鉄の棒も、じつはばねフックの法則と縦弾性係数

鉄の棒も、伸びている

天井から、輪ゴム・コイルばね・鉄の棒を下げて、同じおもりを吊るします。

輪ゴムは、目に見えて伸びます。ばねも伸びます。でも、鉄の棒は、伸びたようには見えません。

それでも、鉄の棒は、ちゃんと伸びています。応力とひずみ の、直径 16 mm・長さ 1 m の鋼の丸棒は、20 kN（およそ 2 トンの重さ）で引っぱると、0.483 mm 伸びました。

では、鉄の棒は、どれだけ伸びるのでしょうか。

予想してから読む直径 16 mm・長さ 1 m の丸棒を、鋼から、同じ形のアルミに替えます。同じ 20 kN で引くと、伸びは？

A鋼と同じ 0.483 mmB約 1.42 mm（鋼の約 2.9 倍）C約 0.16 mm（鋼の約 3 分の 1）

答えを先に言います。伸びは、引っぱる力に比例します。ばねと同じです。

でも、これだけでは計算できません。同じ力でも、材料によって、伸びは何千倍もちがいます。そして、力を上げていくと、比例しなくなる限界があります。

この単元では、この 2 つを数字にします。そして最後に、鉄の棒も 1 本のばねとして計算できることを確かめます。

応力とひずみは、比例する

応力とひずみ の 2 つの数字を、振り返ります。応力 $\stnSigma = \sP/\sA$ は、力を断面積で割ったもの。ひずみ $\stnEps = \stnDL/\sL$ は、伸びを、もとの長さで割ったものでした。

棒を少しだけ引っぱって、応力とひずみを測ります。力を少しずつ増やして、グラフに点を打っていくと、点は、原点を通るまっすぐな線に乗ります。

応力とひずみは、比例します。これをフックの法則と言います。

$$\stnSigma = \sE\,\stnEps$$

比例の定数 $\sE$ を、縦弾性係数と言います。ヤング率とも呼びます。

$\sE$ は、グラフの直線の傾きです。傾きが急なほど、少し伸ばすだけでも、大きな応力が要ります。つまり、伸びにくい、硬い材料です。

前の単元の「粒とばね」の絵で言えば、$\sE$ は、材料の中の小さなばねの硬さに当たります。

鋼の丸棒で、E を確かめる

何を確かめるか先に言います。前の単元の鋼の丸棒の、応力とひずみから、$\sE$ を逆に出してみます。使う式は、フックの法則を $\sE$ について解いた形です。

$$\sE = \dfrac{\stnSigma}{\stnEps} = \dfrac{99.5\ \mathrm{MPa}}{0.000483} = 206{,}000\ \mathrm{MPa}$$

ひずみには単位がないので、$\sE$ の単位は、応力と同じです。とても大きな数になるので、GPa で書くのがふつうです。1 GPa ＝ 1,000 MPa なので、鋼の $\sE$ は 206 GPa です。

この $\sE$ は、計算で出す数ではありません。棒を引っぱって、力と伸びを測って、決めてきた値です。

ヤング率という名前は、イギリスの科学者トマス・ヤングが、1807 年の講義の本で、この考え方を説明したことから来ています。いま材料の表に載っている値は、そのあとも、多くの人が試験をくり返して確かめてきたものです。

縦弾性係数は、材料で何千倍もちがう

$\sE$ は、材料ごとに決まっています。

表の数字は、どれも概数です。合金の種類・熱処理・加工の程度・木の樹種などで変わります（銅は 110〜130 GPa ほどの幅があります）。設計では、使う材料の資料の値を使ってください。

大事なのは、桁のちがいです。鋼とアルミの差は、3 倍たらず。でも、鋼とゴムの差は、206 ÷ 0.1 ＝ 2,060 倍から、206 ÷ 0.01 ＝ 20,600 倍です。

