科目
材料力学
章
はりのたわみ
図番
17 / 22
内容
シミュレータ・例題3問
材料力学　17 / 22

両端を固めると、たわみは4分の1以下両端固定ばり

両端を壁に固定すると、たわみは単純支持の1/4〜1/5になる。そのかわり、壁の根元に固定端モーメントが生まれる。

鋼の定規の両端を左右の手がしっかり握り、真ん中が上から押されている
このページの内容
  1. 定規を両手で握ると
  2. 両端を、壁につかまれたはり
  3. シーソーの決まりで、分かることと分からないこと
  4. 端の傾きを、0 に戻す
  5. 公式はこれ
  6. 公式を、3つのかたまりに分けて読む
  7. 得と、注意
  8. どの数字がいちばん効く？
  9. 握った定規に戻ると
  10. 動かしてみよう
  11. よくある勘違い
  12. この公式が使える条件
  13. 例題

この単元のポイント

  1. 両端を壁に固定すると、同じ荷重でも、たわみは単純支持の5分の1（等分布荷重）、4分の1（中央に集中荷重）になる。
  2. 固定した端は傾かない。傾きを止めるために、壁が端を曲げ戻す（固定端モーメント）。その大きさは、シーソーの決まりでは決まらず、「端の傾きが 0」という条件で決まる。等分布荷重なら w L2/12\sw\,\sL^2/12。
  3. 最大の曲げモーメントは、中央から壁の根元へ移る。根元の固定（溶接・ボルト）が弱いと、この得は消える。

前の単元との違い前の単元では、片方の端だけを固定しました。この単元では、両方の端を固定します。

定規を両手で握ると

定規の両端を、指で下から支えて、真ん中を押してみてください。定規は、大きく曲がります。

次に、両端を手でしっかり握り、水平のまま動かないように押さえて、真ん中を押してみます。同じ力でも、ぐっと曲がりにくくなります。

左：定規の両端を下から指で支え、真ん中を押すと大きく曲がる。右：両端を握って固定し、真ん中を押すと、曲がりが小さい
図 17-03両端を握ると、同じ力でも曲がりにくくなります。

握った手は、何をしているのでしょうか。そして、曲がりはどれだけ小さくなるのでしょうか。

予想してから読む定規の両端を握って固定すると、真ん中を押したときの下がりは、指で支えたときの何倍？

両端を、壁につかまれたはり

握った定規と同じように、両端をつかまれたはりは、身のまわりにたくさんあります。壁に埋め込んだ手すり。柱と柱のあいだに、両端を溶接して渡した受け材。ボルトで両端を台に締め付けた板。

両端固定ばりの例。壁に埋め込んだ手すり、柱のあいだに両端を溶接して渡した受け材（その上を配管が通る）、両端をボルトで台に締めた板、柱にボルトでつないだフレームの梁
図 17-01どれも、はりの両端が、傾かないようにつかまれています。

こういう支え方を固定といい、両端を固定したはりを両端固定ばりといいます。

載せるだけの端は、はりが下がるとき、自由に傾きます。固定した端は、傾きません。たわんだはりの端が、壁から水平に出たままです。

左：端を載せただけのはりは、端が傾く。右：端を壁に固定したはりは、端が水平のまま壁から出て、真ん中の下がりが小さい
図 17-02左が載せただけの端、右が固定した端です。固定すると、端が傾きません。

単純支持ばりのたわみ（中央に集中荷重） と 単純支持ばりのたわみ（等分布荷重） では、両端を載せるだけでした。この単元では、その両端をつかみます。

片方の端だけをつかむ場合は、不静定ばり（一端固定・他端支持） で見ました。先に柱を足すと、シーソーの決まりだけでは支える力が決まらず、たわみの条件を足して解きました。両端固定も、同じ流れで解きます。

シーソーの決まりで、分かることと分からないこと

全長に、等分布荷重 w\sw（1 mm あたりの荷重）がかかるとします。

分からない量は、4つあります。左右の壁が押し上げる力と、左右の壁が端を曲げ戻す力 × 距離（固定端モーメント）です。

せん断力図と曲げモーメント図 のシーソーの2つの決まりを当てます。

  • 決まり1：上向きの力 ＝ 下向きの力
  • 決まり2：力 × 距離が、逆向きどうしで同じ

はりも荷重も、左右対称です。だから、左右の壁の力は同じで、決まり1から、それぞれ荷重の合計の半分です。

R=w L2\sR = \dfrac{\sw\,\sL}{2}

左右の固定端モーメントも、同じ大きさ M0\sM_0 です。ただし、向きは逆です。左の壁は反時計回り、右の壁は時計回りに、端を曲げ戻します。

逆向きで同じ大きさなので、決まり2では、2つが打ち消し合います。M0\sM_0 がいくつでも、決まり2は成り立ちます。

シーソーの決まりでは、M0\sM_0 の大きさが決まりません。

足りない1本は、「固定した端の傾きは 0」という条件です。

端の傾きを、0 に戻す

重ね合わせの原理 の重ね合わせを使います。2つの場合を足します。

  1. 両端を載せるだけのはりに、荷重 w\sw がかかる
  2. 同じはりの両端に、壁の固定端モーメント M0\sM_0 だけがかかる

2つを足して、端の傾きが 0 になるように、M0\sM_0 を決めます。

1. 荷重だけ

単純支持ばりのたわみ（等分布荷重） の結果です。端は、次の角度だけ傾きます。真ん中は、次の量だけ下がります。

端の傾き=w L324 E I,真ん中の下がり=5 w L4384 E I\text{端の傾き} = \dfrac{\sw\,\sL^3}{24\,\sE\,\sI},\qquad \text{真ん中の下がり} = \dfrac{5\,\sw\,\sL^4}{384\,\sE\,\sI}

