断面の中心は、真ん中とはかぎらない図心（断面の中心）

針の先で支えた、T形の板

T形に切り抜いた板を、針の先の1点で支えます。どこで支えれば、水平に止まるでしょうか。

予想してから読む上の板（幅 60 mm・厚さ 10 mm）と、下の板（高さ 60 mm・厚さ 10 mm）でできた、高さ 70 mm の T形。釣り合う点は、下の縁から何 mm？

A35 mm（高さの真ん中）B47.5 mmC22.5 mm

高さの真ん中で支えると、板は傾きます。釣り合う点は、真ん中より上にあります。

この釣り合う点を、図心と言います。

この単元で答える問いは3つです。なぜ、真ん中ではないのか。どうやって、位置を計算するのか。そして、なぜ、その位置を知らないといけないのか。

T形鋼、L字金具、アングル材、鉄道のレール。身のまわりには、上と下、右と左で形がちがう断面がたくさんあります。どれも、図心は真ん中にありません。

図心は、面積の釣り合い点

まず、長方形の板です。長方形は、上下も左右も同じ形なので、真ん中で釣り合います。

次に、T形の板を、上の板と下の板の2枚に分けます。どちらも長方形なので、それぞれの釣り合う点は、それぞれの真ん中です。1枚の板の重さは、その真ん中の1点にかかっていると考えてかまいません。

ここで、高さの向きを横に倒して見ます。すると T形の板は、2つのおもりを乗せたシーソーと同じです。

例の T形では、2枚の板は同じ大きさです。おもりも同じ重さなので、シーソーは、2つのおもりのちょうど真ん中で釣り合います。上の板のほうが高い位置にあるので、図心は、高さの真ん中より上に来ます。これが、1つ目の問いの答えです。

均一な板なら、図心は重心と同じ場所です。ただ、重心は重さの釣り合い点、図心は面積の釣り合い点です。材料力学では断面の形だけを考えるので、面積で考えて、図心と呼びます。

シーソーの決まりから、式を作る

おもりの重さがちがうときは、どうでしょうか。左に 2 kg、右に 1 kg のおもりを乗せると、釣り合う支点は、重いほうへ寄ります。左のおもりから支点まで 1 m、右のおもりまで 2 m です。

釣り合いの決まりは、重さ × 距離が、左右で同じになることです。

$$2\ \mathrm{kg} \times 1\ \mathrm{m} = 1\ \mathrm{kg} \times 2\ \mathrm{m}$$

この決まりを、断面に使います。部品の面積 $A_1$、$A_2$ を、おもりの重さと見るのです。

部品の位置は、下の縁に引いた基準の線から測ります。上の部品の中心は高さ $y_1$、下の部品の中心は高さ $y_2$、図心は高さ $\syc$ です。図心からの距離は、上の部品が $y_1 - \syc$、下の部品が $\syc - y_2$ になります。

シーソーの決まりを、式に書きます。面積 × 図心からの距離が、上と下で同じです。

$$A_1\,(y_1 - \syc) = A_2\,(\syc - y_2)$$

この式を、$\syc$ について解きます。まず、かっこを外します。

$$A_1 y_1 - A_1 \syc = A_2 \syc - A_2 y_2$$

$\syc$ のつく項を右へ、つかない項を左へ集めます。

$$A_1 y_1 + A_2 y_2 = (A_1 + A_2)\,\syc$$

両辺を $A_1 + A_2$ でわると、図心の式ができます。

$$\syc = \dfrac{\overbrace{A_1 y_1 + A_2 y_2}^{\text{面積 × 位置を足す}}}{\underbrace{A_1 + A_2}_{\text{面積を足す}}}$$

式を、かたまりに分けて読む

1. 分子：面積 × 位置を足したもの　シーソーの「おもり × 距離」と同じ形です。面積の大きい部品ほど、図心を自分の側へ引き寄せます。重いおもりが、支点を自分の側へ寄せるのと同じです。
2. 分母：面積を足したもの　断面全体の面積です。分子をこれでわるので、図心は、部品の位置を面積の重みで平均した場所になります。面積が同じ2つの部品なら、図心は、2つの中心のちょうど真ん中です。
3. 部品が3つ以上でも、同じ　分子も分母も、部品の数だけ足していきます。$\textstyle\sum$ は「全部足す」という記号です。

$$\syc = \dfrac{\sum A_i\,y_i}{\sum A_i}$$

分子の「面積 × 位置を足したもの」には、断面一次モーメントという名前がついています。

手順にまとめると、3つです。

1. 部品に分ける（長方形など、中心が分かる形に）
2. 面積 × 位置を足す
3. 全体の面積でわる

基準の線は、どこに置いてもかまいません。ただし、すべての部品の位置を、同じ基準の線から測ります。

よく使う形の図心は、次のとおりです。

T形で確かめる

この式で、例の T形の図心を求めます。上の板（フランジ）は、幅 60 mm、厚さ 10 mm。下の板（ウェブ）は、高さ 60 mm、厚さ 10 mm。全体の高さは 70 mm です。基準の線は、下の縁にします。