ここで言う「硬さ」は、爪で引っかいたときの傷のつきにくさ（硬度）ではありません。力をかけたときの、変形のしにくさです。

棒の伸びの公式

フックの法則に、応力の式とひずみの式を入れると、棒全体の伸びが出せます。1 段ずつ進めます。

$$\begin{aligned} \stnSigma &= \sE\,\stnEps && \text{フックの法則} \\[4pt] \dfrac{\sP}{\sA} &= \sE\,\dfrac{\stnDL}{\sL} && \stnSigma = \sP/\sA,\ \stnEps = \stnDL/\sL \text{ を入れる} \\[4pt] \dfrac{\sP}{\sA}\times\dfrac{\sL}{\sE} &= \stnDL && \text{両辺に } \sL/\sE \text{ をかける（右辺の } \sE \text{ と } \sL \text{ が消える）} \\[4pt] \stnDL &= \dfrac{\sP\,\sL}{\sE\,\sA} && \text{左右を入れかえて、まとめる} \end{aligned}$$

できた式が、棒の伸びの公式です。

$$\stnDL = \dfrac{\sP\,\sL}{\sE\,\sA}$$

前の単元の丸棒で、確かめる

何を確かめるか先に言います。前の単元では、応力 → ひずみ → 伸び、と 2 段で計算しました。この公式なら 1 回で出ます。同じ答えになるかを確かめます。

$$\stnDL = \dfrac{\sP\,\sL}{\sE\,\sA} = \dfrac{20{,}000\ \mathrm{N} \times 1000\ \mathrm{mm}}{206{,}000\ \mathrm{MPa} \times 201.1\ \mathrm{mm^2}} = 0.483\ \mathrm{mm}$$

前の単元と、同じ 0.483 mm です。

公式を、3 つのかたまりに分けて読む

$$\stnDL = \underbrace{\dfrac{\sP}{\sA}}_{\text{応力}} \times \underbrace{\dfrac{1}{\sE}}_{\text{伸びやすさ}} \times \underbrace{\sL}_{\text{長さに積もる}}$$

1. 応力 $\sP/\sA$　断面の 1 mm² が受け持つ力です。細い棒ほど大きくなります。
2. 伸びやすさ $1/\sE$　材料の硬さの逆数です。
3. 長さに積もる $\sL$　1 mm あたりの伸びが、棒の長さの分だけ積み重なります。

なぜ 1/E が「伸びやすさ」なのか

フックの法則 $\stnSigma = \sE\,\stnEps$ の両辺を $\sE$ で割って、ひずみの式に直します。

$$\stnEps = \stnSigma \times \dfrac{1}{\sE}$$

ひずみは、応力に $1/\sE$ をかけたものです。つまり $1/\sE$ は、1 MPa の応力で、どれだけひずむかを表します。

鋼とアルミで比べます。

$$\text{鋼}\ \dfrac{1}{206{,}000} = 0.0000049,\qquad \text{アルミ}\ \dfrac{1}{70{,}000} = 0.0000143$$

1 MPa あたりのひずみは、アルミが鋼の約 2.9 倍です。$\sE$ が大きいほど伸びにくく、$1/\sE$ が大きいほど伸びやすい、という関係です。

同じ丸棒をアルミで作ると、伸びは 1.42 mm。この約 2.9 倍が、そのまま伸びの差になります。

「長さに積もる」とは

2 m の棒は、1 m の棒を 2 本つないだものと同じです。どちらの 1 m も、同じひずみで同じだけ伸びるので、全体の伸びは 2 倍です。

前の単元の丸棒が 2 m なら、0.483 × 2 ＝ 0.966 mm です。

棒は、1 本のばね

ばねの公式に、並べてみる

ばねは、引く力と伸びが比例します。比例の定数がばね定数 $\stnK$ で、1 mm 伸ばすのに、どれだけの力が要るかを表します。

$$\sP = \stnK\,\stnDL$$

棒の伸びの公式を、この形に直してみます。両辺に $\sE\sA/\sL$ をかけると、右辺では $\sE\sA$ と $\sL$ が約分で消えて、$\sP$ だけが残ります。

$$\dfrac{\sE\,\sA}{\sL}\,\stnDL = \dfrac{\sE\,\sA}{\sL} \times \dfrac{\sP\,\sL}{\sE\,\sA} = \sP$$