2. 端を曲げ戻す力だけ

両端に、はりを上へ反らせる向きに、M0\sM_0 をかけます。2つは打ち消し合うので、台が押し上げる力は 0 です。

どこで切っても、切り口の左側にあるのは、左端の M0\sM_0 だけです。だから、曲げモーメントは全長で M0\sM_0 です。

曲げ応力の式 の式で、曲がり具合は M0/(E I)\sM_0/(\sE\,\sI) で一定です。はりは、円の一部（円弧）に反ります。

曲がり具合は、「1 mm 進むごとに、傾きがどれだけ変わるか」です（たわみの微分方程式と積分法）。真ん中の傾きは、左右対称なので 0 です。真ん中から端まで L/2\sL/2 進むと、傾きはこう変わります。

端の傾き=M0E I×L2=M0 L2 E I\text{端の傾き} = \dfrac{\sM_0}{\sE\,\sI} \times \dfrac{\sL}{2} = \dfrac{\sM_0\,\sL}{2\,\sE\,\sI}

真ん中の持ち上がりも出せます。傾きは、真ん中の 0 から端まで、一様に増えます。だから、平均の傾きは端の半分です。平均の傾きに、進んだ距離 L/2\sL/2 を掛けると、高さの差になります。

真ん中の持ち上がり=M0 L4 E I×L2=M0 L28 E I\text{真ん中の持ち上がり} = \dfrac{\sM_0\,\sL}{4\,\sE\,\sI} \times \dfrac{\sL}{2} = \dfrac{\sM_0\,\sL^2}{8\,\sE\,\sI}

2つを足して、端の傾きを 0 にする

荷重による端の傾きを、曲げ戻す力による傾きで、ちょうど打ち消します。

w L324 E I=M0 L2 E I\dfrac{\sw\,\sL^3}{24\,\sE\,\sI} = \dfrac{\sM_0\,\sL}{2\,\sE\,\sI}

1段ずつ解きます。両辺に E I\sE\,\sI を掛けると、E I\sE\,\sI が消えます。

w L324=M0 L2\dfrac{\sw\,\sL^3}{24} = \dfrac{\sM_0\,\sL}{2}

両辺を L\sL で割ります。

w L224=M02\dfrac{\sw\,\sL^2}{24} = \dfrac{\sM_0}{2}

両辺に 2 を掛けます。

M0=w L212\sM_0 = \dfrac{\sw\,\sL^2}{12}

これが、壁が端を曲げ戻す固定端モーメントです。

真ん中のたわみ

真ん中の下がりは、荷重による下がりから、持ち上がりを引いたものです。M0=w L2/12\sM_0 = \sw\,\sL^2/12 を入れます。

δmax⁡=5 w L4384 E I−w L212⋅L28 E I=5 w L4384 E I−4 w L4384 E I=w L4384 E I\sdeltaMax = \dfrac{5\,\sw\,\sL^4}{384\,\sE\,\sI} - \dfrac{\sw\,\sL^2}{12}\cdot\dfrac{\sL^2}{8\,\sE\,\sI} = \dfrac{5\,\sw\,\sL^4}{384\,\sE\,\sI} - \dfrac{4\,\sw\,\sL^4}{384\,\sE\,\sI} = \dfrac{\sw\,\sL^4}{384\,\sE\,\sI}

12×8=9612 \times 8 = 96 で、1/96=4/3841/96 = 4/384 です。5 から 4 を引いて、1 が残ります。

単純支持の 5/384 が、1/384 になりました。たわみは 5分の1 です。

中央に集中荷重のとき

手順は同じです。単純支持の端の傾きは P L2/(16 E I)\sP\,\sL^2/(16\,\sE\,\sI)、真ん中の下がりは P L3/(48 E I)\sP\,\sL^3/(48\,\sE\,\sI) です（単純支持ばりのたわみ（中央に集中荷重））。

端の傾きを打ち消す条件 P L2/16=M0 L/2\sP\,\sL^2/16 = \sM_0\,\sL/2 から、M0=P L/8\sM_0 = \sP\,\sL/8 です。

δmax⁡=P L348 E I−P L8⋅L28 E I=4 P L3192 E I−3 P L3192 E I=P L3192 E I\sdeltaMax = \dfrac{\sP\,\sL^3}{48\,\sE\,\sI} - \dfrac{\sP\,\sL}{8}\cdot\dfrac{\sL^2}{8\,\sE\,\sI} = \dfrac{4\,\sP\,\sL^3}{192\,\sE\,\sI} - \dfrac{3\,\sP\,\sL^3}{192\,\sE\,\sI} = \dfrac{\sP\,\sL^3}{192\,\sE\,\sI}

