細長い柱は、材料が強くても突然曲がるオイラーの座屈荷重

定規を縦に押すと、どうなる？

机の上に鋼の定規を縦に立てて、上から指で押してみます。軽く押しただけで、定規はぐにゃりと横にふくらんで、曲がってしまいます。

幅 30 mm、厚さ 1 mm、長さ 300 mm の鋼の定規で考えます。

この定規を長さの方向に押し潰すには、約 7,050 N（質量 720 kg の物の重さ）の力が要ります。

ところが、定規が曲がり出すのは、わずか約 56 N（質量 5.8 kg の物の重さ）です。

押し潰す力の 1% にも届かない力で、なぜ曲がるのでしょうか。この単元は、この問いに答えます。

予想してから読むこの定規を、同じ幅・厚さのまま2倍の長さ 600 mm にすると、曲がり出す力は？

A2分の1B4分の1C8分の1

細長い柱を長さの方向に押すと、材料が壊れるずっと手前で、柱が横にふくらんで、急に曲がります。これを座屈と呼びます。壊れる限界は、材料の強さで決まります。座屈は、強さとは別の限界です。

空き缶は耐えて、定規は耐えない

同じように上から押しても、空き缶はなかなか曲がりません。

空き缶（直径 66 mm、高さ 120 mm ほど）は、高さが直径の2倍もありません。柱として見ると、とても短くて太い形です。いっぽう定規は、厚さの 300 倍の長さがあります。

座屈するかどうかを決めているのは、太さに対する長さの割合です。この割合に名前を付けたものが、あとで出てくる「細長比」です。缶の細長比は約 5、さきほどの定規は約 1,000 です。

曲げる効き目と、戻す効き目のシーソー

押された柱が、何かのはずみで、ほんの少し横に曲がったとします。真ん中のずれを $\sv$ とします。

ここから先に、2つの効き目が働きます。シーソーの決まり「力 × 距離」で考えます。

1つ目は、曲げる効き目です。荷重 $\sP$ は、柱の上の端から真下へ押しています。荷重の通る線は、まっすぐな柱の線のままです。ところが柱の真ん中は、その線から $\sv$ だけ横にずれています。

真ん中の断面から見ると、荷重は $\sv$ だけ離れたところを押しています。回す効き目は、力 × 距離 です。

$$\text{曲げる効き目} = \sP \times \sv$$

これは、真ん中の断面にかかる曲げモーメントです。ずれが大きいほど、強く曲げます。

2つ目は、戻す効き目です。曲がった柱は、はりと同じく、まっすぐに戻ろうとします。たわみの微分方程式と積分法 の決まり「曲げモーメント ＝ $\sE\sI$ × 曲がり具合」です。

$$\text{戻す効き目} = \sE\sI \times \text{曲がり具合}$$

曲がり具合は、ずれ v に比例する

真ん中の曲がり具合を、ずれ $\sv$ で書きます。

まず、柱の形を円弧と見てみます。弦の長さ $\seuL$、真ん中のふくらみ $\sv$ の円弧は、半径を $\srho$ として、三平方の定理から次の関係になります（$\sv$ は $\seuL$ よりずっと小さいとして、$\sv^2$ を省きます）。

$$\left(\dfrac{\seuL}{2}\right)^2 \approx 2\,\srho\,\sv \qquad\Longrightarrow\qquad \text{曲がり具合} = \dfrac{1}{\srho} \approx \dfrac{8\,\sv}{\seuL^2}$$

曲がり具合は、ずれ $\sv$ に比例し、長さの2乗に反比例します。同じずれでも、長い柱はゆるやかにしか曲がっていません。

本当の座屈の形は、円弧ではなく、正弦曲線の半波です。半波では、真ん中の曲がり具合が少しきつく、8 のところが $\pi^2$（約 9.87）になります。

$$\text{曲がり具合} = \dfrac{\pi^2\,\sv}{\seuL^2}$$

$\pi^2$ は、半波の形から出てくる数です。ここでは導きません（下の「式の導き方」にあります）。

シーソーを釣り合わせる

2つの効き目を、左右に置きます。

$$\underbrace{\sP \times \sv}_{\text{曲げる効き目}} \quad\text{と}\quad \underbrace{\sE\sI \times \dfrac{\pi^2\,\sv}{\seuL^2}}_{\text{戻す効き目}}$$