左右を入れかえて、ばねの公式と上下に並べます。

$$\begin{aligned} \sP &= \stnK\,\stnDL && \text{ばね} \\[4pt] \sP &= \dfrac{\sE\,\sA}{\sL}\,\stnDL && \text{棒} \end{aligned}$$

$\sP$ は $\sP$、$\stnDL$ は $\stnDL$。そして、$\stnK$ の場所にあるのが $\sE\sA/\sL$ です。

$$\stnK = \dfrac{\sE\,\sA}{\sL}$$

棒は、ばね定数が $\sE\sA/\sL$ の、1 本のばねとして扱えます。

粒とばねの絵で読む

前の単元の「粒とばね」の絵で、この式を読めます。

• 断面積 $\sA$ が大きいと、横に並んで力を分け合うばねが多くなります。ばねが並ぶほど、全体は硬くなります。だから $\sA$ は分子にあります。
• 長さ $\sL$ が長いと、一列につながるばねが多くなります。つながるほど、それぞれの伸びが積もって、全体はやわらかくなります。だから $\sL$ は分母にあります。
• $\sE$ が大きいのは、1 つ 1 つのばねが硬い材料です。

太く、短く、$\sE$ の大きい材料ほど、硬いばねになります。

鋼の丸棒のばね定数

前の単元の丸棒のばね定数を出します。

$$\stnK = \dfrac{\sE\,\sA}{\sL} = \dfrac{206{,}000\ \mathrm{MPa} \times 201.1\ \mathrm{mm^2}}{1000\ \mathrm{mm}} = 41{,}400\ \mathrm{N/mm}$$

1 mm 伸ばすのに 41,400 N、つまり約 41 kN。およそ 4 トンの重さが要ります。ふつうのコイルばねと比べると、ずっと硬いばねです。

ボルトは、ばねとして使う

この見方は、実物の設計で、そのまま使います。

ボルトを締めると、ナットが回って、ボルトの軸は、ほんの少し引き伸ばされたまま止まります。

引き伸ばされたばねは、縮もうとします。この縮もうとする力で、ボルトは 2 枚の板をはさんで押さえつけています。板も、わずかに縮んでいます。

たとえば、M10 のボルトで、はさむ長さが 30 mm、押さえる力が 20 kN なら、伸びは次のとおりです。断面積は、前の単元で出てきた、ねじの部分の有効断面積 58 mm² を使います。

$$\stnDL = \dfrac{\sP\,\sL}{\sE\,\sA} = \dfrac{20{,}000\ \mathrm{N} \times 30\ \mathrm{mm}}{206{,}000\ \mathrm{MPa} \times 58\ \mathrm{mm^2}} = 0.050\ \mathrm{mm}$$

髪の毛 1 本ほどの伸びで、2 トンの力で押さえているのです。ボルトの伸びを測って、締め付けの力を確かめる方法も、実際に使われています。

ただし、降伏点をこえるまで締めると、伸びが戻らなくなり、押さえる力が抜けてしまいます。ボルトは、弾性の範囲で、ばねとして使います。

どの数字が、いちばん効く？

荷重・長さ・断面積・縦弾性係数のどれか 1 つを、10% 大きくすると、伸び $\stnDL$ はどう変わるでしょうか。式 $\stnDL = \sP\sL/(\sE\sA)$ の、どこにあるかで決まります。

4 つとも 1 乗で効くので、効き目は、ほとんど同じです。

ただし、太さを直径で変えるときは別です。直径を 10% 太くすると、断面積は 1.1² ＝ 1.21 倍。伸びは 1/1.21 ＝ 0.826 倍で、約 17% 減ります。前の単元の応力と、同じ効き方です。