単純支持の 1/48（= 4/192）が、1/192 になります。たわみは 4分の1 です。

公式はこれ

全長に等分布荷重 w\sw がかかるとき、

δmax⁡=w L4384 E I\sdeltaMax = \dfrac{\sw\,\sL^4}{384\,\sE\,\sI}

中央に集中荷重 P\sP がかかるとき、

δmax⁡=P L3192 E I\sdeltaMax = \dfrac{\sP\,\sL^3}{192\,\sE\,\sI}

いちばん下がるのは、どちらも真ん中です。壁が支える力は、左右で半分ずつです（等分布なら w L/2\sw\,\sL/2、中央集中なら P/2\sP/2）。

記号 意味 下の例（盤の初期値）では
w\sw 全長に均等にかかる荷重（1 mm あたり） 2 N/mm（1 m で 2,000 N）
P\sP 真ん中にかかる荷重 1,500 N（約 150 kg）
L\sL 両端の壁のあいだの長さ 1,000 mm
E\sE 材料の硬さ（縦弾性係数） 鋼 206 GPa
I\sI 断面の形の曲がりにくさ 幅 30 mm・高さ 40 mm の角棒で b h3/12\sb\,\sh^3/12 = 160,000 mm⁴

数で確かめます。鋼の角棒（幅 30 mm、高さ 40 mm）を、長さ 1,000 mm で渡し、全長に 2 N/mm をかけます。断面は I=30×403/12=160,000 mm4\sI = 30 \times 40^3/12 = 160{,}000\ \mathrm{mm^4} です。

δmax⁡=2×1,0004384×206,000×160,000=0.158 mm\sdeltaMax = \dfrac{2 \times 1{,}000^4}{384 \times 206{,}000 \times 160{,}000} = 0.158\ \mathrm{mm}

両端を載せるだけなら、5倍の 0.790 mm です。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

等分布荷重の式を、3つの部分の掛け算に分けます。

δmax⁡=w L⏟荷重の合計×L3E I⏟長さと曲がりやすさ×1384⏟支え方で決まる数\sdeltaMax = \underbrace{\sw\,\sL}_{\text{荷重の合計}} \times \underbrace{\dfrac{\sL^3}{\sE\,\sI}}_{\text{長さと曲がりやすさ}} \times \underbrace{\dfrac{1}{384}}_{\text{支え方で決まる数}}
  1. 荷重の合計 w L\sw\,\sL　全長にかかる荷重を足し合わせた量です。荷重が2倍なら、たわみも2倍です。
  2. 長さと曲がりやすさ L3/E I\sL^3/\sE\,\sI　長いほど曲がり、E I\sE\,\sI が大きいほど曲がりません。荷重の合計にも L\sL が1つ入っているので、全体では、長さの4乗で効きます。
  3. 支え方で決まる数 1/384　はりの支え方で変わる数です。上で見たとおり、単純支持の 5/384 から、曲げ戻すぶんの 4/384 を引いた残りです。

同じ荷重の合計・同じ長さ・同じ E I\sE\,\sI で、支え方だけを変えると、この数はこうなります。

支え方 等分布荷重のときの数 両端固定を 1 としたたわみ
片持ち（片端だけ固定、他端は自由） 1/8 48 倍
両端を載せるだけ（単純支持） 5/384 5 倍
一端固定・他端支持 約 1/185 約 2.08 倍
両端固定 1/384 1 倍

中央に集中荷重の場合は、数がこうなります。片持ちは先端に荷重をかけた場合です。

支え方 中央に集中荷重のときの数（P L3/E I\sP\,\sL^3/\sE\,\sI に掛ける） 両端固定を 1 としたたわみ
片持ち（先端に荷重） 1/3 64 倍
単純支持 1/48 4 倍
一端固定・他端支持 約 1/107 約 1.79 倍
両端固定 1/192 1 倍
同じ長さ・同じ荷重の4本のはりを、同じ縮尺で描いた図。片持ちは下がりが大きすぎて枠に入らないので、途中の高さを波線で省いてあり、波線の上と下のはりを破線でつないである。波線の下に、荷重の矢印がかかる先端が見える。単純支持はそれよりずっと小さく、一端固定・他端支持はさらに小さく、両端固定がいちばん小さい
図 17-04支え方を変えると、同じ荷重でも、下がり方がこれだけ違います。片持ちは下がりが大きくて枠に入らないので、途中を波線で省いています。

一端固定・他端支持の数は、不静定ばり（一端固定・他端支持） で求めたものです。片方の端も固定すると、たわみはさらに約 2 分の 1 になります。

得と、注意

得：たわみが小さくなる。両端を載せるだけのはりと比べて、等分布荷重なら 1/5、中央に集中荷重なら 1/4 です。

最大の曲げモーメントも小さくなります。載せるだけのときは、等分布なら中央に w L2/8\sw\,\sL^2/8、中央集中なら P L/4\sP\,\sL/4 がかかりました。両端固定では、最大が等分布で w L2/12\sw\,\sL^2/12（3分の2）、中央集中で P L/8\sP\,\sL/8（2分の1）です。

注意：最大の曲げモーメントが、壁の根元に移る。載せるだけの端は、傾けるので、曲げモーメントが 0 でした。固定した端は、傾きを止めているので、固定端モーメントがかかります。

