばねは、戻そうとする。ばねは、つり合いの位置からずれた分だけ、元へ戻そうとする力を出します。ずれが2倍なら、力も2倍です。材料力学の フックの法則と縦弾性係数 で見た、力と伸びの比例です。

$$\sijF = \skrk \times \text{ずれ}$$

この単元のばねで 20 mm ずらすと、戻そうとする力は 800 × 0.020 = 16 N です。

2. おもりは、そのまま動き続けようとする。止まっているおもりは止まったままでいようとし、動いているおもりは同じ速さで動き続けようとします。この性質の強さが、質量 $\skrm$ です。同じ力で押しても、質量が大きいほど、速さはゆっくりしか変わりません。

3. 行ったり来たりは、この2つの綱引き。引き下げてはなすと、ばねがおもりを上へ引き戻します。おもりは速さを増しながら上がり、つり合いの位置で、いちばん速くなります。そこでは、ばねの力は 0 です。

それでも、おもりは止まりません。動き続けようとするからです。つり合いの位置を通り過ぎると、今度はばねが下向きに引き戻し、おもりはだんだん遅くなって、上の端で止まります。そしてまた、下へ戻ります。

戻そうとするばねと、動き続けようとするおもり。この綱引きが、ゆれを作っています。

4倍の質量で半分になる理由

速さを決めるのは、綱引きの比

綱引きの強さを、数で比べます。20 mm ずらしたとき、ばねの力は 16 N でした。質量 2 kg のおもりが 16 N で引かれると、加速度（1秒ごとに増える速さ）は次のとおりです。

$$\sijA = \dfrac{\sijF}{\skrm} = \dfrac{16\ \mathrm{N}}{2\ \mathrm{kg}} = 8\ \mathrm{m/s^2}$$

ずれ 1 m あたりにすると、8 ÷ 0.020 = 400 です。これは $\skrk/\skrm$ = 800 ÷ 2 と同じ数です。

$$\sijA = \underbrace{\dfrac{\skrk}{\skrm}}_{\text{綱引きの比}} \times \text{ずれ}$$

$\skrk/\skrm$ が大きいほど、同じずれでも強く引き戻されて、速くゆれます。

比に √ がつく

加速度を4倍にしても、ゆれは4倍速くはなりません。

止まった物を一定の加速度で動かすと、進む距離は「加速度 × 時間²」に比例します。加速度を4倍にすると、同じ距離を進む時間は、$\sqrt{4} = 2$ で割った半分です。

だから、綱引きの比 $\skrk/\skrm$ が4倍になると、ゆれの速さは $\sqrt{4} = 2$ 倍です。

$$\skrOmegaN = \sqrt{\dfrac{\skrk}{\skrm}}$$

$\skrOmegaN$ を固有角振動数といいます。単位は rad/s で、「1秒に進む角度」です。

なぜ「角度」なのか

おもりの上下の動きは、円の上を一定の速さで回る点を、真横から見た影と同じ動きです。1往復が、1回転にあたります。

$\skrOmegaN$ は、その点が1秒に回る角度です。1回転は $2\pi$ rad なので、$2\pi$ で割ると、1秒にゆれる回数になります。

$$\skrFn = \dfrac{\skrOmegaN}{2\pi}$$

$\skrFn$ を固有振動数といいます。外から揺すらないとき、そのばねとおもりが、ひとりでにゆれる回数です。単位は Hz（1秒あたりの回数）です。

数で確かめる

使う式を先に置いて、この単元のばねとおもりの数を入れます。

$$\skrOmegaN = \sqrt{\dfrac{\skrk}{\skrm}} = \sqrt{\dfrac{800}{2}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$ $$\skrFn = \dfrac{\skrOmegaN}{2\pi} = \dfrac{20}{2\pi} = 3.18\ \mathrm{Hz}$$ $$\skrTn = \dfrac{1}{\skrFn} = \dfrac{1}{3.18} = 0.314\ \mathrm{s}$$

質量を4倍の 8 kg にすると、綱引きの比は 800 ÷ 8 = 100 で、4分の1です。

$$\skrOmegaN = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{rad/s},\qquad \skrFn = 1.59\ \mathrm{Hz}$$

振動数は 3.18 Hz の2分の1です。ばねを4倍の 3,200 N/m にすれば、反対に2倍の 6.37 Hz になります。

公式を、2つのかたまりに分けて読む

$$\skrFn = \underbrace{\dfrac{1}{2\pi}}_{\text{角度を回数に直す}} \times \underbrace{\sqrt{\dfrac{\skrk}{\skrm}}}_{\text{綱引きの比の √}}$$

1. 角度を回数に直す $1/2\pi$　1往復は、影の元の点が1回転すること。1回転は $2\pi$ rad（約 6.28 rad）です。どのばねとおもりでも同じ数です。
2. 綱引きの比の √ $\sqrt{\skrk/\skrm}$　戻そうとする強さ $\skrk$ が分子、動き続けようとする強さ $\skrm$ が分母です。√ がつくのは、進む距離が時間の2乗に比例するからでした。

