荷重がいくつあっても、1つずつ足せばいい重ね合わせの原理

前の単元との違い前の単元までは、荷重が1つでした。この単元では、2つ以上の荷重を同時にかけます。

棚板に、本と花瓶

壁に付けた棚板に、本が並んでいます。そこへ、花瓶を1つ置きました。棚板の先は、どれだけ下がるでしょうか。

本の列だけなら、全体に広がった荷重です。片持ちばりのたわみ（等分布荷重） の式で出せます。

花瓶だけなら、1点にかかる荷重です。これも、片持ちばりの式で出せます。

でも、これまでの単元の公式は、どれも荷重が1つの場合のものでした。本と花瓶が同時に載ったときは、どう計算するのでしょうか。

予想してから読む全体に広げた荷重だけで 1.19 mm、真ん中の荷物だけで 1.90 mm 下がる橋があります。両方を同時にかけると、真ん中は何 mm 下がる？

A1.90 mm（大きいほうだけ）B3.08 mmC6 mm 以上（足した値より、ずっと大きい）

答えは、足し算です。本だけのたわみと、花瓶だけのたわみを、足せばよいのです。

この単元では、なぜ足してよいのかを、シーソーの決まりから確かめます。

切り口の曲げモーメントは、足し算でできている

例を、両端を支えた橋にします。鋼の角棒（幅 30 mm、高さ 60 mm）を、長さ 1,500 mm で渡します。

この橋に、2つの荷重が同時にかかります。

• 全体に均等な荷重：1 mm あたり 2 N（合計 3,000 N）。橋の自分の重さや、敷いた板の重さです。
• 真ん中の荷物：3,000 N

せん断力図と曲げモーメント図 では、はりを切り、切り口の片側をシーソーと見ました。決まり2から、切り口の曲げモーメントは次のとおりです。

$$\sM = \text{（左側の力} \times \text{切り口までの距離）を、全部足したもの}$$

「全部足す」ので、左側の力を、どの荷重から来たかで2組に分けても、合計は変わりません。

真ん中で切って、数で確かめます。

全体の荷重だけのとき。左の台が支える力は 1,500 N で、切り口から 750 mm です。左半分の荷重 1,500 N は、まとめると真ん中の 375 mm の位置にかかり、逆向きに回します。

$$\sM_1 = 1{,}500 \times 750 - 1{,}500 \times 375 = 562{,}500\ \mathrm{N\cdot mm}$$

荷物だけのとき。左の台が支える力は 1,500 N です。荷物は切り口の真上にあり、距離が 0 なので、回しません。

$$\sM_2 = 1{,}500 \times 750 = 1{,}125{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$$

両方のとき。左の台が支える力は、1,500 + 1,500 = 3,000 N です。

$$\sM = 3{,}000 \times 750 - 1{,}500 \times 375 = 1{,}687{,}500\ \mathrm{N\cdot mm}$$

これは、$\sM_1 + \sM_2$ = 562,500 + 1,125,000 と同じです。

荷重が2つあるときの曲げモーメントは、1つずつのときの曲げモーメントの和です。どの位置で切っても、同じことが言えます。

曲がり具合も、たわみも、足し算になる

曲げモーメントが足し算なら、たわみも足し算になります。2段で確かめます。

1段目。曲げ応力の式 の式で、はりの曲がり具合は、曲げモーメントに比例します。

$$\dfrac{1}{\srho} = \dfrac{\sM}{\sE\,\sI} = \dfrac{\sM_1 + \sM_2}{\sE\,\sI} = \dfrac{\sM_1}{\sE\,\sI} + \dfrac{\sM_2}{\sE\,\sI}$$

$\sE\,\sI$ は、荷重によらず同じ数です。だから、曲がり具合も、荷重ごとの曲がり具合の和です。

2段目。たわみの微分方程式と積分法 で見たとおり、曲がり具合を端から足していくと傾きになり、傾きを足していくとたわみになります。

足し算の結果を、さらに足していくだけです。だから、たわみも、荷重ごとのたわみの和になります。

片持ちばりの単元（片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重）・片持ちばりのたわみ（等分布荷重））の見方でも、同じです。先端のたわみは、曲がり具合のグラフを帯に切り、「帯の面積 × 先端までの距離」を全部足したもの（グラフの面積 × 図心から先端まで）でした。

