効率で負ける形なのに、圧縮比で勝つディーゼルサイクル

トラックや船は、なぜディーゼル？

高速道路を走る大きなトラックや、港を出入りする船の多くは、ディーゼルエンジンで動いています。燃料は、ガソリンではなく軽油や重油です。

一日中走り続ける車や船では、燃料の熱のうち何割を仕事にできるかが、そのまま燃料代の差になります。ディーゼルエンジンが選ばれるのは、熱効率が高いからです。

ところが、理論の計算で、同じ圧縮比のガソリンエンジン（オットーサイクル）と比べると、意外な答えになります。

予想してから読む同じ圧縮比 10 で比べると、理論の熱効率が高いのは？

Aオットー（ガソリン）B同じCディーゼル

熱の入れ方がちがう

ガソリンエンジンは、混合気を押し縮めてから、火花で一気に燃やしました。オットーサイクル（ガソリンエンジン）の単元では、これを「体積一定のまま熱を入れる」と考えました。

ディーゼルエンジンは、空気だけを押し縮めます。断熱変化の単元で見たとおり、圧縮比 18 なら、押し縮めた空気は 681℃ です。そこへ燃料を霧にして吹き込むと、火花なしで燃え出します。

燃料は、少しずつ吹き込まれ、吹き込んだ順に燃えます。そのあいだに、ピストンは下がり始めます。体積が増えながら熱が入るので、圧力はあまり上がりません。これを「圧力一定のまま熱を入れる」と考えたのが、ディーゼルサイクルです。

燃やすあいだに体積が何倍になったかを締切比 $\sdsRho$ といいます。燃料の吹き込みを締め切ったときの体積 $\sdsVThree$ と、押し縮めきった体積 $\sotVTwo$ の比です。燃料を多く吹くほど、締切比は大きくなります。

家計簿で読む

1周すると空気は元に戻るので、入れた熱は、仕事と捨てた熱に分かれます。オットーサイクルと同じ家計簿です。

$$\underbrace{\sotQin}_{\text{入れた熱}} = \underbrace{\sotW}_{\text{仕事}} + \underbrace{\sotQout}_{\text{捨てた熱}}$$

違うのは、熱を入れるのが圧力一定の変化だということです。等容変化と等圧変化（比熱 cv と cp）の単元で見たとおり、圧力一定では、熱の一部が押しのける仕事になるので、定圧比熱 $\sntCp$ を使います。

この単元のシリンダ（27℃・101 kPa の空気が 500 cc、圧縮比 18・締切比 2）では、次のようになります。

入れた熱は 562 J、捨てた熱は 207 J です。仕事は 562 − 207 ＝ 355 J、熱効率は 63.2% です。

公式はこれ

$$\sntEta = 1 - \dfrac{1}{\sntEps^{\,\sntKappa - 1}} \cdot \dfrac{\sdsRho^{\,\sntKappa} - 1}{\sntKappa\,(\sdsRho - 1)}$$

公式を、かたまりに分けて読む

$$\sntEta = 1 - \underbrace{\dfrac{1}{\sntEps^{\,\sntKappa - 1}}}_{\text{オットーの捨てる割合}} \times \underbrace{\dfrac{\sdsRho^{\,\sntKappa} - 1}{\sntKappa\,(\sdsRho - 1)}}_{\text{締切りの重み}}$$

1. オットーの捨てる割合 $1/\sntEps^{\,\sntKappa - 1}$　オットーサイクルの単元と同じ式です。圧縮比 18 なら 31.5% です。
2. 締切りの重み　締切比 1 のとき 1 で、締切比が大きいほど大きくなります。締切比 2 で 1.17、3 で 1.31。ディーゼルは、オットーより 1.17倍多く捨てます。
3. 残りが仕事　圧縮比 18・締切比 2 では、捨てる割合は 31.5% × 1.17 ＝ 36.8%、熱効率は 63.2% です。

締切りの重みが 1 より大きいのは、あとから入れた熱ほど、ふくらませる長さが短いからです。最後に入れた熱は、体積が 2倍になったところから、ふくらみ始めます。押し縮めた効き目を、全部は使えません。

同じ圧縮比なら、オットーが上

同じ圧縮比 10 で、同じ締切比 2 として比べます。

ディーゼルのほうが 6.8 ポイント低くなります。盤の P-V 線図では、同じ熱を入れたオットーの1周を破線で重ねてあります。オットーは、押し縮めきったところで一気に圧力が上がり、囲んだ面積が大きくなります。

でも、圧縮比を高くできる

ガソリンエンジンは、混合気を押し縮めます。圧縮比を上げすぎると、火花を待たずに混合気が燃え出します（ノッキング）。だから、トヨタの Dynamic Force エンジン（2.5 L）で圧縮比 13 です。

ディーゼルエンジンは、空気だけを押し縮めます。燃料は、押し縮めきってから吹き込みます。燃えるのが早すぎることはないので、圧縮比を高くできます。

圧縮比 15.6 は、トヨタのディーゼルエンジン 1GD-FTV（2.8 L）の値です。トヨタの発表では、このエンジンの最高の熱効率は 44% です。ガソリンの Dynamic Force（40%）より高くなっています。