中央の曲げモーメントも、重ね合わせで出ます。単純支持の中央の値から、全長で一定の M0\sM_0 を引きます。等分布なら w L2/8−w L2/12=w L2/24\sw\,\sL^2/8 - \sw\,\sL^2/12 = \sw\,\sL^2/24 です。

荷重 固定端モーメント（両端とも） 中央の曲げモーメント
全長に等分布荷重 w\sw w L2/12\sw\,\sL^2/12 w L2/24\sw\,\sL^2/24
中央に集中荷重 P\sP P L/8\sP\,\sL/8 P L/8\sP\,\sL/8

等分布荷重では、根元の曲げモーメントが、中央の2倍あります。中央に集中荷重をかけると、根元と中央は同じ大きさです。

両端を載せるだけ（単純支持）中央 wL²/8端は 0端は 0両端を固定根元 wL²/12根元 wL²/12中央 wL²/24

同じ荷重・同じ長さを、同じ縮尺で描いています。○ は 0 になる点です。軸の上が、下に凸に曲げる向きです。最大は、単純支持では中央、両端固定では根元です。

根元では、はりは上へ反るように曲げられます。だから、上の面が引っぱられます。ひびが入るなら、根元の上側からです。

両端を溶接で壁に固定したはり。真ん中は無傷で、左の溶接した根元の上側に小さなひびが入っている。ひびを丸で囲み、その上に、上の面が左右へ引っぱられることを表す両向きの矢印がある。真ん中の下には、たわみの寸法の矢印
図 17-05壊れるなら、中央ではなく、根元から。固定した端は、点検する場所です。

壁、溶接、ボルトは、この固定端モーメントを受け止めなければなりません。端の固定が弱いと、期待した得は消えます。ボルトがゆるんで端が少し傾けるようになれば、はりは載せるだけの状態へ近づきます。

実物の接合は、「載せるだけ」と「完全な固定」のあいだにあります。この単元の式は、固定が完全なときの値です。

もう1つあります。両端を固定すると、はりは軸の向きにも動けません。温度が上がって伸びようとしても、両側の壁に押さえられて伸びられないので、はりには軸の向きに押し合う力（軸力）が生まれます。これは曲げモーメントではなく、たわみの式にも出てきません。でも、細長いはりでは、この押す力が座屈のもとになります（オイラーの座屈荷重）。片方の端をローラにして載せるだけのはりなら、伸びを逃がせるので、この力は生まれません。

どの数字がいちばん効く？

たわみの効き方は、単純支持ばりのたわみ（等分布荷重） と同じです（等分布荷重で、長さ10%で +46%、高さで −25%、荷重・硬さは ±9〜10%）。この単元で新しいのは、固定端モーメントの効き方です。

変えるもの（10%） 固定端モーメントの変化 理由
長さ L\sL を長く +21% w L2/12\sw\,\sL^2/12 で、長さの2乗（1.1² = 1.21）
荷重 w\sw を大きく +10% 1乗
断面の高さ h\sh・材料の硬さ E\sE 変わらない 曲げモーメントは、はりの硬さに関係しない

握った定規に戻ると

最初の問いに答えます。

握った手は、定規の端が傾くのを止めています。止めるために、端を反対向きに曲げ戻しています。それが固定端モーメントです。真ん中を指で押すのは、中央の集中荷重なので、その大きさは P L/8\sP\,\sL/8 です。

そのおかげで、真ん中の下がりは、指で支えたときの 4分の1 になります。

握った手のひらに、ねじられるような手ごたえが残ります。それが、壁や溶接が受け止めている力です。

つまり、ものを作るときは

たわみを小さくしたいなら、両端を固定するのは強い手です。同じ高さのままで、たわみが 1/4〜1/5 になります。逆に、同じたわみでよいなら、高さを約 0.6 倍まで減らせます（例題3）。

そのかわり、固定した端が主役になります。壁の埋め込み、溶接、ボルトの本数と大きさは、根元の曲げモーメントに耐えるように決めます。点検するのも、中央ではなく根元です。

動かしてみよう

はじめに、荷重の種類を選びます。全長に等分布荷重か、中央に集中荷重かです。

  • 長さ L\sL のスライダーを右へ動かして、たわみの数字がどれだけ急に増えるか見てください。
  • 次に、高さ h\sh を変えます。たわみは変わるのに、固定端モーメントは変わらないことを確かめてください。

図は、上がはりのたわみ曲線、下が曲げモーメント図です。曲げモーメント図は、軸の上を「下に凸に曲げる向き」として描いています（ほかの単元と同じです）。中央は軸の上で、下へたわむように曲がります。根元の近くは軸の下で、上へ反るように曲がります。○ は、曲げモーメントが 0 になる点で、はりの曲がる向きが入れ替わる場所です。

たわみは、実際にはとても小さいので、拡大して描いています。図の下の「たわみの描き方」で、描き方を切り替えられます。破線は、同じ荷重で両端を載せるだけ（単純支持）のときの曲線で、同じ倍率で描いてあります。曲げモーメント図の尺度も固定なので、荷重や長さを変えると図の高さが変わり、高さ h\sh を変えても図は変わりません。

初期値は、上で数を入れた角棒（等分布荷重・鋼 30×40 mm・長さ 1,000 mm）です。最大たわみは 0.158 mm、両端を載せるだけなら 0.790 mm です。