どちらにも、ずれ $\sv$ が1回ずつかかっています。両方を $\sv$ で割ると、比べるのは次の2つです。

$$\sP \quad\text{と}\quad \dfrac{\pi^2\sE\sI}{\seuL^2}$$

$\sv$ が消えました。どれだけ曲がっていても、シーソーの傾く向きは同じです。

• 荷重が右より小さいとき、戻す効き目が勝ちます。柱は、まっすぐに戻ります。
• 荷重が右より大きいとき、曲げる効き目が勝ちます。曲がるほど強く曲げられて、柱はどんどん曲がり込みます。

ちょうど釣り合う荷重が、曲がり出す境目です。これを座屈荷重 $\seuPcr$ と呼びます。

$$\seuPcr = \dfrac{\pi^2\,\sE\,\sI}{\seuL^2}$$

両端をピンで支えた柱の式で、スイスの数学者オイラーが 1744 年ごろに導きました。

「両端ピン」とは、両端が自由に回れるように支えた状態です（蝶番でとめた棒を思い浮かべてください）。端を固定した柱は、支持条件と有効座屈長さ で扱います。この単元は、両端ピンだけを扱います。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\seuPcr = \underbrace{\pi^2}_{\text{形で決まる数}} \times \underbrace{\sE\,\sI}_{\text{曲がりにくさ}} \times \underbrace{\dfrac{1}{\seuL^2}}_{\text{長さで弱くなる}}$$

1. 形で決まる数 $\pi^2$（約 9.87）　座屈した形（半波）から出てくる数です。支え方が変わると形が変わり、この数も変わります（支持条件と有効座屈長さ）。
2. 曲がりにくさ $\sE\,\sI$　戻す効き目の大きさです。たわみの単元の「曲げ剛性」と同じ組み合わせです。$\sI$ の求め方は 断面二次モーメント にあります。
3. 長さで弱くなる $1/\seuL^2$　同じずれでも、長い柱はゆるやかにしか曲がらず、戻す効き目が小さくなります。そのぶん、小さな荷重で曲がり出します。

$\seuL$ は2乗で効きます。長さが2倍なら 1/4、3倍なら 1/9 です。

座屈は「薄い方向」へ起こる

長方形の断面は、向きによって $\sI$ が違います。

柱は、断面二次モーメントが小さい軸まわりに曲がります。戻す効き目が小さい向きから、シーソーが先に傾くからです。

定規が、幅の方向ではなく、厚さの方向に曲がるのは、このためです。長方形の弱い軸の $\seuImin$ は、次の式です。

$$\seuImin = \dfrac{(\text{長い辺})\,(\text{短い辺})^3}{12}$$

幅 30 mm、厚さ 1 mm の定規なら、次のとおりです。

$$\seuImin = \dfrac{30 \times 1^3}{12} = 2.5\ \mathrm{mm^4}$$

幅の向きの値は 1 × 30³ ÷ 12 = 2,250 mm⁴ です。弱い向きの 2.5 mm⁴ は、その 900 分の1 しかありません。

厚さを2倍にすると、$\sI$ は 2³ = 8 倍になるので、座屈荷重も 8 倍です。幅を2倍にしても、2倍にしかなりません。

丸棒や正方形の断面は、どの向きでも $\sI$ が同じなので、曲がる向きは決まりません。

冒頭の定規で確かめる

冒頭の「約 56 N」を、式で確かめます。鋼の $\sE$ は 206 GPa（206,000 N/mm²）、長さは 300 mm です。

$$\seuPcr = \dfrac{\pi^2\,\sE\,\sI}{\seuL^2} = \dfrac{\pi^2 \times 206{,}000 \times 2.5}{300^2} = 56.5\ \mathrm{N}$$

押し潰す力は、降伏応力 235 MPa × 断面積 30 mm² で 7,050 N でした。

曲がり出す力は、その 1% にも届きません。定規は薄いので、戻す効き目 $\sE\sI$ がとても小さいのです。材料の強さに余裕があっても、シーソーは先に傾きます。

定規を 300 mm から 600 mm にすると、座屈荷重は 1/4 で、約 56 N から約 14 N に下がります。

身のまわりの座屈

座屈は、細長い部材を、長さの方向に押す場面で起こります。

• ストロー　指で縦に押すと、すぐ曲がります。短く切ると、曲がりにくくなります。
• 突っ張り棒　部屋の幅いっぱいに伸ばして、両端で押し付けて使います。伸ばすほど長くなるので、曲がりやすくなります。
• テーブルの脚　天板の重さを、上から受ける柱です。細くて長い脚ほど、曲がる限界が低くなります。
• クレーンのブーム　格子状の骨組みの中には、押される部材があります。長くて細い部材は、押されて曲がらないように設計されています。

