割り箸は、なぜ外側から割れる？曲げ応力の式

割り箸は、なぜ外側から割れる？

割り箸を両手で曲げると、ひびは、曲げた外側から入ります。内側には、ひびが入りません。

外側の材料が、いちばん大きく引き伸ばされているからです。

でも、これだけでは足りません。外側には、どれだけの応力がかかっているのでしょうか。それを計算するのが、この単元の曲げ応力の式です。

予想してから読む幅 30 mm・高さ 60 mm の鋼の棒を、立てて曲げます。同じ棒を寝かせて（高さ 30 mm にして）同じ曲げモーメントをかけると、縁の応力は何倍？

A変わらないB2倍C4倍D8倍

曲げると、外側が伸び、内側が縮む

割り箸の側面に、同じ間隔で細い線を引いておきます。曲げると、外側の線の間隔は広がります。内側の線の間隔は狭まります。

外側は伸び、内側は縮むのです。

割り箸では目に見えないほど小さな伸び縮みです。厚いスポンジで大きく曲げると、目で見えます。

伸びるところと縮むところのあいだに、長さの変わらない線が1本あります。図心（断面の中心） の単元で見た、中立軸です。中立軸は、断面の図心を通ります。割り箸の長方形の断面なら、ちょうど真ん中です。

では、どれだけ伸び縮みするのか。これも図心の単元で、扇の絵で見ました。扇を開くと、外側ほど大きく広がります。伸び縮みは、中立軸からの距離に比例するのでした。

この比例の関係を、式に書きます。

伸びの割合は、距離 ÷ 曲率半径

まず、曲がり具合を数で表します。曲がった割り箸を、大きな円の一部と見ます。ゆるく曲げると大きな円、急に曲げると小さな円になります。

この円の半径を、曲率半径と言います。記号は $\rho$（ロー）です。急に曲げるほど、小さくなる数です。

曲がった部分を、扇の形に切り出します。中立軸の円弧は、半径 $\rho$ です。中立軸から外側へ $y$ 離れた円弧は、半径 $\rho + y$ です。

同じ開きの扇なら、円弧の長さは半径に比例します。簡単な数で見ます。半径 100 の円弧と、半径 101 の円弧です。

$$\dfrac{101}{100} = 1.01$$

外側の円弧は 1.01 倍の長さで、1% 伸びています。この 1% は、$1 \div 100$、つまり「距離 ÷ 半径」です。

同じことを式で確かめます。ひずみは、伸びを元の長さでわったものでした（応力とひずみ）。元の長さは中立軸の円弧、伸びは外側の円弧との差です。円弧の長さは、半径 × 開き $\theta$ です。

$$\varepsilon = \dfrac{(\rho + y)\,\theta - \rho\,\theta}{\rho\,\theta}$$

開き $\theta$ は上にも下にもあるので、約分で消えます。上は $\rho + y$ から $\rho$ を引くので、$y$ だけが残ります。

$$\varepsilon = \dfrac{y}{\rho}$$

ひずみは、中立軸からの距離 $y$ に比例します。扇で見たとおりです。急に曲げて $\rho$ が小さくなっても、ひずみは大きくなります。

応力も、距離に比例する

ひずみが分かれば、応力が出ます。フックの法則と縦弾性係数 の単元の式です。

$$\sigma = \sE\,\varepsilon$$

$\sE$ は材料の伸びにくさで、鋼なら 206 GPa です。$\varepsilon$ のところに、$y/\rho$ を入れます。

$$\sigma = \sE\,\dfrac{y}{\rho}$$

$\sE$ と $\rho$ は、断面のどこでも同じです。変わるのは $y$ だけです。だから、応力も中立軸からの距離に比例します。

中立軸で 0。外側へ行くほどまっすぐ大きくなり、縁で最大です。内側も同じように大きくなります。ただし向きは逆で、押しつぶす向き（圧縮）です。

この式で、ほとんどまっすぐな鋼の棒の、縁の応力を出してみます。棒の高さは 60 mm で、縁は中立軸から 30 mm です。曲率半径は 100 m、つまり 100,000 mm。見た目には、まっすぐです。

