押し縮めるだけで、27℃ が 416℃ に断熱変化

自転車の空気入れは、なぜ熱くなる？

自転車のタイヤに、空気入れで空気を入れます。何十回も続けて押したあと、筒の下のほうを手で握ると、温かくなっています。

ピストンが筒にこすれる熱も少しはあります。でも、おもな理由は、中の空気そのものが温まることです。空気は、勢いよく押し縮めると温度が上がります。

この温まり方を、数字で確かめます。27℃ の空気を、熱が逃げるひまがないほど速く押して、体積を 8分の1 にします。空気の温度は何℃になるでしょうか。

予想してから読む27℃ の空気を、熱が逃げないように体積 1/8 まで押し縮めると、温度は？

A27℃ のままB約 216℃C約 416℃

公式はこれ

熱の出入りが無い変化を断熱変化といいます。体積を 1/$\sntEps$ に押し縮めたときの、終わりの温度と圧力は、

$$\sntTTwo = \sntTOne\,\sntEps^{\,\sntKappa - 1}, \qquad \sntPTwo = \sntPOne\,\sntEps^{\,\sntKappa}$$

温度は $300 \times 8^{0.4} = 300 \times 2.30 = 690\ \mathrm{K}$。℃ に直すと 416℃ です。圧力は $8^{1.4} = 18.4$ 倍の 1.86 MPa です。

式の中の温度は、いつも絶対温度です。27℃ のまま 8 をかけると 216℃ になりますが、これは誤りです。

家計簿で読む

熱と仕事（第一法則） の単元で、エネルギーの勘定を家計簿にたとえました。入ってきたエネルギーは、中にためる分と、外へ出す分に分かれます。

ピストンで空気を押し縮めるとき、入ってくるのは、押し込む仕事 $\sdnWin$ です。これが、中にためる分（内部エネルギーの増え $\sntDU$）と、外へ出す熱 $\sdnQout$ に分かれます。

$$\underbrace{\sdnWin}_{\text{押し込んだ仕事}} = \underbrace{\sntDU}_{\text{温度を上げる分}} + \underbrace{\sdnQout}_{\text{外へ出た熱}}$$

ゆっくり押すと、空気は筒の壁を通して、熱を外へ出します。押し込んだ仕事と同じだけ熱を出すと、ためる分は 0 で、温度は変わりません。これが等温変化です。

速く押すと、熱が出ていくひまがありません。熱の出口が無いので、押し込んだ仕事は全部、ためる側に入ります。空気の内部エネルギーは温度で決まるので、温度が上がります。

この単元の空気（27℃・101 kPa・500 cc）を、断熱で 1/8 に押し縮めると、押し込む仕事は 164 J です。そのまま 164 J が温度を上げる分になり、外へ出る熱は 0 J です。等温で押したときの仕事は 105 J で、全部が熱として出ていきます。

温度が上がると、圧力はもっと上がる

等温なら、体積 1/8 で圧力は 8倍でした。断熱では 18.4倍です。差はどこから来るのでしょうか。

状態式 $pV = mRT$ で考えます。圧力は、体積に反比例し、絶対温度に比例します。

$$\dfrac{\sntPTwo}{\sntPOne} = \underbrace{\dfrac{\sntVOne}{V_2}}_{\text{体積 1/8 で}\ 8\ \text{倍}} \times \underbrace{\dfrac{\sntTTwo}{\sntTOne}}_{\text{温度で}\ 2.30\ \text{倍}} = 8 \times 2.30 = 18.4$$

押し縮めた分で 8倍、熱くなった分で、さらに 2.30倍です。熱くなった空気は、同じ体積でも強く押し返します。だから、断熱で押すほうが重く、押し込む仕事も大きくなります（164 J と 105 J）。

公式を、かたまりに分けて読む

$$\sntTTwo = \underbrace{\sntTOne}_{\text{初めの絶対温度}} \times \underbrace{\sntEps^{\,\sntKappa - 1}}_{\text{押し縮めた効き目}}$$