荷重の種類
シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります

試してみよう0 / 3

  1. 長さ L を2倍の 2,000 mm にして、単純支持のたわみ δ単純 と比べる（まだ）
  2. 長さを戻して、荷重 w を2倍の 4 N/mm にし、端と中央の曲げモーメントを比べる（まだ）
  3. 荷重を戻して、材料の硬さ E をアルミの 70 GPa にする（まだ）
N/mm
mm
GPa
mm
mm
単純支持wδL曲げモーメント図（上が、下に凸に曲げる向き。○ は 0 になる点）両端 166,700 N·mm中央 83,330 N·mm0単元両端固定ばり尺度たわみ ×220材料E = 206 GPabh断面
最大たわみは、初期値の ×1
たわみの描き方いまの倍率　×220

たわみは実際には小さいので、見やすいように拡大して描いています。倍率は、初期値のときの ×220 のまま変えないので、数字を変えると、たわみの大きさが、そのまま図に出ます。

いまの式（数字を入れた形）

δmax⁡=w L4384 E I\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{384\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}}=2×1,0004384×206,000×160,000= \dfrac{2 \times 1{,}000^4}{384 \times 206{,}000 \times 160{,}000}=0.158 mm= 0.158\ \mathrm{mm}
最大たわみ
δmax⁡=0.158 mm\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = 0.158\ \mathrm{mm}
単純支持のときの最大たわみ
δ単純=0.7901 mm\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{単純}}} = 0.7901\ \mathrm{mm}
たわみの比（両端固定 ÷ 単純支持）
δ/δ単純=0.2 \htmlClass{q-displacement}{\delta/\delta_{\text{単純}}} = 0.2\
固定端モーメント（両端とも同じ大きさ）
M端=166,700 N⋅mm\htmlClass{q-moment}{M_{\text{端}}} = 166{,}700\ \mathrm{N\cdot mm}
中央の曲げモーメント
M中央=83,330 N⋅mm\htmlClass{q-moment}{M_{\text{中央}}} = 83{,}330\ \mathrm{N\cdot mm}
最大曲げ応力
σmax⁡=20.83 MPa\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = 20.83\ \mathrm{MPa}
ほかの値（4 個）
断面二次モーメント
I=160,000 mm4\htmlClass{q-material}{I} = 160{,}000\ \mathrm{mm^4}
総荷重
W=2,000 N\htmlClass{q-force}{W} = 2{,}000\ \mathrm{N}
支点の反力
R=1,000 N\htmlClass{q-force}{R} = 1{,}000\ \mathrm{N}
断面係数
Z=8,000 mm3\htmlClass{q-material}{Z} = 8{,}000\ \mathrm{mm^3}
途中の計算（導出）を見る

  1. 断面二次モーメント（長方形断面）

    I=b h312=30×40312=160,000 mm4\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{30 \times 40^3}{12} = 160{,}000\ \mathrm{mm^4}

  2. 総荷重（単位長さあたりの荷重 × 長さ）

    W=w L=2×1,000=2,000 N\htmlClass{q-force}{W} = \htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L} = 2 \times 1{,}000 = 2{,}000\ \mathrm{N}

  3. 壁が支える力（左右で半分ずつ）

    R=w L2=2×1,0002=1,000 N\htmlClass{q-force}{R} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{2} = \dfrac{2 \times 1{,}000}{2} = 1{,}000\ \mathrm{N}

  4. 固定端モーメント（壁の根元で、はりを曲げ戻す力）

    M端=w L212=2×1,000212=166,700 N⋅mm\htmlClass{q-moment}{M_{\text{端}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^2}{12} = \dfrac{2 \times 1{,}000^2}{12} = 166{,}700\ \mathrm{N\cdot mm}

  5. 中央の曲げモーメント

    M中央=w L224=2×1,000224=83,330 N⋅mm\htmlClass{q-moment}{M_{\text{中央}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^2}{24} = \dfrac{2 \times 1{,}000^2}{24} = 83{,}330\ \mathrm{N\cdot mm}

  6. 最大たわみ（中央）

    δmax⁡=w L4384 E I=2×1,0004384×206,000×160,000=0.158 mm\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{384\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{2 \times 1{,}000^4}{384 \times 206{,}000 \times 160{,}000} = 0.158\ \mathrm{mm}

  7. 同じ荷重で、両端を単純支持にしたときの最大たわみ（比べるため）

    δ単純=5 w L4384 E I=5×2×1,0004384×206,000×160,000=0.7901 mm\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{単純}}} = \dfrac{5\,\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{384\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{5 \times 2 \times 1{,}000^4}{384 \times 206{,}000 \times 160{,}000} = 0.7901\ \mathrm{mm}

  8. たわみの比（両端固定 ÷ 単純支持）

    δmax⁡δ単純=15=0.1580.7901=0.2\dfrac{\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}}}{\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{単純}}}} = \dfrac{1}{5} = \dfrac{0.158}{0.7901} = 0.2

  9. 最大曲げ応力（固定端の上下の面）

    σmax⁡=M端Z,Z=b h26=166,7008,000=20.83 MPa\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M_{\text{端}}}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{166{,}700}{8{,}000} = 20.83\ \mathrm{MPa}