使う式は、これです。フランジの項を朱、ウェブの項を青で書きます。

$$\syc = \dfrac{\htmlClass{q-force}{A_f\,y_f} + \htmlClass{q-displacement}{A_w\,y_w}}{\htmlClass{q-force}{A_f} + \htmlClass{q-displacement}{A_w}}$$

数を、表で1つずつ出します。

フランジの位置は、ウェブの高さ 60 mm に、フランジの厚さの半分 5 mm を足した 65 mm です。

数を、式の枠に入れます。

$$\syc = \dfrac{\htmlClass{q-force}{600 \times 65} + \htmlClass{q-displacement}{600 \times 30}}{\htmlClass{q-force}{600} + \htmlClass{q-displacement}{600}} = \dfrac{57{,}000}{1{,}200} = 47.5\ \mathrm{mm}$$

面積は 1,200 mm²、面積 × 位置は 57,000 mm³ です。図心は、下の縁から 47.5 mm。

シーソーのとおり、65 mm と 30 mm のちょうど真ん中です。2枚の面積が同じだからです。

高さの真ん中は 35 mm です。図心は、それより 12.5 mm 上にあります。上の縁までは、$70 - 47.5 = 22.5$ mm です。

基準の線を上の縁に置いても、答えは同じです。上から測ると、フランジの位置は 5 mm、ウェブの位置は 10 + 30 = 40 mm。$(600 \times 5 + 600 \times 40)/1{,}200 = 22.5$ mm で、上の縁から 22.5 mm になります。

穴は、面積をマイナスにして足す

試験で引っかかりやすいのが、穴のあいた断面です。穴は、面積をマイナスにして、部品の1つとして足します。

幅 60 mm、高さ 100 mm の板に、20 × 20 mm の四角い穴があいているとします。穴の中心は、下の縁から 75 mm です。板は面積 6,000 mm²、位置 50 mm。穴は面積 −400 mm²、位置 75 mm です。

$$\syc = \dfrac{6{,}000 \times 50 + (-400) \times 75}{6{,}000 + (-400)} = \dfrac{270{,}000}{5{,}600} = 48.2\ \mathrm{mm}$$

穴の分だけ、図心は、真ん中の 50 mm より下へ動きます。上の材料が減ったからです。

穴の面積をプラスで足すと、51.6 mm になり、逆に上へずれてしまいます。

どの寸法が、図心を動かす？

T形の寸法を1つずつ 10% 増やして、図心の動きを見ます。基準は、上の T形です（図心は下の縁から 47.5 mm、上の縁まで 22.5 mm、その比は 2.11）。

フランジを厚くしても、幅を広げても、上が重くなるので、図心は上へ動きます。ウェブを厚くすると、下が重くなるので、図心は下へ動きます。図心は、材料を足した側へ動きます。シーソーで、片側のおもりを重くしたのと同じです。

いちばん動くのは、ウェブの高さです。フランジが持ち上がるからです。ただし、断面全体も高くなるので、上の縁までの距離も一緒にのびます（22.5 → 24.9 mm）。上下のアンバランス（下 ÷ 上）は、むしろ 2.11 から 2.05 へ小さくなります。

中立軸は、図心を通る

ここからは、図心を知らないといけない理由です。

T形のはりを、両端で支えて、真ん中を押します。はりは下へ曲がります。曲がると、はりの上のほうは縮み、下のほうは伸びます。

縮むところと伸びるところの間に、長さの変わらない線が1本あります。これを、中立軸と言います。

この線は、断面のどこを通るのでしょうか。1段ずつ見ていきます。

1. 伸び縮みは、中立軸から遠いほど大きい。扇を開くと、外側ほど大きく広がるのと同じです。伸び縮みは、中立軸からの距離に比例します。
2. 応力も、距離に比例する。フックの法則と縦弾性係数 のとおり、伸び縮み（ひずみ）が大きいほど、応力も大きくなるからです。
3. 帯の力は「距離 × 面積」に比例する。断面を、横に薄い帯に切ります。1本の帯が受け持つ力は、応力 × 面積です。応力が距離に比例するので、帯の力は「中立軸からの距離 × 面積」に比例します。
4. 押す力の合計と、引っぱる力の合計は同じ。はりは、上から押されて曲がっているだけです。横に引っぱられてはいません。だから、中立軸より上の帯が押す力の合計と、下の帯が引っぱる力の合計は、同じ大きさです。
5. それは、シーソーの決まりと同じ式。「距離 × 面積」が、中立軸の上と下でつり合います。断面を横に倒すと、中立軸を支点にしたシーソーです。