どの数字がいちばん効く？

初期値（圧縮比 18・締切比 2・27℃・101 kPa・500 cc）から、1つずつ 10% 変えたときの熱効率です。

圧縮比を上げると、熱効率が上がります。締切比を大きくすると、力は増えますが、熱効率は少し下がります。

力を出すほど、熱効率は少し下がる

ガソリンエンジンは、空気の量を絞り弁で変え、それに合わせた燃料を入れて、力を変えます。ディーゼルエンジンは、空気は絞らず、吹き込む燃料の量で力を変えます。燃料を多く吹くと、燃やす時間が長くなり、締切比が大きくなります。

圧縮比 18 のまま、締切比を 2 から 3 にします。

入れる熱は 2倍、仕事は 1.87倍です。熱効率は 4.2 ポイント下がります。あとから吹き込んだ燃料ほど、ふくらませる長さが短いからです。

動かしてみよう

圧縮比 $\sntEps$ を動かしてください。左の上の2本の棒（ディーゼルと、同じ圧縮比のオットー）がそろって伸び縮みします。いちばん下の棒（ガソリンの例、圧縮比 10）は動きません。ディーゼルの棒が、いちばん下の棒を越える圧縮比を探してください。

次に、締切比 $\sdsRho$ を動かしてください。P-V 線図の 2→3 の横の線が伸び、囲んだ面積（仕事）が増えます。この線は左の端にあって短いので、「燃やす所を拡大」を押すと、よく見えます。そのとき、ディーゼルの棒は少し縮みます。

線図の薄い線と面積は、初期値です。「いまの図を残して比べる」を押すと、そのときの線と面積が薄く残り、そのときの答えを基準にして、何倍になったかが出ます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1締切比は 2 のまま、圧縮比 ε を 15.6（トヨタのディーゼルエンジン 1GD-FTV）にする。左の棒で、ガソリンの例と比べる（まだ）
2. 2締切比は 2 のまま、圧縮比 ε を 10（ガソリンエンジンと同じ）にする。左の上の2本の棒を比べる（まだ）
3. 3圧縮比は 18 のまま、締切比 ρ を 3 にする（燃料を多く吹いて、大きな力を出す）。家計簿の帯の割合を見る（まだ）

ε圧縮比−＋

ρ締切比（燃やす間に体積が何倍になるか）−＋

t₁吸い込んだ空気の温度−℃＋

p₁吸い込んだ空気の圧力（絶対）−kPa＋

V₁シリンダの体積（ピストンがいちばん下）−cc＋

範囲線図の範囲

全体燃やす所を拡大

いまの図を残して比べる熱効率は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-geometry}{\eta} = 1 - \dfrac{1}{\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon}^{\,\htmlClass{q-material}{\kappa} - 1}} \cdot \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{\rho}^{\,\htmlClass{q-material}{\kappa}} - 1}{\htmlClass{q-material}{\kappa}\,(\htmlClass{q-geometry}{\rho} - 1)}$$$$= 1 - \dfrac{1}{3.178} \times 1.171$$$$= 63.2\%$$

熱効率

$\htmlClass{q-geometry}{\eta} = 63.2\ \%$

同じ圧縮比のオットーサイクルの熱効率

$\htmlClass{q-geometry}{\eta_{\text{オットー}}} = 68.5\ \%$

入れた熱（1サイクル）

$\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{入}}} = 562\ \mathrm{J}$

1サイクルの仕事

$\htmlClass{q-moment}{W} = 355\ \mathrm{J}$

ほかの値（4 個）

捨てた熱（1サイクル）

$\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{捨}}} = 207\ \mathrm{J}$

押し縮めた空気の温度

$\htmlClass{q-heat}{t_2} = 681\ {}^{\circ}\mathrm{C}$

押し縮めた空気の圧力（絶対）

$\htmlClass{q-stress}{p_2} = 5.78\ \mathrm{MPa}$

燃えた後の最高温度

$\htmlClass{q-heat}{t_3} = 1{,}634\ {}^{\circ}\mathrm{C}$

途中の計算（導出）を見る

1. 1→2 断熱で押し縮めた温度

   $$\htmlClass{q-heat}{T_2} = \htmlClass{q-heat}{T_1}\,\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon}^{\,\htmlClass{q-material}{\kappa} - 1} = 300.15\ \mathrm{K} \times 18^{\,0.4} = 953.8\ \mathrm{K}\ (681\,{}^{\circ}\mathrm{C})$$

2. 2→3 圧力一定で燃やした後の温度（体積が ρ 倍）

   $$\htmlClass{q-heat}{T_3} = \htmlClass{q-heat}{T_2}\,\htmlClass{q-geometry}{\rho} = 953.8 \times 2 = 1{,}908\ \mathrm{K}\ (1{,}634\,{}^{\circ}\mathrm{C})$$