グラフが2つの荷重のぶんの和なら、帯の1本1本も和です。帯ごとに分けて足しても、まとめて足しても、合計は同じです。

支点の条件も崩れません。支点でのたわみは、どちらの荷重だけでも 0 なので、和も 0 + 0 = 0 です。

この「荷重ごとに別々に求めて、足す」やり方を、重ね合わせの原理といいます。

単純支持ばりのたわみ（等分布荷重） で、5/384 を出したときのことを思い出してください。支点の押し上げで上がる 8/384 と、広げた荷重で下がる 3/384 を、差し引きしました。そのとき「差し引きしてよいとします」と先送りした理由が、この重ね合わせの原理です。下向きを正にとれば、差し引きも足し算の1つです。

数で確かめる

使う式を、先に置きます。真ん中のたわみは、単純支持ばりのたわみ（等分布荷重） と 単純支持ばりのたわみ（中央に集中荷重） の式の和です。

$$\sdelta = \underbrace{\dfrac{5\,\sw\,\sL^4}{384\,\sE\,\sI}}_{\text{全体の荷重のぶん}} + \underbrace{\dfrac{\sP\,\sL^3}{48\,\sE\,\sI}}_{\text{荷物のぶん}}$$

断面は $\sI = 30 \times 60^3/12 = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$、鋼は $\sE = 206{,}000\ \mathrm{MPa}$ です。数を入れます。

$$\sdelta = \dfrac{5 \times 2 \times 1{,}500^4}{384 \times 206{,}000 \times 540{,}000} + \dfrac{3{,}000 \times 1{,}500^3}{48 \times 206{,}000 \times 540{,}000} = 1.185 + 1.896 = 3.08\ \mathrm{mm}$$

曲げ応力も、同じように足せます。断面係数は $\sZ = 30 \times 60^2/6 = 18{,}000\ \mathrm{mm^3}$ です。

合計は、丸める前の値で足しています。

3つのたわみ曲線を、同じ縮尺で重ねると、こうなります。

真ん中だけではありません。どの位置でも、太線の下がりは、2本の細い線の下がりの和です。

足せるのは、比例しているから

上の2段の話には、条件が1つありました。曲がり具合が、曲げモーメントに比例していることです。

比例のもとは、フックの法則と縦弾性係数 のフックの法則です。材料の伸び縮みは、応力に比例します。だから、荷重を2倍にすると、曲げモーメントも、曲がり具合も、たわみも2倍になります。

上の橋で、荷重をまるごと 1倍、2倍、3倍にすると、真ん中のたわみは次のようになります。

どの列も、1倍の値の 2倍、3倍です（丸める前の値で計算しているので、末尾が 0.01 ずれることがあります）。

それぞれを、別々に動かすこともできます。荷物だけを2倍にして、全体の荷重はそのままなら、合計は 1.19 + 3.79 = 4.98 mm です。

2つのかたまりを比べる

さっきの和の式の、2つのかたまりを比べます。

同じ 3,000 N でも、真ん中の1点にかけた荷物は、全体に広げた荷重の 1.6倍（1.90 ÷ 1.19）たわませます。荷重が真ん中に集まるほど、真ん中の曲げモーメントが大きくなるからです（1,125,000 と 562,500 で、ちょうど2倍）。

たわみの比が2倍より小さいのは、全体の荷重では、真ん中から離れた位置の曲げモーメントが、荷物のときより大きめに残るからです。

どちらのかたまりも $\sE\,\sI$ で割っています。材料や断面を替えると、2つのかたまりは同じ割合で小さくなります。

合計の 3.08 mm のうち、荷物のぶんは 62%、全体の荷重のぶんは 38% です。たわみを減らしたいときは、大きいかたまりから減らします。

分布荷重は、集中荷重の足し合わせ

重ね合わせを使うと、分布荷重の公式も、集中荷重から作れます。

片持ちばりに、全体に均等な荷重がかかっているとします。この荷重を、いくつかに切ります。切った1切れずつを、その真ん中の位置にかかる1点の荷重に置き換えます。

壁から位置 $\sa$ にかかる荷重 $\sP$ が、先端を下げる量は、$\sP\,\sa^2(3\sL - \sa)/(6\,\sE\,\sI)$ です。片持ちばりのたわみ（等分布荷重） の植木鉢の計算（荷重の位置までを短い片持ちばりと見て、その先はまっすぐ伸ばす）を、文字のまま書いたものです。これを1切れずつ出して、足します。