1. 初めの絶対温度 $\sntTOne$　終わりの温度は、初めの絶対温度に比例します。冷たい空気から始めれば、終わりも低くなります。
2. 押し縮めた効き目 $\sntEps^{\,\sntKappa - 1}$　空気では指数が 0.4 です。圧縮比 8 で 2.30倍、16 で 3.03倍、18 で 3.18倍。圧縮比を 2倍にしても、温度は 2倍にはなりません。

指数の 0.4 は、$\sntKappa - 1 = \sntR/\sntCv = 287/717.5$ です。押し込んだ仕事のうち、どれだけが温度に回るかを決める数です（導き方は下の「式の導き方」）。

どの数字がいちばん効く？

初期値（27℃・101 kPa・500 cc を 1/8 に断熱）から、1つずつ変えたときの、終わりの温度の変化です。

10% 変えたときは、初めの温度のほうがよく効きます。圧縮比は 0.4乗で効くからです。圧力と体積は、温度には効きません。

ディーゼルエンジンに戻る

ディーゼルエンジンは、空気だけを吸い込んで、強く押し縮めます。たとえば、トヨタのディーゼルエンジン 1GD-FTV の圧縮比は 15.6 です。27℃ の空気なら、押し縮めた後は 628℃ になります。

そこへ軽油を霧にして吹き込みます。軽油が火花なしで燃え出す温度（自然発火点）は、石油会社の安全データシートで約 240℃ です。628℃ の空気の中では、軽油は自分で燃え出します。だから、ディーゼルエンジンには点火プラグがありません。

ガソリンエンジンは、点火プラグの火花で、決まった瞬間に燃やします。押し縮めただけで勝手に燃え出すと困るので、圧縮比はディーゼルより低くします。トヨタの Dynamic Force エンジン（2.5 L）で 13 です。

ピストンの位置とクランクの角度の関係は、機構学の ピストンクランク機構 の単元で扱いました。

実際の圧縮機は、等温と断熱の間

工場の空気圧縮機は、筒の外側をひれや水で冷やしながら押します。熱が少し逃げるので、温度の上がり方は断熱より小さく、等温よりは大きくなります。

この間の変化は、$pV^{\,\sntN}$ ＝ 一定（指数 $\sntN$）で表せます。$\sntN = 1$ が等温、$\sntN = \sntKappa = 1.4$ が断熱です。水で冷やす往復式の圧縮機では、$\sntN$ は 1.3 くらいです（目安）。

20℃ の空気を、圧力 8倍まで押し縮めます。圧力の比が決まっているときは、$T_2 = T_1\,(p_2/p_1)^{(n-1)/n}$ を使います。

$\sntN = 1.3$ のとき、押し込んだ仕事のうち、ちょうど 4分の1 が熱として外へ出ます。割合は $(\sntKappa - \sntN)/(\sntKappa - 1) = 0.1/0.4$ で、圧縮比にはよりません。

動かしてみよう

右の P-V 線図は、横が体積、縦が圧力で、線の下の面積が仕事です（読み方は 等容変化と等圧変化（比熱 cv と cp） の単元）。同じだけ押し縮めても、断熱の線は等温の線より上を通ります。面積が大きいぶん、押し込む仕事も多くなります。

圧縮比 $\sntEps$ のスライダーを右へ動かしてください。ピストンが左へ進み、気体の色が濃くなります。温度計の柱が、軽油が燃え出す目安の線を越えます。P-V 線図では、断熱の線が、破線の等温の線から離れて立ち上がります。

次に、指数 $\sntN$ を 1.4 から下げてください。筒から熱の矢印が出て、下の家計簿の帯に、外へ出た熱（黄土）の分が現れます。$\sntN = 1$ で、帯は全部が熱になります。