どの数字がいちばん効く？

幅 30 mm、厚さ 6 mm、長さ 1,000 mm の鋼の板（両端ピン）を基準にします。それぞれの数字を1割（10%）だけ変えたときの、座屈荷重の変化です。

いちばん効くのは、薄い辺の厚さです。次が長さです。強さは、座屈荷重にまったく効きません。

座屈応力と細長比　短い柱は潰れ、長い柱は曲がる

座屈荷重を断面積 $\seuA$ で割ると、座屈が起きるときの応力（座屈応力）になります。

$$\seuSigCr = \dfrac{\seuPcr}{\seuA} = \dfrac{\pi^2\,\sE}{\seuLam^2},\qquad \seuLam = \dfrac{\seuL}{\seuK},\quad \seuK = \sqrt{\dfrac{\sI}{\seuA}}$$

式の中の $\seuLam$ が細長比で、長さが断面二次半径 $\seuK$ の何倍かを表します。$\seuK$ は、断面の大きさの目安になる長さです（丸棒なら直径の 1/4、長方形なら薄い辺の 0.289 倍）。

右辺には、長さも断面の形も、別々には出てきません。座屈応力は、細長比と、材料の硬さ $\sE$ だけで決まります。

押される柱には、限界が2つあります。

1. 座屈応力 $\seuSigCr$ に届いて、曲がり出す。
2. 降伏応力 $\seuSigY$ に届いて、材料が潰れ始める。

先に届いた限界が、その柱の限界です。2つの応力が等しくなる細長比 $\seuLamC$ は、$\pi^2\sE/\seuLam^2 = \seuSigY$ を $\seuLam$ について解いて、次の式です。

$$\seuLamC = \pi\sqrt{\dfrac{\sE}{\seuSigY}}$$

$\seuLam$ が $\seuLamC$ より大きい長い柱は、座屈が先です。小さい短い柱は、降伏が先です。

鋼（E = 206 GPa、降伏応力 235 MPa）では $\seuLamC = 93.0$ です。鋼の柱で、細長比を変えたときの様子を表にします。

細長比が 93.0 より小さい行では、座屈応力の式の値が降伏応力を超えます。柱は、その値まで荷重を上げる前に、材料が降伏します。オイラーの式の値は、そのまま使えません。

材料が違うと、境目の細長比も変わります。降伏応力が低いと、境目は大きくなります。

鋼（SS400）の 235 MPa は、厚さ 16 mm をこえ 40 mm 以下の規格の値です（16 mm 以下なら 245 MPa）。ここでは低いほうの 235 MPa にそろえています。アルミと木の値は目安です。合金・樹種・等級で大きく変わります。

高強度の鋼（降伏応力 500 MPa）は、境目が 93.0 から 63.8 に下がっています。細長比が 93.0 より大きい柱は、普通の鋼でも座屈が先に来ます。そういう柱では、強い鋼に替えても、耐えられる荷重は変わりません。強さを上げて得をするのは、細長比が 93.0 より小さい柱だけです。

動かしてみよう

まず、荷重 $\sP$ のスライダーを右へ動かしてみてください。座屈荷重をこえた瞬間に、まっすぐだった柱が横へ曲がります。次に、断面（長方形か丸）と材料を選んで、長さ $\seuL$ を動かします。座屈荷重がどれだけ急に変わるかを見て、右の図で、「いまの柱」の点が曲線の上を動くのを見ます。

初期値は、幅 10 mm・高さ 30 mm・長さ 300 mm の鋼の板を、30,000 N で押したところです。細長比は約 104 で、境目の 93 の少し上にあります。座屈荷重は 56,480 N なので、まだまっすぐです。

長さを短くしていくと、曲線の上を左へ上っていた点が、降伏応力の線の上に乗り換えます。そこが、座屈から降伏に切り替わる境目です。境目より短い柱で荷重を上げると、曲がらずに潰れます。長方形では、$\sb$ と $\sh$ のうち、短い辺の向きに曲がります。

柱の形は、半波の正弦曲線で描いています。シーソーの釣り合いからは、曲がる形は決まりますが、曲がりの幅 $\sv$ は決まりません（$\sv$ は両側で消えました）。図の幅は、見やすいように決めたものです。

断面を選ぶ入れ替えると、数字は初期値に戻ります。柱は両端ピンで、まっすぐで、荷重は断面の中心にかかる理想的な柱です

長方形（幅 b × 高さ h）丸棒（直径 d）

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1荷重 30,000 N のまま、長さ L を2倍の 600 mm にする（まだ）
2. 2長さを戻して荷重を 59,000 N に上げ、降伏応力 σY を2倍の 470 MPa にする（強い材料に替える）（まだ）
3. 3長さを短くして、細長比 λ を境目 λc より小さくし、荷重を降伏荷重より上げる（まだ）