使う式は2つです。

$$\varepsilon = \dfrac{y}{\rho} = \dfrac{30}{100{,}000} = 0.0003$$ $$\sigma = \sE\,\varepsilon = 206{,}000 \times 0.0003 = 61.8\ \mathrm{MPa}$$

まっすぐに見えても、縁にはこれだけの応力が出ています。

割り箸に戻ります。外側の縁は、中立軸からいちばん遠い場所です。だから、応力がいちばん大きくなります。しかも、引き伸ばされる向きです。ひびは、そこから入ります。

木は、縮められるほうが少し弱く、内側が先にしわのようにつぶれることもあります。それでも、最後にパキッと裂けるのは、引き伸ばされる外側です。ガラスや定規のプラスチックは、引き伸ばされるほうがずっと弱いので、外側から割れます。

帯の回す効き目を、全部足す

ここまでの式には、曲率半径 $\rho$ が入っています。でも、はりの曲がり具合を先に測ることは、ふつうありません。

先に分かるのは、はりにかかる荷重です。荷重からは、せん断力図と曲げモーメント図 の単元の図で、曲げモーメント $\sM$ が求まります。

前の単元では、はりを切って、片側をシーソーと見ました。切り口のまわりに片側を回そうとする「力 × 距離」。それが曲げモーメント $\sM$ でした。

では、断面の中でこの $\sM$ を受け止めているのは、何でしょうか。

断面を、横に薄い帯に切ります。図心の単元と同じ帯です。1本の帯の応力は $\sE y/\rho$。応力は面積あたりの力なので、帯の力は「応力 × 帯の面積」です。

$$(\text{帯の力}) = \sE\,\dfrac{y}{\rho} \times \Delta A$$

この力は、中立軸を支点にして、断面を回そうとします。回す効き目は、シーソーと同じ「力 × 距離」です。

帯の力は、距離に比例しました。そこへ、もう1度距離をかけます。簡単な数で見ます。同じ面積の帯が2本、中立軸からの距離は 1 と 2 です。

$$\underbrace{2}_{\text{力が2倍}} \times \underbrace{2}_{\text{腕も2倍}} = 4\ \text{倍}$$

距離が2回かかるので、回す効き目は距離の2乗に比例します。

中立軸より上の帯は押す力、下の帯は引く力です。押す力と引く力は、図心の単元で見たとおり、合計すると打ち消し合います。

でも、回す向きは、どちらも同じです。シーソーの片側を押し下げて、反対側を引き上げると、同じ向きに回るのと同じです。だから、帯の回す効き目を全部足したものが、$\sM$ を受け止めます。