線図の薄い線と面積は、初期値です。「いまの図を残して比べる」を押すと、そのときの線と面積が薄く残り、そのときの答えを基準にして、何倍になったかが出ます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1断熱のまま（n ＝ 1.4）、圧縮比 ε を 16 にする（実物のディーゼルエンジンに近い値）（まだ）
2. 2圧縮比は 8 のまま、指数 n を 1（等温）にする（まだ）
3. 3圧縮比は 8 のまま、指数 n を 1.3（少し熱が逃げる、実際の圧縮機）にする（まだ）

ε圧縮比−＋

n変化の指数（1 で等温・κ で断熱）−＋

t₁初めの温度−℃＋

p₁初めの圧力（絶対）−kPa＋

V₁初めの体積−cc＋

いまの図を残して比べる終わりの温度（絶対温度）は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-heat}{T_2} = \htmlClass{q-heat}{T_1}\,\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon}^{\,\htmlClass{q-material}{n} - 1}$$$$= 300.15\ \mathrm{K} \times 8^{\,0.4}$$$$= 689.6\ \mathrm{K}\ (416.4\,{}^{\circ}\mathrm{C})$$

終わりの温度（絶対温度）

$\htmlClass{q-heat}{T_2} = 689.6\ \mathrm{K}$

終わりの温度

$\htmlClass{q-heat}{t_2} = 416.4\ {}^{\circ}\mathrm{C}$

終わりの圧力（絶対）

$\htmlClass{q-stress}{p_2} = 1.86\ \mathrm{MPa}$

押し込む仕事（気体がされた仕事）

$\htmlClass{q-moment}{W} = 164\ \mathrm{J}$

ほかの値（4 個）

圧力が何倍になったか

$\htmlClass{q-stress}{p_2/p_1} = 18.4\$

等温なら、終わりの圧力

$\htmlClass{q-stress}{p_{2,\text{等温}}} = 0.808\ \mathrm{MPa}$

内部エネルギーの増え

$\htmlClass{q-moment}{\Delta U} = 164\ \mathrm{J}$

外へ出た熱

$\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{出}}} = 0\ \mathrm{J}$

途中の計算（導出）を見る

1. 中の空気の質量（状態式 pV ＝ mRT から）

   $$\htmlClass{q-material}{m} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{p_1}\,\htmlClass{q-displacement}{V_1}}{\htmlClass{q-material}{R}\,\htmlClass{q-heat}{T_1}} = \dfrac{101{,}000\ \mathrm{Pa} \times 5\times 10^{-4}\ \mathrm{m^3}}{287 \times 300.15\ \mathrm{K}} = 0.586\ \mathrm{g}$$

2. 終わりの圧力（pVⁿ が一定）

   $$\htmlClass{q-stress}{p_2} = \htmlClass{q-stress}{p_1}\,\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon}^{\,\htmlClass{q-material}{n}} = 101\ \mathrm{kPa} \times 8^{\,1.4} = 1.86\ \mathrm{MPa}\ (18.4\ \text{倍})$$

3. 等温（n ＝ 1）だったときの圧力（比べる相手）

   $$\htmlClass{q-stress}{p_{2,\text{等温}}} = \htmlClass{q-stress}{p_1}\,\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon} = 101\ \mathrm{kPa} \times 8 = 0.808\ \mathrm{MPa}$$

4. 終わりの温度（絶対温度で計算し、℃ に戻す）

   $$\htmlClass{q-heat}{T_2} = \htmlClass{q-heat}{T_1}\,\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon}^{\,\htmlClass{q-material}{n} - 1} = 300.15\ \mathrm{K} \times 8^{\,0.4} = 689.6\ \mathrm{K}\ (416.4\,{}^{\circ}\mathrm{C})$$

5. 押し込む仕事（P-V 線図の、線の下の面積）

   $$\htmlClass{q-moment}{W} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{p_2}\,\htmlClass{q-displacement}{V_2} - \htmlClass{q-stress}{p_1}\,\htmlClass{q-displacement}{V_1}}{\htmlClass{q-material}{n} - 1} = \dfrac{116 - 50.5}{0.4}\ \mathrm{J} = 164\ \mathrm{J}$$