鋼（E = 206 GPa）アルミ（E = 70 GPa）木（E = 9 GPa）

P柱を押す荷重−N＋

L柱の長さ−mm＋

b断面の幅−mm＋

h断面の高さ−mm＋

E縦弾性係数（ヤング率）−GPa＋

σY降伏応力（目安の値）−MPa＋

いまの図を残して比べるオイラーの座屈荷重は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-force}{P_{\mathrm{cr}}} = \dfrac{\pi^2\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I_{\min}}}{\htmlClass{q-geometry}{L}^2}$$$$= \dfrac{\pi^2 \times 206{,}000 \times 2{,}500}{300^2}$$$$= 56{,}480\ \mathrm{N}$$

オイラーの座屈荷重

$\htmlClass{q-force}{P_{\mathrm{cr}}} = 56{,}480\ \mathrm{N}$

荷重 ÷ 先に限界になる荷重

$\htmlClass{q-force}{P/P_{\text{先}}} = 0.531\$

細長比（L÷k）

$\htmlClass{q-geometry}{\lambda} = 103.9\$

境目の細長比

$\htmlClass{q-geometry}{\lambda_c} = 93\$

降伏荷重（σY × A）

$\htmlClass{q-force}{P_Y} = 70{,}500\ \mathrm{N}$

座屈応力（座屈荷重 ÷ 断面積）

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\mathrm{cr}}} = 188.3\ \mathrm{MPa}$

ほかの値（5 個）

弱い軸の断面二次モーメント

$\htmlClass{q-material}{I_{\min}} = 2{,}500\ \mathrm{mm^4}$

断面積

$\htmlClass{q-geometry}{A} = 300\ \mathrm{mm^2}$

断面二次半径（√(I/A)）

$\htmlClass{q-geometry}{k} = 2.887\ \mathrm{mm}$

座屈荷重 ÷ 降伏荷重

$\htmlClass{q-force}{P_{\mathrm{cr}}/P_Y} = 0.801\$

先に限界になる荷重（小さいほう）

$\htmlClass{q-force}{P_{\text{先}}} = 56{,}480\ \mathrm{N}$

途中の計算（導出）を見る

1. 弱い軸の断面二次モーメント（薄いほうの辺で曲がる。I ＝ 長い辺 × 短い辺³ ÷ 12）

   $$\htmlClass{q-material}{I_{\min}} = \dfrac{(\text{長い辺})\,(\text{短い辺})^3}{12} = \dfrac{30 \times 10^3}{12} = 2{,}500\ \mathrm{mm^4}$$

2. 断面積と、断面二次半径（I と A から。「断面の太さの目安の長さ」）

   $$\htmlClass{q-geometry}{A},\quad \htmlClass{q-geometry}{k} = \sqrt{\dfrac{\htmlClass{q-material}{I_{\min}}}{\htmlClass{q-geometry}{A}}} = 300\ \mathrm{mm^2},\quad \sqrt{\dfrac{2{,}500}{300}} = 2.887\ \mathrm{mm}$$

3. 細長比（長さが、断面二次半径の何倍か）

   $$\htmlClass{q-geometry}{\lambda} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{L}}{\htmlClass{q-geometry}{k}} = \dfrac{300}{2.887} = 103.9$$

4. オイラーの座屈荷重（両端ピン支持）

   $$\htmlClass{q-force}{P_{\mathrm{cr}}} = \dfrac{\pi^2\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I_{\min}}}{\htmlClass{q-geometry}{L}^2} = \dfrac{\pi^2 \times 206{,}000 \times 2{,}500}{300^2} = 56{,}480\ \mathrm{N}$$

5. 座屈応力（座屈荷重 ÷ 断面積。細長比だけで決まる）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\mathrm{cr}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P_{\mathrm{cr}}}}{\htmlClass{q-geometry}{A}} = \dfrac{\pi^2\,\htmlClass{q-material}{E}}{\htmlClass{q-geometry}{\lambda}^2} = \dfrac{\pi^2 \times 206{,}000}{103.9^2} = 188.3\ \mathrm{MPa}$$

6. 降伏荷重（材料が降伏する荷重。強さで決まる）

   $$\htmlClass{q-force}{P_Y} = \htmlClass{q-stress}{\sigma_Y}\,\htmlClass{q-geometry}{A} = 235 \times 300 = 70{,}500\ \mathrm{N}$$