どこまで比例するか

ここまでの比例は、力が小さい範囲の話です。力を、どんどん上げていくと、どうなるでしょうか。

試験片を、切れるまで引っぱって、応力とひずみを描いたものを、応力-ひずみ線図と言います。軟鋼（炭素の少ない、やわらかめの鋼）の線図は、次の形をしています。

1. 弾性の範囲　はじめは、まっすぐな線です。この傾きが $\sE$。力を外せば、元の長さに戻ります。
2. 降伏点 $\stnSigY$　やがて、応力がほとんど増えないのに、ひずみだけが進む所に来ます。ここから先は、力を外しても、元の長さに戻りません（塑性変形）。
3. 引張強さ $\stnSigB$　さらに引っぱると、応力はもう一度上がって、最高点に着きます。棒が耐えられる応力の最大値です。このあと、棒の一部が細くくびれます。
4. 破断　くびれたところで、切れます。

一般構造用の鋼 SS400（JIS G 3101）では、厚さ 16 mm 以下なら、降伏点は 245 MPa 以上、引張強さは 400〜510 MPa です。

弾性の範囲は、思ったよりずっと狭いのです。降伏点でのひずみは、フックの法則から出せます。

$$\stnEps = \dfrac{\stnSigY}{\sE} = \dfrac{245\ \mathrm{MPa}}{206{,}000\ \mathrm{MPa}} = 0.00119 = 0.119\%$$

1 m の棒で、1.19 mm 伸びたところが、元に戻れる限界です。切れるまでのひずみは、その 100 倍をこえます。線図の、ほんの根元だけが、弾性の範囲です。

前の単元の丸棒の 99.5 MPa は、降伏点の約 4 割（99.5 ÷ 245 ＝ 0.41）。弾性の範囲の中です。

上の線図と、下のシミュレータの鋼は、少し低めに見て、降伏点を 235 MPa（厚さ 16 mm をこえ 40 mm 以下の規格値）にしています。このときの弾性の限界は 0.114%、1 m の棒で 1.14 mm です。

クリップを少しだけ曲げると、手を離せば戻ります。大きく曲げると、曲がったまま戻りません。曲げた所が、降伏点をこえたからです（曲げのときの応力の分かれ方は、曲げ応力の式 の単元で扱います）。

アルミのように、降伏点がはっきり出ない材料では、0.2% のひずみが残る応力を、代わりに使います。これを 0.2% 耐力と言います。

棒を引っぱると、伸びた分、細くもなります。横のひずみと縦のひずみの比をポアソン比といい、鋼では約 0.3 です。この先の単元では使わないので、名前だけ覚えておいてください。

動かしてみよう

材料を選んで、荷重 $\sP$ を、ゼロからゆっくり増やしてみてください。応力・ひずみ・伸びの数字と、線図の上の点が、いっしょに動きます。

• 弾性の範囲では、荷重と伸びが比例します。荷重を 2 倍にして、伸びが 2 倍になることを確かめてください。
• 初期値は、上で計算した直径 16 mm（断面積 201 mm²）・長さ 1 m の鋼の丸棒を、20 kN で引いたところです。伸びは 0.483 mm、ばね定数は約 41 kN/mm です。
• 荷重を 47.5 kN まで上げると、応力が降伏点（235 MPa）をこえて、警告が出ます。線図の点が、水平な部分を一気に飛び越えます（荷重を決めて引くと、点が飛びます）。
• 「荷重を外したあとに残るひずみ」が 0 でなくなったら、もう元の長さには戻りません。
• アルミに替えると、同じ荷重でも、伸びが鋼の約 2.9 倍になり、右の線図の直線の傾きが約 3 分の 1 に寝ます。
• 材料のボタンは、E・降伏点・引張強さを入れます。鋼の値は SS400 の規格の下限（降伏点は、厚さ 16 mm をこえ 40 mm 以下の値）、アルミは押出材 A6063-T5 の規格の下限（0.2% 耐力 110 MPa・引張強さ 150 MPa）、銅の降伏点・引張強さは図を描くための仮の値です。線図の形は軟鋼の模式図です。