よくある勘違い

「固定すれば、はりは曲がらない」

固定したはりは曲がらない　→　曲がります。固定したのは、端の傾きです。

真ん中のたわみは、小さくはなりますが、0 にはなりません。

「端が固定されているなら、中央に力はかからない」

中央の曲げモーメントは 0　→　中央にも曲げモーメントがあります（等分布荷重で w L2/24\sw\,\sL^2/24）。

向きが根元と逆で、中央は下へ、根元は上へ曲がります。

「材料を硬くすれば、根元の力も減る」

硬い材料なら固定端モーメントが減る　→　減りません。固定端モーメントは、荷重と長さだけで決まります。

E\sE や I\sI を変えて減るのは、たわみだけです。強い（強度の高い）材料にすると、同じ曲げモーメントに、より余裕を持って耐えられるだけです。

この公式が使える条件

  • たわみが、はりの長さに比べて十分小さい（長さの1割くらいまで）。両端が固定されると、はりは軸の方向にも動けなくなりますが、たわみが小さい範囲では、その影響は無視できます
  • 荷重を外すと元に戻る範囲（弾性の範囲）
  • はりの重さは考えない。断面は、端から端まで同じ
  • 端が完全に固定されている（壁も溶接も動かない）。実物の端は、これより少しゆるい
式の導き方（くわしく知りたい人へ）

本文では、重ね合わせで解きました。たわみの式を直接解いても、同じ答えになります。

全長に等分布荷重 w\sw がかかるとき、たわみ v\sv は E I d4v/dx4=w\sE\,\sI\,d^4\sv/d\sx^4 = \sw を満たします。E I d2v/dx2=−M\sE\,\sI\,d^2\sv/d\sx^2 = -\sM を、さらに2回微分した式です（曲げモーメントを2回微分すると、荷重になります。せん断力図と曲げモーメント図 の「傾きと積み上げ」を2回使います）。

条件は、両端（x=0\sx = 0 と x=L\sx = \sL）で、たわみ v=0\sv = 0 と傾き dv/dx=0d\sv/d\sx = 0 の4つです。4回積分して、4つの積分定数をこの条件で決めると、

v(x)=w x2(L−x)224 E I\sv(\sx) = \dfrac{\sw\,\sx^2(\sL - \sx)^2}{24\,\sE\,\sI}

になります。x=L/2\sx = \sL/2 を入れると、w (L/2)4/(24 E I)=w L4/(384 E I)\sw\,(\sL/2)^4/(24\,\sE\,\sI) = \sw\,\sL^4/(384\,\sE\,\sI) で、本文と一致します。

固定端モーメントは、M=−E I d2v/dx2\sM = -\sE\,\sI\,d^2\sv/d\sx^2 に x=0\sx = 0 を入れて、大きさ w L2/12\sw\,\sL^2/12（上に反らせる向き）です。

この単元の計算は、境界条件をつけた数値積分でも確かめてあります。

例題

例題1　ボルトで両端を固定した板

幅 60 mm・厚さ 5 mm の鋼の板を、300 mm のあいだを空けて、両端をボルトで台に固定しました。板の中央に、重さ 40 N のセンサを載せます。板の重さは考えません。鋼の縦弾性係数は 206 GPa とします。

(1) 中央は、どれだけ下がりますか。(2) 両端の固定端モーメントはいくらですか。(3) 同じ板を、両端をただ載せるだけ（単純支持）にしたら、中央のたわみは何倍になりますか。

ヒント 1 / 2

中央に集中荷重の両端固定の式 δmax⁡=PL3/(192 EI)\sdeltaMax = \sP\sL^3/(192\,\sE\sI) と、固定端モーメント PL/8\sP\sL/8 を使います。

ヒント 2 / 2

板は厚さの向きに曲がるので、I=60×53/12=625\sI = 60 \times 5^3/12 = 625 mm⁴ です。

答えと解き方を見る
(1) δmax⁡=0.0437 mm(1)\ \sdeltaMax = 0.0437\ \mathrm{mm}
(2) M端=1,500 N⋅mm(2)\ \sMends = 1{,}500\ \mathrm{N\cdot mm}
(3) 4 倍(3)\ 4\ \text{倍}

  1. 断面二次モーメント（長方形断面）

    I=b h312=60×5312=625 mm4\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{60 \times 5^3}{12} = 625\ \mathrm{mm^4}

  2. 壁が支える力（左右で半分ずつ）

    R=P2=402=20 N\htmlClass{q-force}{R} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}}{2} = \dfrac{40}{2} = 20\ \mathrm{N}

  3. 固定端モーメント（壁の根元で、はりを曲げ戻す力）

    M端=P L8=40×3008=1,500 N⋅mm\htmlClass{q-moment}{M_{\text{端}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{8} = \dfrac{40 \times 300}{8} = 1{,}500\ \mathrm{N\cdot mm}

  4. 中央の曲げモーメント

    M中央=P L8=40×3008=1,500 N⋅mm\htmlClass{q-moment}{M_{\text{中央}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{8} = \dfrac{40 \times 300}{8} = 1{,}500\ \mathrm{N\cdot mm}

  5. 最大たわみ（中央）

    δmax⁡=P L3192 E I=40×3003192×206,000×625=0.04369 mm\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{192\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{40 \times 300^3}{192 \times 206{,}000 \times 625} = 0.04369\ \mathrm{mm}