7. 境目の細長比と、先に起きるのはどちらか

   $$\htmlClass{q-geometry}{\lambda_c} = \pi\sqrt{\dfrac{\htmlClass{q-material}{E}}{\htmlClass{q-stress}{\sigma_Y}}} = \pi\sqrt{\dfrac{206{,}000}{235}}\ \ (\htmlClass{q-geometry}{\lambda} = 103.9) = 93\quad\text{細長比のほうが大きい：座屈が先}$$

よくある勘違い

「強い材料にすれば、曲がらなくなる」

座屈荷重の式には、材料の強さが出てきません。出てくるのは、硬さ $\sE$ だけです。鋼なら、普通の鋼も高強度の鋼も $\sE$ はほぼ同じ約 206 GPa で、座屈荷重も同じです（強さと硬さの違いは 片持ちばりのたわみ（先端に集中荷重） を見てください）。

材料を鋼からアルミに替えると、同じ形の柱の座屈荷重は 70/206、約 3分の1です。

「座屈は、材料が潰れること」

座屈と、材料が潰れることは、別です。

「曲がり出すまでは、柱はまっすぐなまま」

理想的な柱の話では、そうです。

実際の柱は、どれも少しだけ曲がっていたり、荷重が中心から少しずれていたりします。はじめから曲げる効き目がある状態です。そのため、座屈荷重に届く前から、荷重とともに曲がりが少しずつ増えていきます。曲がりの大きい柱ほど、理論値より低い荷重で曲がり込みます。

この公式が使える条件

オイラーの式は、次の条件がそろった、理想的な柱の理論です。

• 両端がピンで、自由に回れる
• まっすぐな柱で、断面は長さ方向にそろっている
• 荷重は、断面の図心に、柱の軸に沿ってかかる
• 材料は均質で、荷重を外すと元に戻る範囲（弾性の範囲）
• 細長比が、境目の $\seuLamC$ より大きい（細長い柱である）

実際の柱は、はじめから少し曲がっていたり、荷重が少し偏ったりしています。そのため、この式の値より低い荷重で曲がり出します。この単元は、理想的な柱の理論です。実際の柱の設計（安全率、座屈曲線、規格の式）は扱いません。

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

本文のシーソーは、真ん中の断面だけで釣り合いを見ました。ここでは、柱のすべての高さで釣り合いを見ます。

出発点は、たわみの微分方程式と積分法 の式 $\sE\,\sI\,\sv'' = -\sM$ です（$\sv$ は柱の横方向のずれ）。

下の端を原点にして、柱に沿って $\sx$ 軸をとります。位置 $\sx$ では、柱が荷重の通る線から $\sv$ だけずれているので、曲げる効き目は $\sM = \seuPcr\,\sv$ です。これを式に入れると、

$$\sE\,\sI\,\sv'' = -\seuPcr\,\sv \quad\Longrightarrow\quad \sv'' + k^2\,\sv = 0,\qquad k^2 = \dfrac{\seuPcr}{\sE\,\sI}$$

「曲がり具合が、その場所のずれに比例する」形です。この形を満たすのは、正弦と余弦の曲線です。一般解は $\sv = a\sin(k\sx) + c\cos(k\sx)$ です。

下の端がピンなので、$\sx = 0$ で $\sv = 0$。これで $c = 0$。上の端もピンなので、$\sx = \seuL$ で $\sv = 0$。

$$a\,\sin(k\seuL) = 0$$

$a = 0$ は、まっすぐな柱の解です。曲がった解があるのは、$\sin(k\seuL) = 0$、つまり $k\seuL = n\pi$（$n = 1, 2, \dots$）のときだけです。

$$\seuPcr = \dfrac{n^2\,\pi^2\,\sE\,\sI}{\seuL^2}$$

いちばん小さい $n = 1$ が、座屈荷重です。そのときの形は $\sv = a\sin(\pi\sx/\seuL)$（半波）で、$a$ は式から決まりません。

半波の真ん中の曲がり具合は、$\sv''$ を計算して $a\pi^2/\seuL^2$ です。本文の「8 のところが $\pi^2$ になる」は、これです。円弧の 8 で計算すると、座屈荷重を約 2 割小さく見積もります。

$n = 2$ は、中央で曲がりが逆向きになる S 字の形で、荷重は 4 倍です。柱の中央を横から押さえると、こちらが現れます。

こういう問題を、数学では固有値問題と呼びます。弦をはじいたときに、決まった高さの音だけが出るのと同じ形の問題です。