大きくゆらしても、周期は同じ

はなす位置を、20 mm から2倍の 40 mm にしてみます。

ばねの力は、ずれに比例するので2倍の 32 N です。加速度も2倍の 16 m/s² になります。2倍の距離を、2倍の加速度で動くので、かかる時間は変わりません。

だから、公式に「はなす位置」は入っていません。ゆれの大きさ（振幅）が変わっても、周期は同じです。

ドアストッパーのばねを指で弾くと、「ビヨン」と鳴ります。強く弾くと音は大きくなりますが、音の高さは、ほとんど変わりません。ゆれの回数が同じだからです。

自重で何 mm 下がるかで、振動数が分かる

静たわみ

おもりをつるすと、ばねは少し伸びて止まります。この、自重で下がった量を静たわみ $\skrDst$ といいます。止まったところでは、ばねの力と重さ $\skrm\,\skrG$ がつり合っています。

$$\skrk\,\skrDst = \skrm\,\skrG$$

この単元のばねとおもりでは、$\skrDst = 2 \times 9.81 / 800 = 0.0245\ \mathrm{m}$、つまり 24.5 mm です。

綱引きの比を、静たわみで書き直す

つり合いの式の両辺を、$\skrm$ と $\skrDst$ で割ります。左辺には $\skrk/\skrm$、右辺には $\skrG/\skrDst$ が残ります。

$$\dfrac{\skrk}{\skrm} = \dfrac{\skrG}{\skrDst}$$

綱引きの比は、重力加速度を静たわみで割ったものと同じです。固有振動数の式に入れると、$\skrk$ も $\skrm$ も消えます。

$$\skrFn = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\skrG}{\skrDst}}$$ ばね定数も質量も知らなくても、自重で何 mm 下がったかを測れば、振動数が分かります。

数で確かめる

$\skrDst$ を m で入れます。

$$\skrFn = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{9.81}{0.0245}} = 3.18\ \mathrm{Hz}$$

ばね定数と質量から出した 3.18 Hz と、同じです。

$\skrDst$ を mm で入れるなら、$\skrFn \fallingdotseq 15.76/\sqrt{\skrDst\,[\mathrm{mm}]}$ です（$\sqrt{9810}/2\pi = 15.76$）。24.5 mm なら、$15.76 / \sqrt{24.5} = 3.18$ Hz です。

4倍深く沈むと、振動数は2分の1です。

材料力学のたわみと、つながる

静たわみは、材料力学の 片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重） で求めた「先端のたわみ」と同じものです。棒の先におもりを付ければ、棒がばねになります。自重による先端のたわみを計算すれば、棒の先でおもりが何回ゆれるかも分かります。くわしくは、ばねのつなぎ方と、はり・軸のばね定数 で見ます。

どの数字がいちばん効く？

それぞれの数字を1割（10%）だけ変えたとき、固有振動数がどう変わるかを並べてみます。

どれも √ で効くので、10% 変えても 5% くらいしか変わりません。振動数を2倍にするには、ばねを4倍硬くする必要があります。

車のばねに戻る

車でも、同じ式が使えます。数を仮に決めて、計算してみます。車輪1つが支える車体の質量を 250 kg、ばね定数を 25,000 N/m とします。

$$\skrFn = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{25{,}000}{250}} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{100} = 1.59\ \mathrm{Hz}$$

静たわみは、$250 \times 9.81 / 25{,}000 = 0.0981\ \mathrm{m}$、つまり 98.1 mm です。

800 N/m のばねに 8 kg のおもりをつるしたとき（上の「数で確かめる」）と、静たわみも振動数も同じです。質量が30倍以上違っても、自重で同じだけ沈むばねなら、同じ速さでゆれます。

人や荷物が乗ると、車体は少し深く沈みます。そのぶん、ゆれは少しゆっくりになります。

動かしてみよう

質量 $\skrm$ のスライダーを右へ動かすと、おもりが大きくなり、ゆれがゆっくりになります。下の波形を見ると、1往復の間隔が広がるのが分かります。

次に、はなす位置 $\skrXZero$ を変えてみてください。波の高さは変わりますが、山と山の間隔は変わりません。

はじめは 1/4 の速さで動かしています。「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、残した図の波形が薄く重なり、比べられます。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1おもりの質量 m を4倍の 8 kg にして、ゆれ方を見る（まだ）
2. 2ばね定数 k を4倍の 3,200 N/m にする（m は 2 kg に戻す）（まだ）
3. 3はなす位置 x0 だけを 40 mm にして、周期が変わらないことを確かめる（まだ）

m質量−kg＋

kばね定数−N/m＋

x0初めの変位（はなす位置）−mm＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.00 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる固有振動数は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-flow}{f_n} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{\omega_n}}{2\pi}$$$$= \dfrac{20}{2\pi}$$$$= 3.183\ \mathrm{Hz}$$

固有角振動数

$\htmlClass{q-flow}{\omega_n} = 20\ \mathrm{rad/s}$

固有振動数

$\htmlClass{q-flow}{f_n} = 3.183\ \mathrm{Hz}$

固有周期

$\htmlClass{q-flow}{T_n} = 0.3142\ \mathrm{s}$

静たわみ（自重で下がる量）

$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\mathrm{st}}} = 24.5\ \mathrm{mm}$