4つに切っただけで、正しい値の約 99% になります。細かく切るほど正確になり、限りなく細かくすると、分布荷重の公式に一致します。

分布荷重は、小さな集中荷重を、たくさん足し合わせたものと見られます。

公式表を使う手順

複雑な荷重のたわみは、次の4つの手順で求めます。

1. 荷重を、1つずつに分ける（自重、荷物、分布荷重など）
2. 1つずつの、たわみを、公式表から拾う
3. 同じ位置の値を足す
4. 足した結果から、曲げ応力などを求める

自重も、荷重の1つです。足し忘れないようにします。

棚板に戻ると

最初の棚板に、数を入れます。鋼の棚板（幅 250 mm、厚さ 6 mm）が、壁から 400 mm 張り出しています。断面二次モーメントは $\sI = 250 \times 6^3/12 = 4{,}500\ \mathrm{mm^4}$ です。荷重を、3つに分けます。

3つとも、先端という同じ位置の値です。だから、そのまま足せば、棚板の先の下がりになります。花瓶を置いたことで増えるのは 0.291 mm だけです。いちばん効いているのは、本の列です。棚板自身の重さも、花瓶より大きく効いています。足し忘れないようにします。

動かしてみよう

集中荷重 $\sP$ と、等分布荷重 $\sw$ の、片方を 0 にしてみてください。細い線（$\sP$ だけ、$\sw$ だけ）と、太い線（合計）の関係が見えます。

両方をかけたときの太い線は、いつも、2本の細い線を足した形です。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1荷物 P を 0 にして、全体の荷重 w だけのたわみを見る（まだ）
2. 2荷物 P だけを2倍の 6,000 N にする（w は 2 N/mm のまま）（まだ）
3. 3P を 6,000 N、w を 4 N/mm にして、荷重をまるごと2倍にする（まだ）

P荷重−N＋

w等分布荷重（長さ1 mm あたり）−N/mm＋

Lはりの長さ−mm＋

E縦弾性係数（ヤング率）−GPa＋

b断面の幅−mm＋

h断面の高さ−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる2つの荷重を合わせたたわみは、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

たわみの描き方いまの倍率　×81

倍率を固定実寸

たわみは実際には小さいので、見やすいように拡大して描いています。倍率は、初期値のときの ×81 のまま変えないので、数字を変えると、たわみの大きさが、そのまま図に出ます。

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{P+w}} = \htmlClass{q-displacement}{\delta_P} + \htmlClass{q-displacement}{\delta_w}$$$$= 1.896 + 1.185$$$$= 3.081\ \mathrm{mm}$$

P だけによるたわみ

$\htmlClass{q-displacement}{\delta_P} = 1.896\ \mathrm{mm}$

w だけによるたわみ

$\htmlClass{q-displacement}{\delta_w} = 1.185\ \mathrm{mm}$

2つの荷重を合わせたたわみ

$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{P+w}} = 3.081\ \mathrm{mm}$

最大曲げ応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = 93.75\ \mathrm{MPa}$

最大曲げモーメント

$\htmlClass{q-moment}{M_{\max}} = 1{,}688{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$

ほかの値（3 個）

断面二次モーメント

$\htmlClass{q-material}{I} = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$

支点の反力

$\htmlClass{q-force}{R} = 3{,}000\ \mathrm{N}$

断面係数

$\htmlClass{q-material}{Z} = 18{,}000\ \mathrm{mm^3}$

途中の計算（導出）を見る

1. 断面二次モーメント（長方形断面）

   $$\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{30 \times 60^3}{12} = 540{,}000\ \mathrm{mm^4}$$

2. P だけをかけたときの、中央のたわみ

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta_P} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{48\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{3{,}000 \times 1{,}500^3}{48 \times 206{,}000 \times 540{,}000} = 1.896\ \mathrm{mm}$$

3. w だけをかけたときの、中央のたわみ

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta_w} = \dfrac{5\,\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{384\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{5 \times 2 \times 1{,}500^4}{384 \times 206{,}000 \times 540{,}000} = 1.185\ \mathrm{mm}$$

4. 2つを足す（重ね合わせ）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\delta_{P+w}} = \htmlClass{q-displacement}{\delta_P} + \htmlClass{q-displacement}{\delta_w} = 1.896 + 1.185 = 3.081\ \mathrm{mm}$$