式に書きます。帯ごとに、応力 × 面積で力。それに距離をかけて、全部足します。

$$\sM = \sum \left(\sE\,\dfrac{y}{\rho}\,\Delta A\right) \times y$$

$\sE/\rho$ は、どの帯でも同じです。足し算の外へ出せます。

$$\sM = \dfrac{\sE}{\rho} \sum y^2\,\Delta A$$

残ったのは、距離の2乗 × 帯の面積を、全部足したものです。この形は、断面二次モーメント の単元で出てきました。

$$\sI = \sum y^2\,\Delta A$$

断面二次モーメントの単元では「帯の力は距離に比例する」と言いました。その比例の数の正体が、$\sE/\rho$ です。まとめると、次の式です。

$$\sM = \dfrac{\sE\,\sI}{\rho}$$

ρ を消して、曲げ応力の式にする

ここで、式が2つそろいました。

$$\sigma = \dfrac{\sE}{\rho}\,y \qquad\qquad \sM = \dfrac{\sE}{\rho}\,\sI$$

どちらにも、$\sE/\rho$ が入っています。右の式の両辺を、$\sI$ でわります。右辺の $\sI$ は約分で消えます。

$$\dfrac{\sM}{\sI} = \dfrac{\sE}{\rho}$$

左の式の $\sE/\rho$ のところに、$\sM/\sI$ を入れて、並べかえます。

$$\sigma = \dfrac{\sM}{\sI} \times y = \dfrac{\sM\,y}{\sI}$$

これが、曲げ応力の式です。$\rho$ が消えて、荷重から求まる $\sM$ から、応力を出せるようになりました。

言葉で読むと、応力は「曲げモーメント × 距離」を、断面二次モーメントでわったものです。

$$\sigma = \underbrace{\sM}_{\text{曲げる効き目}} \times \underbrace{\dfrac{1}{\sI}}_{\text{曲がりにくさの逆数}} \times \underbrace{y}_{\text{中立軸からの距離}}$$

1. 曲げモーメント $\sM$　大きいほど、断面の応力は全体に大きくなります。割り箸を強く曲げるほど、折れに近づくのと同じです。
2. 断面二次モーメント $\sI$　大きいほど、応力は小さくなります。立てた定規が曲がりにくいのと同じです。
3. 距離 $y$　中立軸から遠いほど、応力は大きくなります。いちばん大きいのは縁です。

鋼の棒で、確かめる

この式で、鋼の棒の縁の応力を出してみます。断面は幅 30 mm、高さ 60 mm。断面二次モーメントの単元と同じ棒です。曲げモーメントは 1 kN·m。せん断力図と曲げモーメント図 の単元のはりの、おもりの真下の値です。

使う式を、先に置きます。

$$\sigma = \dfrac{\boxed{\sM}\times\boxed{y}}{\boxed{\sI}}$$

まず、単位を N と mm にそろえます。1 kN は 1,000 N、1 m は 1,000 mm です。

$$\sM = 1\ \mathrm{kN\cdot m} = 1{,}000\ \mathrm{N} \times 1{,}000\ \mathrm{mm} = 1{,}000{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$$

$y$ は、中立軸から縁まで。高さの半分で 30 mm です。$\sI$ は、断面二次モーメントの単元で求めた数です。

$$\sI = \dfrac{30 \times 60^3}{12} = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

3つの枠に、数を入れます。

$$\sigma = \dfrac{\boxed{1{,}000{,}000}\times\boxed{30}}{\boxed{540{,}000}} = \dfrac{30{,}000{,}000}{540{,}000} \fallingdotseq 55.6\ \mathrm{MPa}$$

鋼が元に戻らなくなる応力を、少し低めに見て 235 MPa とします。55.6 MPa は、そのおよそ4分の1。まだ余裕があります。

では、同じ棒を寝かせて使うと、どうなるでしょうか。高さは 30 mm になります。縁までの $y$ は、半分の 15 mm。$\sI$ は高さの3乗で効くので、立てたときの4分の1です。

$$\sI = \dfrac{60 \times 30^3}{12} = 135{,}000\ \mathrm{mm^4}$$ $$\sigma = \dfrac{1{,}000{,}000 \times 15}{135{,}000} \fallingdotseq 111.1\ \mathrm{MPa}$$

$y$ は 2分の1、$\sI$ は 4分の1。$\sI$ でわるので、応力は $\tfrac{1}{2} \div \tfrac{1}{4} = 2$ 倍です。同じ棒でも、寝かせると縁の応力は2倍になります。

桁を大きく狂わせやすいのが、m と mm の取り違え

$\sM$ を N·m、$y$ を m で入れたのに、$\sI$ だけ mm⁴ の 540,000 をそのまま使ってしまう。すると答えは、ほとんど 0。正しい答えの1兆分の1です。

$\sI$ は長さの4乗です。1 m は 1,000 mm なので、ずれも 1,000 の4乗、$10^{12}$（1兆）倍です。N と mm にそろえておけば、答えはそのまま MPa（N/mm²）で出ます。

縁の応力は、M ÷ Z

縁では $y = \sh/2$ です。$\sh/2$ をかけることは、$1/(\sh/2)$ でわることと同じなので、分母へ移せます。

$$\sigma_{\max} = \dfrac{\sM\,(\sh/2)}{\sI} = \dfrac{\sM}{\sI/(\sh/2)} = \dfrac{\sM}{\sZ}$$