3. 2→3 で入れた熱（圧力一定なので cp）

   $$\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{入}}} = \htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-material}{c_p}\,(\htmlClass{q-heat}{T_3} - \htmlClass{q-heat}{T_2}) = 5.862\times 10^{-4} \times 1{,}004.5 \times 953.8 = 562\ \mathrm{J}$$

4. 4→1 体積一定で捨てた熱

   $$\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{捨}}} = \htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-material}{c_v}\,(\htmlClass{q-heat}{T_4} - \htmlClass{q-heat}{T_1}) = 5.862\times 10^{-4} \times 717.5 \times 492 = 207\ \mathrm{J}$$

5. 1サイクルの仕事（家計簿：入れた熱 − 捨てた熱）

   $$\htmlClass{q-moment}{W} = \htmlClass{q-heat}{Q_{\text{入}}} - \htmlClass{q-heat}{Q_{\text{捨}}} = 561.7 - 206.9 = 355\ \mathrm{J}$$

6. 同じ圧縮比のオットーサイクル（比べる相手）

   $$\htmlClass{q-geometry}{\eta_{\text{オットー}}} = 1 - \dfrac{1}{\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon}^{\,\htmlClass{q-material}{\kappa} - 1}} = 1 - \dfrac{1}{3.178} = 68.5\%$$

7. 熱効率（オットーの捨てる割合に、締切りの重みがかかる）

   $$\htmlClass{q-geometry}{\eta} = 1 - \dfrac{1}{\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon}^{\,\htmlClass{q-material}{\kappa} - 1}} \cdot \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{\rho}^{\,\htmlClass{q-material}{\kappa}} - 1}{\htmlClass{q-material}{\kappa}\,(\htmlClass{q-geometry}{\rho} - 1)} = 1 - \dfrac{1}{3.178} \times 1.171 = 63.2\%$$

よくある勘違い

「ディーゼルサイクルは、オットーサイクルより熱効率が高い」

同じ圧縮比どうしでは、逆です。ディーゼルの熱効率が高いのは、サイクルの形のおかげではなく、圧縮比を高くできるからです。

「燃料を多く入れれば、熱効率も上がる」

オットーサイクルでは、入れる熱を変えても熱効率は変わりませんでした。ディーゼルサイクルでは、燃料を多く吹くと締切比が大きくなり、熱効率は下がります。

「締切比は、燃料の吹き込み口の大きさのこと」

締切比は、燃やしているあいだに体積が何倍になったかです。部品の寸法ではありません。同じエンジンでも、吹き込む燃料の量で変わります。

この公式が使える条件

• 中の気体は空気（理想気体）で、比熱比 $\sntKappa = 1.4$ が一定。燃料の分の質量は入れない
• 押し縮める・ふくらむ変化は、熱の出入りがない（断熱）
• 熱は圧力一定のまま入れ、体積一定のまま捨てる。実物のエンジンでは、燃え始めは体積一定に近く、そのあと圧力一定に近い（両方を組み合わせたサイクルもある）
• 摩擦、すき間からのもれ、吸い込みと排気の仕事は入れない

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

熱の出入り：2→3 は圧力一定なので $\sotQin = \sntM\,\sntCp\,(\sotTThree - \sntTTwo)$、4→1 は体積一定なので $\sotQout = \sntM\,\sntCv\,(\sotTFour - \sntTOne)$。

温度：1→2 は断熱で $\sntTTwo = \sntTOne\,\sntEps^{\,\sntKappa - 1}$。2→3 は圧力一定で体積が $\sdsRho$ 倍なので、状態式から温度も $\sdsRho$ 倍、$\sotTThree = \sntTTwo\,\sdsRho$。

3→4 は断熱で、体積が $\sdsRho\,\sotVTwo$ から $\sntEps\,\sotVTwo$ まで $\sntEps/\sdsRho$ 倍になるので、

$$\sotTFour = \sotTThree \left(\dfrac{\sdsRho}{\sntEps}\right)^{\sntKappa - 1} = \sntTOne\,\sntEps^{\,\sntKappa - 1}\,\sdsRho \cdot \dfrac{\sdsRho^{\,\sntKappa - 1}}{\sntEps^{\,\sntKappa - 1}} = \sntTOne\,\sdsRho^{\,\sntKappa}$$

ふくらみ終わった温度は、圧縮比によらず、締切比だけで決まります。この単元の例では、圧縮比 10 でも 18 でも、捨てる熱は同じ 207 J です。

熱効率：$\sntCp = \sntKappa\,\sntCv$ を使って、

$$\sntEta = 1 - \dfrac{\sotQout}{\sotQin} = 1 - \dfrac{\sntTOne\,(\sdsRho^{\,\sntKappa} - 1)}{\sntKappa\,\sntTOne\,\sntEps^{\,\sntKappa - 1}\,(\sdsRho - 1)} = 1 - \dfrac{1}{\sntEps^{\,\sntKappa - 1}} \cdot \dfrac{\sdsRho^{\,\sntKappa} - 1}{\sntKappa\,(\sdsRho - 1)}$$

確かめる：P-V 線図で 1周して囲んだ面積を数値で足すと、この単元の例では 355 J になり、$\sotQin - \sotQout$ と一致します。