伸びは実際にはとても小さいので、図では見やすいように拡大して描いています。図の下で、「倍率を固定」と「実寸」を切り替えられます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1荷重 P を2倍の 40 kN にして、伸びと線図の点を見る（まだ）
2. 2荷重を 20 kN に戻し、E の欄をアルミの 70 GPa に書き換えて、伸びを見る（まだ）
3. 3E を 206 に戻し、荷重を 47.5 kN まで上げて、ばねとして使える限界を見る（まだ）

鋼（軟鋼）（E ≒ 206 GPa）アルミ（E ≒ 70 GPa）銅（E ≒ 120 GPa）

P荷重−kN＋

L棒の長さ−mm＋

A断面積−mm²＋

E縦弾性係数（ヤング率）−GPa＋

σy降伏点−MPa＋

σB引張強さ−MPa＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる棒の伸びは、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

伸びの描き方いまの倍率　×129

倍率を固定実寸

伸びは実際には小さいので、見やすいように拡大して描いています。倍率は、初期値のときの ×129 のまま変えないので、数字を変えると、伸びの大きさが、そのまま図に出ます。

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{\Delta L_{\text{弾性}}} = \htmlClass{q-displacement}{\varepsilon}\,\htmlClass{q-geometry}{L} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-geometry}{A}}$$$$= 4.83\times 10^{-4} \times 1{,}000\ \mathrm{mm}$$$$= 0.483\ \mathrm{mm}$$

応力（引張）

$\htmlClass{q-stress}{\sigma} = 99.5\ \mathrm{MPa}$

ひずみ

$\htmlClass{q-displacement}{\varepsilon} = 0.0483\ \%$

棒の伸び

$\htmlClass{q-displacement}{\Delta L} = 0.483\ \mathrm{mm}$

弾性のままなら（フックの法則）の伸び

$\htmlClass{q-displacement}{\Delta L_{\text{弾性}}} = 0.483\ \mathrm{mm}$

棒のばね定数

$\htmlClass{q-material}{k} = 41{,}410\ \mathrm{N/mm}$

応力 ÷ 降伏点

$\htmlClass{q-stress}{\sigma/\sigma_y} = 42.3\ \%$

荷重を外したあとに残るひずみ

$\htmlClass{q-displacement}{\varepsilon_{\text{残}}} = 0\ \%$

途中の計算（導出）を見る

1. 応力（荷重 ÷ 断面積）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}}{\htmlClass{q-geometry}{A}} = \dfrac{20{,}000\ \mathrm{N}}{201\ \mathrm{mm^2}} = 99.5\ \mathrm{MPa}$$

2. ひずみ（弾性のままなら：フックの法則 σ = E ε を ε について解く）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\varepsilon} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{\sigma}}{\htmlClass{q-material}{E}} = \dfrac{99.5\ \mathrm{N/mm^2}}{206{,}000\ \mathrm{N/mm^2}} = 4.83\times 10^{-4}\ (= 0.0483\,\%)$$

3. 伸び（弾性のままなら：ひずみ × もとの長さ）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\Delta L_{\text{弾性}}} = \htmlClass{q-displacement}{\varepsilon}\,\htmlClass{q-geometry}{L} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-geometry}{A}} = 4.83\times 10^{-4} \times 1{,}000\ \mathrm{mm} = 0.483\ \mathrm{mm}$$

4. 棒をばねと見たときのばね定数（荷重 ＝ k × 伸び とおいたとき）

   $$\htmlClass{q-material}{k} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}}{\htmlClass{q-displacement}{\Delta L_{\text{弾性}}}} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-geometry}{A}}{\htmlClass{q-geometry}{L}} = \dfrac{206{,}000 \times 201}{1{,}000} = 41{,}410\ \mathrm{N/mm}$$

5. いまの状態（応力を降伏点・引張強さと比べる）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma}\ \text{と}\ \htmlClass{q-stress}{\sigma_y},\ \htmlClass{q-stress}{\sigma_B} = 99.5\ \text{と}\ 235,\ 400 = \text{弾性の範囲（荷重を外せば元に戻る）}$$