  6. 同じ荷重で、両端を単純支持にしたときの最大たわみ（比べるため）

    δ単純=P L348 E I=40×300348×206,000×625=0.1748 mm\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{単純}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{P}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^3}{48\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{40 \times 300^3}{48 \times 206{,}000 \times 625} = 0.1748\ \mathrm{mm}

  7. たわみの比（両端固定 ÷ 単純支持）

    δmax⁡δ単純=14=0.043690.1748=0.25\dfrac{\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}}}{\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{単純}}}} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{0.04369}{0.1748} = 0.25

  8. 最大曲げ応力（固定端の上下の面）

    σmax⁡=M端Z,Z=b h26=1,500250=6 MPa\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M_{\text{端}}}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{1{,}500}{250} = 6\ \mathrm{MPa}

板は薄いので、たわみは 0.1 mm より小さい量です。ボルトを固定すると、載せるだけのときの4分の1になります。

単純支持の最大たわみは、同じ式で 48 を使います。192 ÷ 48 = 4 です。

固定端モーメントは、ボルトの固定が板を曲げ戻している力です。この力が出るのは、ボルトが板の傾きを止めているからです。ボルトがゆるむと、この力は小さくなり、たわみは載せるだけのときへ近づきます。

例題2　両端を溶接した配管の渡し

2 本の柱のあいだに、鋼の角棒（幅 40 mm・高さ 60 mm・長さ 2,500 mm）を渡して、配管を載せます。配管と中の水の重さは、角棒の全長に均等に、1 mm あたり 0.3 N（1 m で約 30 kg）です。角棒の重さは考えません。鋼の縦弾性係数は 206 GPa とします。

角棒の両端を、柱に溶接して固定しました。(1) 中央は、どれだけ下がりますか。(2) 最大の曲げ応力は、どこに、いくらで生じますか。(3) 溶接をやめて、両端を載せるだけにしたら、最大の曲げ応力は何倍になりますか。

ヒント 1 / 2

等分布荷重の両端固定の式 δmax⁡=wL4/(384 EI)\sdeltaMax = \sw\sL^4/(384\,\sE\sI) と、根元の固定端モーメント wL2/12\sw\sL^2/12 を使います。

ヒント 2 / 2

断面二次モーメントは I=40×603/12\sI = 40 \times 60^3/12 mm⁴、断面係数は Z=40×602/6\sZ = 40 \times 60^2/6 mm³ です。

答えと解き方を見る
(1) δmax⁡=0.206 mm(1)\ \sdeltaMax = 0.206\ \mathrm{mm}
(2) 溶接した端の上下の面 σmax⁡=6.51 MPa(2)\ \text{溶接した端の上下の面}\ \ssigma = 6.51\ \mathrm{MPa}
(3) 1.5 倍 (9.77 MPa)(3)\ 1.5\ \text{倍}\ (9.77\ \mathrm{MPa})

  1. 断面二次モーメント（長方形断面）

    I=b h312=40×60312=720,000 mm4\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{40 \times 60^3}{12} = 720{,}000\ \mathrm{mm^4}

  2. 総荷重（単位長さあたりの荷重 × 長さ）

    W=w L=0.3×2,500=750 N\htmlClass{q-force}{W} = \htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L} = 0.3 \times 2{,}500 = 750\ \mathrm{N}

  3. 壁が支える力（左右で半分ずつ）

    R=w L2=0.3×2,5002=375 N\htmlClass{q-force}{R} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{2} = \dfrac{0.3 \times 2{,}500}{2} = 375\ \mathrm{N}

  4. 固定端モーメント（壁の根元で、はりを曲げ戻す力）

    M端=w L212=0.3×2,500212=156,300 N⋅mm\htmlClass{q-moment}{M_{\text{端}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^2}{12} = \dfrac{0.3 \times 2{,}500^2}{12} = 156{,}300\ \mathrm{N\cdot mm}

  5. 中央の曲げモーメント

    M中央=w L224=0.3×2,500224=78,130 N⋅mm\htmlClass{q-moment}{M_{\text{中央}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^2}{24} = \dfrac{0.3 \times 2{,}500^2}{24} = 78{,}130\ \mathrm{N\cdot mm}

  6. 最大たわみ（中央）

    δmax⁡=w L4384 E I=0.3×2,5004384×206,000×720,000=0.2058 mm\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{384\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{0.3 \times 2{,}500^4}{384 \times 206{,}000 \times 720{,}000} = 0.2058\ \mathrm{mm}

  7. 同じ荷重で、両端を単純支持にしたときの最大たわみ（比べるため）

    δ単純=5 w L4384 E I=5×0.3×2,5004384×206,000×720,000=1.029 mm\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{単純}}} = \dfrac{5\,\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{384\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{5 \times 0.3 \times 2{,}500^4}{384 \times 206{,}000 \times 720{,}000} = 1.029\ \mathrm{mm}

  8. たわみの比（両端固定 ÷ 単純支持）

    δmax⁡δ単純=15=0.20581.029=0.2\dfrac{\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}}}{\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{単純}}}} = \dfrac{1}{5} = \dfrac{0.2058}{1.029} = 0.2

  9. 最大曲げ応力（固定端の上下の面）

    σmax⁡=M端Z,Z=b h26=156,30024,000=6.51 MPa\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M_{\text{端}}}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{156{,}300}{24{,}000} = 6.51\ \mathrm{MPa}