分母の $\sZ = \sI/(\sh/2)$ は、断面の形だけで決まる量です。断面係数と言います。これを使うと、縁の応力は1回のわり算で出ます。丸棒・管・H形の断面係数と、形の比べ方は、次の 断面係数（形の効率） の単元で扱います。

長方形なら、$\sI = \sb\,\sh^3/12$ を $\sh/2$ でわって、$\sZ = \sb\,\sh^2/6$ です。さっきの棒は $\sZ = 30 \times 60^2/6 = 18{,}000\ \mathrm{mm^3}$ で、$1{,}000{,}000 \div 18{,}000 \fallingdotseq 55.6\ \mathrm{MPa}$。$\sigma = \sM y/\sI$ の答えと同じです。

どの数字がいちばん効く？

縁の応力 $\sigma_{\max} = \sM/\sZ = 6\sM/(\sb\,\sh^2)$ で、それぞれの数字を1割（10%）だけ変えたときの変化です。

高さは、幅の約2倍効きます（17% と 9%）。同じ量の材料を使うなら、幅を広げるより、高さを出すほうが縁の応力を下げられます。立てた棒（$\sZ = 18{,}000\ \mathrm{mm^3}$）と寝かせた棒（$\sZ = 9{,}000\ \mathrm{mm^3}$）で、応力が2倍ちがったのもこのためです。

動かしてみよう

このシミュレータは、曲がり方（曲率 $1/\rho$）を決めて、断面の応力を見ます。上の計算は $\sM$ を決めた比べ方でした。どちらを決めるかで、高さの効き方が逆になるので、気をつけて見てください。

初期値は、ポイントの棒（幅 30 mm・高さ 60 mm の鋼）を、縁の応力が 55.6 MPa（M は約 1 kN·m）になるだけ曲げたところです。

まず、曲がりの強さを動かして、断面の応力の三角形が、中立軸で 0、縁で最大のまま、大きさだけ変わることを見てください。

次に、高さ $\sh$ を大きくします。同じだけ曲げるなら、縁が中立軸から遠くなるので、縁の応力は大きくなります（$\sigma_{\max} = \sE\,(\sh/2)/\rho$）。そのとき、曲げるのに要る $\sM$ は、もっと大きく増えています。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1位置 y を2倍の 20 mm にして、その位置の応力を見る（まだ）
2. 2y を 10 mm に戻し、高さ h を2倍の 120 mm にして、縁の応力と M を見る（まだ）
3. 3棒を寝かせる：高さ h を 30 mm、幅 b を 60 mm にして、曲がりの強さを2倍の 0.018 にする（まだ）

κ曲率（曲がりの強さ）−1/m＋

h断面の高さ−mm＋

b断面の幅−mm＋

E縦弾性係数（ヤング率）−GPa＋

y中立軸からの距離−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる最大曲げ応力は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-displacement}{\varepsilon_{\max}}$$$$= 206{,}000\ \mathrm{N/mm^2} \times 2.7\times 10^{-4}$$$$= 55.62\ \mathrm{MPa}$$

曲率半径

$\htmlClass{q-displacement}{\rho} = 111.1\ \mathrm{m}$

縁のひずみ

$\htmlClass{q-displacement}{\varepsilon_{\max}} = 2.7\times 10^{-4}\$

位置 y の応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma(y)} = 18.54\ \mathrm{MPa}$

最大曲げ応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = 55.62\ \mathrm{MPa}$

曲げモーメント

$\htmlClass{q-moment}{M} = 1.001\ \mathrm{kN\cdot m}$

断面二次モーメント

$\htmlClass{q-material}{I} = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$

断面係数

$\htmlClass{q-material}{Z} = 18{,}000\ \mathrm{mm^3}$

途中の計算（導出）を見る

1. 曲率半径（曲がりの強さの逆数）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\rho} = \dfrac{1}{1/\rho} = \dfrac{1}{0.009\ \mathrm{m^{-1}}} = 111.1\ \mathrm{m}$$