よくある勘違い

「強い材料にすれば、伸びなくなる」

強さと硬さは、別の性質です。前の単元の勘違いの節でも見ました。

弾性の範囲の伸びは $\sE$ で決まるので、強い鋼に替えても、同じ荷重での伸びは変わりません。強い鋼で変わるのは、降伏点をこえるまでの余裕です。

ばねに使うピアノ線も、$\sE$ はふつうの鋼とほとんど同じ、約 200 GPa です。ちがうのは、元に戻れる範囲の広さです。ピアノ線には、引張強さが 2,000 MPa をこえるものがあります。仮に降伏点を 1,500 MPa とすると、元に戻れるひずみは 0.73% で、SS400（0.119%）の約 6 倍。だから、大きく曲げても戻るのです（降伏点の値は仮のものです。線の種類や太さで変わります）。

「降伏したら、すぐ壊れる」

ちがいます。降伏点をこえても、引張強さまでは、まだ荷重に耐えます。

ただ、元の長さに戻らなくなるので、機械の部品としては、降伏点をこえたら、もう使えないと考えます。

「応力が 2 倍なら、いつでも伸びも 2 倍」

ちがいます。比例するのは、弾性の範囲だけです。降伏点をこえると、応力はほとんど増えないのに、ひずみが一気に進みます。

この公式が使える条件

• 荷重を外すと元に戻る範囲（降伏点より下）
• 棒の太さは、全長で同じ。荷重は、断面の中心にまっすぐかかる
• 引っぱる場合の話（細くて長い棒を押し縮めるときは、折れ曲がる座屈が先に起きるので、オイラーの座屈荷重 で扱います）
• 荷重はゆっくり増やす（急に荷重をかけると、この計算より大きな応力が出ます）
• 棒の重さは考えない

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

伸びの公式と、ばね定数：本文の「棒の伸びの公式」と「棒は、1 本のばね」の節で、1 段ずつ導きました。もう一度まとめると、応力の定義 $\stnSigma = \sP/\sA$、ひずみの定義 $\stnEps = \stnDL/\sL$、フックの法則 $\stnSigma = \sE\,\stnEps$ の 3 つから、

$$\stnDL = \dfrac{\sP\,\sL}{\sE\,\sA},\qquad \stnK = \dfrac{\sP}{\stnDL} = \dfrac{\sE\,\sA}{\sL}$$

ばねをつなぐと：長さ $\sL_1$ と $\sL_2$ の棒を一列につなぐと（直列）、同じ力で、伸びが足し合わさります。

$$\dfrac{\sP}{\stnK} = \dfrac{\sP}{\stnK_1} + \dfrac{\sP}{\stnK_2} = \dfrac{\sP\,(\sL_1 + \sL_2)}{\sE\,\sA}$$

長さ $\sL_1 + \sL_2$ の 1 本の棒と同じです。断面積 $\sA_1$ と $\sA_2$ の棒を横に並べると（並列）、同じ伸びで、力が足し合わさるので、$\stnK = \stnK_1 + \stnK_2 = \sE(\sA_1 + \sA_2)/\sL$。断面積 $\sA_1 + \sA_2$ の 1 本の棒と同じです。

荷重を外したあとに残るひずみ：降伏点をこえて、いったん荷重を外すと、応力とひずみは、弾性の直線と平行な線をたどって、ゼロへ戻ります。降伏点をこえた点でのひずみを $\stnEps$、応力を $\stnSigma$ とすると、戻ったときに残るひずみは、

$$\stnEps_{\text{残}} = \stnEps - \dfrac{\stnSigma}{\sE}$$

です。第 2 項は、荷重を外したときに戻る分（弾性のひずみ）です。シミュレータの「荷重を外したあとに残るひずみ」は、この式で出しています。線図の形は、軟鋼の模式図（降伏の水平部分のひずみ 2%、引張強さのひずみ 18%、破断のひずみ 25% は、この単元で決めた模式の値）で、実際の材料の値ではありません。