両端固定の最大の曲げモーメントは、壁の根元の wL²/12 です。載せるだけのときの最大（中央の wL²/8）の 3 分の 2 になります。8 ÷ 12 の逆数で、3/2 = 1.5 倍です。

たわみだけでなく、最大の応力も下がります。ただし、最大の場所は、中央から溶接した端へ移ります。溶接部は、この曲げに耐える作りでなければなりません。

例題3　壁に両端を埋め込んだ手すり

幅 25 mm の鋼の平棒を、長さ 1,800 mm の手すりにします。人が手をついて体重をかける力は、下向きに、全長に均等に、1 mm あたり 0.5 N と考えます。鋼の縦弾性係数は 206 GPa、棒の重さは考えません。

中央のたわみを 1 mm 以下にしたいとき、棒の高さ（上下の向き）は最低何 mm 必要ですか。(1) 両端を壁に埋め込んで固定する場合と、(2) 両端を壁に載せるだけの場合で、求めてください。

ヒント 1 / 2

たわみの式を、高さについて解きます。I=bh3/12\sI = \sb\sh^3/12 を入れると、h3\sh^3 が残ります。

ヒント 2 / 2

固定なら、wL4/(384 EI)=1\sw\sL^4/(384\,\sE\sI) = 1 mm から、必要な I\sI は 0.5×1,8004/(384×206,000)0.5 \times 1{,}800^4/(384 \times 206{,}000) mm⁴ です。

答えと解き方を見る
(1) h≥31.7 mm(1)\ \sh \ge 31.7\ \mathrm{mm}
(2) h≥54.2 mm(2)\ \sh \ge 54.2\ \mathrm{mm}
31.7 mm54.2 mm=0.585\dfrac{31.7\ \mathrm{mm}}{54.2\ \mathrm{mm}} = 0.585

  1. 断面二次モーメント（長方形断面）

    I=b h312=25×31.7312=66,353.2 mm4\htmlClass{q-material}{I} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^3}{12} = \dfrac{25 \times 31.7^3}{12} = 66{,}353.2\ \mathrm{mm^4}

  2. 総荷重（単位長さあたりの荷重 × 長さ）

    W=w L=0.5×1,800=900 N\htmlClass{q-force}{W} = \htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L} = 0.5 \times 1{,}800 = 900\ \mathrm{N}

  3. 壁が支える力（左右で半分ずつ）

    R=w L2=0.5×1,8002=450 N\htmlClass{q-force}{R} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}}{2} = \dfrac{0.5 \times 1{,}800}{2} = 450\ \mathrm{N}

  4. 固定端モーメント（壁の根元で、はりを曲げ戻す力）

    M端=w L212=0.5×1,800212=135,000 N⋅mm\htmlClass{q-moment}{M_{\text{端}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^2}{12} = \dfrac{0.5 \times 1{,}800^2}{12} = 135{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}

  5. 中央の曲げモーメント

    M中央=w L224=0.5×1,800224=67,500 N⋅mm\htmlClass{q-moment}{M_{\text{中央}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^2}{24} = \dfrac{0.5 \times 1{,}800^2}{24} = 67{,}500\ \mathrm{N\cdot mm}

  6. 最大たわみ（中央）

    δmax⁡=w L4384 E I=0.5×1,8004384×206,000×66,353.2=1 mm\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{384\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{0.5 \times 1{,}800^4}{384 \times 206{,}000 \times 66{,}353.2} = 1\ \mathrm{mm}

  7. 同じ荷重で、両端を単純支持にしたときの最大たわみ（比べるため）

    δ単純=5 w L4384 E I=5×0.5×1,8004384×206,000×66,353.2=5 mm\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{単純}}} = \dfrac{5\,\htmlClass{q-force}{w}\,\htmlClass{q-geometry}{L}^4}{384\,\htmlClass{q-material}{E}\,\htmlClass{q-material}{I}} = \dfrac{5 \times 0.5 \times 1{,}800^4}{384 \times 206{,}000 \times 66{,}353.2} = 5\ \mathrm{mm}

  8. たわみの比（両端固定 ÷ 単純支持）

    δmax⁡δ単純=15=15=0.2\dfrac{\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\max}}}{\htmlClass{q-displacement}{\delta_{\text{単純}}}} = \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{5} = 0.2

  9. 最大曲げ応力（固定端の上下の面）

    σmax⁡=M端Z,Z=b h26=135,0004,187=32.25 MPa\htmlClass{q-stress}{\sigma_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M_{\text{端}}}}{\htmlClass{q-material}{Z}},\quad \htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{135{,}000}{4{,}187} = 32.25\ \mathrm{MPa}

図の導出の行は、(1) の高さにしたときの計算です。中央のたわみが、ちょうど 1 mm になっています。

同じ高さなら、両端固定のたわみは単純支持の 1/5 です。たわみは高さの 3 乗に反比例するので、同じたわみでよければ、高さは 5 の 3 乗根（約 1.71）で割って、約 0.585 倍まで減らせます。

高さを 0.585 倍にできると、同じ長さの棒の重さと材料費は、同じ割合で小さくなります。ただし、壁の埋め込みが確実に固定できていることが条件です。