途中の計算（導出）を見る

1. 固有角振動数

   $$\htmlClass{q-flow}{\omega_n} = \sqrt{\dfrac{\htmlClass{q-material}{k}}{\htmlClass{q-material}{m}}} = \sqrt{\dfrac{800}{2}} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

2. 固有振動数（1秒に何回ゆれるか）

   $$\htmlClass{q-flow}{f_n} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{\omega_n}}{2\pi} = \dfrac{20}{2\pi} = 3.183\ \mathrm{Hz}$$

3. 固有周期（1往復にかかる時間）

   $$\htmlClass{q-flow}{T_n} = \dfrac{1}{\htmlClass{q-flow}{f_n}} = \dfrac{1}{3.183} = 0.3142\ \mathrm{s}$$

4. 静たわみ（自重で下がる量）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\mathrm{st}}} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-geometry}{g}}{\htmlClass{q-material}{k}} = \dfrac{2 \times 9.81}{800} = 24.5\ \mathrm{mm}$$

よくある勘違い

「重いほうが、重力に引っぱられて速くゆれる」

ゆれの速さに効くのは、重さ（力）ではなく質量です。

月の上で同じばねにおもりをつるすと、重さが小さいので、静たわみは小さくなります。でも、質量とばね定数は同じなので、固有振動数は地球の上と同じです。$\skrG/\skrDst$ も、$\skrG$ と $\skrDst$ が同じ割合で小さくなるので、変わりません。

重力は、つり合いの位置を決めるだけです。つり合いの位置からのずれで見れば、ゆれには効きません。

「振動数と角振動数は、同じもの」

どちらも「ゆれの速さ」ですが、数が $2\pi$ 倍（約 6.28 倍）違います。

$\sqrt{\skrk/\skrm}$ を計算して出てくるのは、角振動数のほうです。「何 Hz か」と聞かれたら、$2\pi$ で割ります。

「大きくゆらすと、1往復に時間がかかる」

かかりません。大きくずらすと、戻そうとする力も同じ割合で大きくなるからです（上の表）。ばねが伸びに比例する力を出す範囲なら、周期は振幅によりません。

この公式が使える条件

• ばねの力が、ずれに比例する（伸びすぎない・縮みきらない）
• ばねの質量は、おもりに比べて十分小さい
• おもりは上下だけに動く。横ゆれや回転はしない
• ゆれを弱めるもの（空気の抵抗・ダンパ）は考えない。本物のゆれは、だんだん小さくなって止まります。くわしくは 減衰振動 で見ます

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

運動の式：つり合いの位置から下向きに測ったずれを $x$ とします。ばねは、つり合いの位置ですでに $\skrDst$ 伸びているので、ずれ $x$ のときの伸びは $\skrDst + x$ です。おもりにかかる力は、下向きを正として、

$$\skrm\,\skrG - \skrk\,(\skrDst + x) = -\skrk\,x$$

$\skrk\,\skrDst = \skrm\,\skrG$ で重さが打ち消され、ずれに比例する戻す力だけが残ります。重力が式から消えるのは、このためです。質量 × 加速度 ＝ 力 から、

$$\skrm\,\dfrac{d^2x}{dt^2} = -\skrk\,x \qquad\Longrightarrow\qquad \dfrac{d^2x}{dt^2} = -\dfrac{\skrk}{\skrm}\,x$$

解：$x = \skrXZero\cos\omega t$ と置いて、2回微分します。

$$\dfrac{dx}{dt} = -\omega\,\skrXZero\sin\omega t, \qquad \dfrac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2\,\skrXZero\cos\omega t = -\omega^2\,x$$

上の運動の式と比べると、$\omega^2 = \skrk/\skrm$ のとき、どの時刻でも成り立ちます。だから $\skrOmegaN = \sqrt{\skrk/\skrm}$ です。$t = 0$ で $x = \skrXZero$、速さ 0（はなした瞬間）にもなっています。

$\skrXZero$ は、どこにも残りません。周期が振幅によらないのは、このためです。

円の影：半径 $\skrXZero$ の円を、角速度 $\omega$ で回る点の高さは $\skrXZero\cos\omega t$ です。点は、いつも円の中心へ向かう加速度 $\omega^2\skrXZero$ を受けています。その上下の成分が $-\omega^2 x$ です。ばねの戻す力が、ちょうどこの加速度を作っています。

エネルギーで確かめる：はなした瞬間、ばねにたまっているエネルギー（つり合いの位置から測った分。重力の分は打ち消し合う）は $\tfrac12\skrk\skrXZero^2$ です。つり合いの位置では、それが全部、運動のエネルギー $\tfrac12\skrm v^2$ に替わります。いちばん速い速さは $v = \skrXZero\sqrt{\skrk/\skrm} = \skrOmegaN\skrXZero$ で、円の影の速さと同じです。この単元のおもりなら、$20 \times 0.020 = 0.40\ \mathrm{m/s}$ です。