5. 支点の反力（片側）も足せる

   $$\htmlClass{q-force}{R} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}}{2} + \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{2} = \dfrac{3{,}000}{2} + \dfrac{2 \times 1{,}500}{2} = 3{,}000\ \mathrm{N}$$

6. 最大曲げモーメント（どちらも中央で最大なので、足せる）

   $$\htmlClass{q-moment}{M_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{4} + \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^2}{8} = \dfrac{3{,}000 \times 1{,}500}{4} + \dfrac{2 \times 1{,}500^2}{8} = 1{,}688{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$$

7. 最大曲げ応力（中央の上下の面）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M_{\max}}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{1{,}688{,}000}{18{,}000} = 93.75\ \mathrm{MPa}$$

使えないとき

重ね合わせは、荷重とたわみが比例するときだけ成り立ちます。比例しなくなると、足し算の答えは、実際のたわみとずれていきます。

• たわみが大きいとき。たわんだ形が、荷重のかかり方を変えてしまいます（目安として、たわみがはりの長さの1割をこえると、ずれが目立ちます）
• 材料が、弾性の範囲をこえたとき。フックの法則が成り立たず、荷重を2倍にしても、たわみが2倍になりません
• 荷重がかかると、支え方が変わるとき。たとえば、たわんだはりが別の物に触れて、新しい支えができる場合です
• 細長い棒に、軸方向の圧縮力と横荷重が、同時にかかるとき。圧縮力が、横荷重によるたわみを大きくするので、足し算になりません（くわしくは オイラーの座屈荷重 の単元）

よくある勘違い

「最大値どうしは、いつも足してよい」

最大値どうしを足せば、合計の最大値　→　位置が同じときだけです。位置が違うと、実際より大きな値になります。

上の橋で、荷物 3,000 N を、真ん中でなく、長さの 1/4 の位置に置いたとします。

• 荷物による最大曲げモーメントは、荷物の位置で 843,750 N·mm です。
• 全体の荷重による最大は、真ん中で 562,500 N·mm です。
• 足すと 1,406,250 N·mm です。

ところが、実際の合計の最大は 1,265,625 N·mm です。足した値は 11% の過大になります。2つの最大が、別の位置にあるからです。

同じ位置の値どうしを足してから、最大を探します。

「荷重を2倍にすれば、たわみはいつも2倍」

比例している間だけです。たわみが大きくなったり、材料が弾性の範囲をこえたりすると、成り立ちません。

この原理が使える条件

• たわみが、はりの長さに比べて十分小さい（長さの1割くらいまで）
• 荷重を外すと元に戻る範囲（弾性の範囲）
• 荷重がかかっても、はりの支え方は変わらない
• 軸方向の力が、横荷重によるたわみに影響しない（細長い棒の圧縮でない）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

本文の2段の話を、式で書きます。出発点は、曲がり具合と曲げモーメントの関係 $\sE\,\sI\,d^2\sv/d\sx^2 = -\sM$ です（出どころは 曲げ応力の式 と たわみの微分方程式と積分法）。

荷重 $\sP_1$ と $\sP_2$ が同時にかかるとき、各位置の曲げモーメントは、決まり2から、それぞれの荷重による曲げモーメントの和です。

$$\sM = \sM_1 + \sM_2$$

荷重 $\sP_1$ だけのたわみを $\sv_1$、$\sP_2$ だけのたわみを $\sv_2$ とします。それぞれ、次の式を満たします。

$$\sE\,\sI\,\dfrac{d^2\sv_1}{d\sx^2} = -\sM_1,\qquad \sE\,\sI\,\dfrac{d^2\sv_2}{d\sx^2} = -\sM_2$$

2つの式を、辺ごとに足します。微分は、和をとってから微分しても、微分してから和をとっても同じです。

$$\sE\,\sI\,\dfrac{d^2(\sv_1 + \sv_2)}{d\sx^2} = -(\sM_1 + \sM_2) = -\sM$$

支点でのたわみが 0 という条件も、$0 = 0 + 0$ として満たされます。だから、$\sv = \sv_1 + \sv_2$ が、荷重を同時にかけたときのたわみです。

荷重が3つ以上でも、同じです。式が $\sv$ と $\sM$ について一次（比例と足し算だけ）であることが、この性質のもとです。