つまり、中立軸は、面積の釣り合い点、図心を通るのです。

例の T形の中立軸は、高さの真ん中の 35 mm ではなく、図心の 47.5 mm を通ります。

遠い縁ほど、大きく伸びる

中立軸が図心を通ると、何が起きるか。上の縁と下の縁を比べます。

図心から、上の縁までは 22.5 mm。下の縁までは 47.5 mm です。下の縁は、上の縁よりおよそ 2.1 倍遠いのです。

$$47.5 \div 22.5 = 2.11$$

伸び縮みは、中立軸からの距離に比例しました。だから、下の縁は、上の縁の 2.1 倍伸びます。応力も、同じ 2.1 倍です。この断面で、いちばん大きな応力がかかるのは、下の縁です。

もし、図心を高さの真ん中だと思いこむと、上と下の縁は、どちらも中立軸から 35 mm に見えます。すると、下の縁の応力を、実際のおよそ 3/4 に小さく見積もってしまいます。

$$35 \div 47.5 = 0.74$$

図心をまちがえると、いちばん危ない場所を見落とすのです。

この差は、材料の置き方にも使います。鋳鉄は、引っぱりに弱く、押しつぶしに強い材料です。下へ曲がるはりでは、下の縁が伸びます。そこで、フランジを下にして置くと、伸びる下の縁が図心に近くなり、伸びが小さくてすみます。

縁の応力の大きさそのものは、断面の形と曲げの強さで決まります。式は、曲げ応力の式 の単元で求めます。この単元で分かるのは、上と下の縁の比が、図心からの距離の比になることです。

動かしてみよう

T形の寸法を動かして、図心 $\syc$ がどう動くかを見てください。右の内訳は、フランジ（朱）とウェブ（青）の「面積 × 位置」です。フランジの幅を広げると、朱の棒が長くなり、図心は上へ動きます。ウェブの高さを増やすと、どうなるでしょうか。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1上の板の幅 B を2倍の 120 mm にして、釣り合い点（図心）の動きを見る（まだ）
2. 2B を 60 mm に戻し、下の板の厚さ tw を2倍の 20 mm にして、右の内訳の棒を見る（まだ）
3. 3下の板の厚さ tw を、上の板の幅 B と同じにして、長方形にする（まだ）

B上の板（フランジ）の幅−mm＋

tf上の板（フランジ）の厚さ−mm＋

hw下の板（ウェブ）の高さ−mm＋

tw下の板（ウェブ）の厚さ−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる図心の位置（下の縁から）は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-geometry}{\bar{y}} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{G}}{\htmlClass{q-geometry}{A}}$$$$= \dfrac{57{,}000}{1{,}200}$$$$= 47.5\ \mathrm{mm}$$

断面積

$\htmlClass{q-geometry}{A} = 1{,}200\ \mathrm{mm^2}$

フランジの 面積×位置

$\htmlClass{q-material}{G_f} = 39{,}000\ \mathrm{mm^3}$

ウェブの 面積×位置

$\htmlClass{q-material}{G_w} = 18{,}000\ \mathrm{mm^3}$

断面一次モーメント（面積×位置の和）

$\htmlClass{q-material}{G} = 57{,}000\ \mathrm{mm^3}$

図心の位置（下の縁から）

$\htmlClass{q-geometry}{\bar{y}} = 47.5\ \mathrm{mm}$

図心から上の縁までの距離

$\htmlClass{q-geometry}{y_{\text{上}}} = 22.5\ \mathrm{mm}$

途中の計算（導出）を見る

1. フランジ（上の板）：面積 × 位置（下の縁から板の中心まで）

   $$\htmlClass{q-material}{G_f} = \htmlClass{q-geometry}{A_f}\,y_f = \htmlClass{q-geometry}{B}\,\htmlClass{q-geometry}{t_f}\left(\htmlClass{q-geometry}{h_w} + \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{t_f}}{2}\right) = 60 \times 10 \times \left(60 + \dfrac{10}{2}\right) = 600 \times 65 = 39{,}000\ \mathrm{mm^3}$$