2. 縁のひずみ（中立軸から h/2 離れた、いちばん外側の材料の伸び縮み）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\varepsilon_{\max}} = \dfrac{h/2}{\htmlClass{q-displacement}{\rho}} = \dfrac{60/2}{111.1} = 2.7\times 10^{-4}$$

3. 縁の応力（フックの法則）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-displacement}{\varepsilon_{\max}} = 206{,}000\ \mathrm{N/mm^2} \times 2.7\times 10^{-4} = 55.62\ \mathrm{MPa}$$

4. 位置 y の応力（ひずみは y に比例するので、応力も y に比例する）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma(y)} = \htmlClass{q-material}{E}\,\dfrac{\htmlClass{q-geometry}{y}}{\htmlClass{q-displacement}{\rho}} = 206{,}000\ \mathrm{N/mm^2} \times \dfrac{10}{111.1} = 18.54\ \mathrm{MPa}$$

5. 断面二次モーメント（長方形断面）

   $$\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{30 \times 60^3}{12} = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

6. 曲げモーメント（断面全体で足し合わせた、力のモーメント）

   $$\htmlClass{q-moment}{M} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}}{\htmlClass{q-displacement}{\rho}} = \dfrac{206{,}000\ \mathrm{N/mm^2} \times 540{,}000\ \mathrm{mm^4}}{111.1} = 1{,}001{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$$

7. 確かめ：M ÷ 断面係数 が、縁の応力と同じになる

   $$\dfrac{\htmlClass{q-moment}{M}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{1{,}001{,}000}{18{,}000} = 55.62\ \mathrm{MPa}$$

よくある勘違い

「曲げの応力も、断面のどこでも同じ」

引っ張りの応力は、断面のどこでも同じでした。曲げの応力は違います。縁で大きく、中立軸では 0 です。中立軸の近くの材料は、あまり働いていません。

H形鋼が、真ん中の材料を減らして上下の縁に集めているのは、このためです。

「硬い材料に替えれば、縁の応力は下がる」

曲げ応力の式 $\sigma = \sM y/\sI$ には、硬さの $\sE$ が入っていません。$\sM$ が決まっていれば、縁の応力は材料によらず同じです。

変わるのは、曲がり方のほうです。$\rho = \sE\sI/\sM$ なので、やわらかい材料ほど、大きく曲がります。

「中立軸は、いつも断面の真ん中にある」

中立軸は、断面の図心を通ります。上下対称の断面なら真ん中ですが、T形や山形の断面では、真ん中より片側に寄ります。

「ひずみと応力は、同じもの」

ひずみは「どれだけ伸びたか」、応力は「どれだけの力がかかっているか」です。$\sE$ をかけると、ひずみから応力になります。

この単元で使う前提

• 純曲げ（曲げモーメントだけがかかり、せん断力は考えない）。せん断力もあるはりでも、細長いはりなら、この式で十分によい近似になります。
• 材料は弾性の範囲（フックの法則が成り立つ）。
• 断面は、曲げる前も後も平らなまま。
• 上下対称の断面で、荷重は対称面の中にある。

中立軸が図心を通る理由と、平らなままの仮定（くわしく知りたい人へ）

中立軸が図心を通る理由：曲げモーメントだけがかかるとき、断面の帯の力を全部足すと 0 です（決まり1：押す力 ＝ 引く力）。

$$\sum \sigma\,\Delta A = \dfrac{\sE}{\rho}\sum y\,\Delta A = 0$$

$\sum y\,\Delta A = 0$ になるのは、$y$ を測る基準の線が図心を通るときです（図心の単元の、シーソーの釣り合い）。だから、中立軸は図心を通ります。

断面が平らなまま、という仮定：曲げても、断面が平面のまま、棒の軸に垂直のままだと仮定しています（ベルヌーイ・オイラーの仮定）。この仮定があるから、断面の切り口が扇の半径の線になり、ひずみが $y$ に比例します。細長いはりでは、実験でもよく成り立ちます。