2. ウェブ（縦の板）：面積 × 位置（下の縁から板の中心まで）

   $$\htmlClass{q-material}{G_w} = \htmlClass{q-geometry}{A_w}\,y_w = \htmlClass{q-geometry}{t_w}\,\htmlClass{q-geometry}{h_w}\cdot\dfrac{\htmlClass{q-geometry}{h_w}}{2} = 10 \times 60 \times \dfrac{60}{2} = 600 \times 30 = 18{,}000\ \mathrm{mm^3}$$

3. 足す（断面一次モーメント）と、全体の面積

   $$\htmlClass{q-material}{G} = \htmlClass{q-material}{G_f} + \htmlClass{q-material}{G_w},\quad \htmlClass{q-geometry}{A} = \htmlClass{q-geometry}{A_f} + \htmlClass{q-geometry}{A_w} = 39{,}000 + 18{,}000 = 57{,}000,\quad 600 + 600 = 1{,}200 = 57{,}000,\ 1{,}200$$

4. 全体の面積で割る（図心の位置。下の縁から）

   $$\htmlClass{q-geometry}{\bar{y}} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{G}}{\htmlClass{q-geometry}{A}} = \dfrac{57{,}000}{1{,}200} = 47.5\ \mathrm{mm}$$

5. 図心から上の縁までの距離（全体の高さ − ȳ）

   $$\htmlClass{q-geometry}{y_{\text{上}}} = (\htmlClass{q-geometry}{t_f} + \htmlClass{q-geometry}{h_w}) - \htmlClass{q-geometry}{\bar{y}} = 70 - 47.5 = 22.5\ \mathrm{mm}$$

よくある勘違い

「図心は、いつも断面の真ん中にある」

上下左右が対称な断面（長方形・円・H形）なら、図心は真ん中です。T形のような非対称な断面では、真ん中から外れます。例の T形では、高さの真ん中 35 mm に対して、図心は 47.5 mm でした。

「図心は、材料のある場所にある」

図心は、面積の釣り合い点です。材料がある点とは限りません。

L字金具（縦 60 mm、横 40 mm、厚さ 10 mm）を、縦の脚と横の脚に分けて、図心の式で計算します。図心は、外側の角から横に 11.67 mm、縦に 21.67 mm のところです。どちらも脚の厚さ 10 mm より外なので、2本の脚のすき間（何もない場所）に入ります。

「重心と図心は、同じ言葉」

均一な板なら、同じ場所です。でも、材料の重さが場所によってちがえば、重心は図心からずれます。図心は、形だけで決まります。

この単元で使う前提

• 断面は、長方形などの、中心の場所が分かる部品に分けられる
• 位置は、すべての部品を同じ基準の線から、同じ長さの単位（mm など）で測る
• 中立軸が図心を通るのは、材料が一様で、伸びも縮みも同じフックの法則に従い、はりが横に引っぱられていない（曲げているだけの）場合。2種類の材料を貼り合わせたはりでは、図心をそのまま使えない
• この単元の T形は左右が対称。なので、図心の左右の位置は真ん中で、求めるのは高さ $\syc$ だけ

図心からずれた軸を使う計算は、平行軸の定理 の単元で扱います。

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

図心の定義：断面を、面積 $dA$ の細い帯に分けます。基準の線から帯までの距離を $y$ とすると、シーソーの決まり「面積 × 図心からの距離の合計が 0」は、

$$\int (y - \syc)\,dA = 0$$

$\int \syc\,dA = \syc\,\sA$ なので、$\int y\,dA - \syc\,\sA = 0$。両辺を $\sA$ でわって、

$$\syc = \dfrac{\int y\,dA}{\sA}$$

長方形（高さ $\sh$、幅 $\sb$）なら、$\int_0^{\sh} y\,\sb\,dy = \sb\sh^2/2$、面積は $\sb\sh$ なので、$\syc = \sh/2$ です。

部品に分けた式：全体の積分は、部品ごとの積分の合計です。部品 $i$ の中での $\int y\,dA$ は、その部品の図心の定義から $A_i\,y_i$ です。したがって、

$$\syc = \dfrac{\sum A_i\,y_i}{\sum A_i}$$

中立軸が図心を通る理由：中立軸からの距離を $y'$ とします。ひずみは $y'$ に比例するので、ある定数 $k$ を使って $\varepsilon = k\,y'$。フックの法則から、応力は $\sigma = E\,\varepsilon = E\,k\,y'$ です。はりは横に引っぱられていないので、断面の力の合計は 0 です。

$$\int \sigma\,dA = E\,k\int y'\,dA = 0$$

つまり、$\int y'\,dA = 0$。これは、上の「図心の定義」の式と同じ形です。この式が成り立つ線は、図心を通る線だけです。したがって、中立軸は図心を通ります。