6. 内部エネルギーの増え（温度が上がった分）

   $$\htmlClass{q-moment}{\Delta U} = \htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-material}{c_v}\,(\htmlClass{q-heat}{T_2} - \htmlClass{q-heat}{T_1}) = 5.862\times 10^{-4} \times 717.5 \times 389.4 = 164\ \mathrm{J}$$

7. 外へ出た熱（家計簿：押し込んだ仕事 − ためた分）

   $$\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{出}}} = \htmlClass{q-moment}{W} - \htmlClass{q-moment}{\Delta U} = 163.8 - 163.8 = 0\ \mathrm{J}$$

よくある勘違い

「温度も、体積の比どおりに 8倍になる」

温度の比は、℃ ではなく絶対温度でとります。それに、断熱で上がるのは 8倍ではなく $8^{0.4} = 2.30$ 倍です。

「断熱だから、温度は変わらない」

逆です。「断熱」は、熱の出入りが無いという意味です。熱が出ていかないから、押し込んだ仕事が全部たまって、温度が上がります。温度が変わらないのは、熱が出ていく等温変化のほうです。

「熱を入れていないのに、温度が上がるのはおかしい」

温度を上げるのは、熱だけではありません。仕事でも上がります。家計簿で入ってきたのは、熱ではなく、ピストンが押し込んだ仕事です。

反対に、断熱でふくらむと、気体は外へ仕事をして、温度が下がります。炭酸飲料のふたを開けたとき、口に白いもやができるのは、ふくらんだ気体が冷えて、中の水蒸気が細かい水の粒になるからです。

この公式が使える条件

• 熱の出入りが無い（速く押す・断熱材で包む）。熱が少し逃げるときは、$\sntN$ を 1.4 より小さくした $pV^{\,\sntN}$ ＝ 一定で近似する
• 気体は理想気体（空気・常温〜1000 K くらい）。$\sntKappa = 1.4$ を一定とする（高温では少し小さくなる）
• 押し縮める途中も、筒の中の圧力・温度はどこも同じ（ピストンの速さが音の速さよりずっと遅い）
• すき間から空気がもれない。ピストンの摩擦の熱は入れない

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

家計簿を、少し押すごとに書く：ピストンをわずかに押して、体積が $dV$（押し縮めるので負）だけ変わったとします。押し込んだ仕事は $-p\,dV$ です。断熱なので、これが全部、内部エネルギーの増え $\sntM\,\sntCv\,dT$ になります。

$$\sntM\,\sntCv\,dT = -p\,dV$$

状態式 $p = \sntM \sntR T / V$ を入れ、両辺を $\sntM\,\sntCv\,T$ で割ると、$\sntM$ が消えます。

$$\dfrac{dT}{T} = -\dfrac{\sntR}{\sntCv}\,\dfrac{dV}{V} = -(\sntKappa - 1)\,\dfrac{dV}{V}$$

ここで $\sntR/\sntCv = (c_p - c_v)/c_v = \sntKappa - 1$ を使いました。両辺を足し合わせる（積分する）と、$\ln T = -(\sntKappa - 1)\ln V$ ＋ 一定、つまり

$$T\,V^{\,\sntKappa - 1} = \text{一定} \qquad\Longrightarrow\qquad \sntTTwo = \sntTOne \left(\dfrac{\sntVOne}{V_2}\right)^{\sntKappa - 1} = \sntTOne\,\sntEps^{\,\sntKappa - 1}$$

圧力：$T = pV/(\sntM\sntR)$ を入れると $pV \cdot V^{\,\sntKappa - 1} = pV^{\,\sntKappa}$ が一定になり、$\sntPTwo = \sntPOne\,\sntEps^{\,\sntKappa}$ です。

押し込む仕事：P-V 線図の線の下の面積 $-\int p\,dV$ を $pV^{\,\sntN}$ ＝ 一定で計算すると、$\sdnWin = (\sntPTwo V_2 - \sntPOne \sntVOne)/(\sntN - 1)$。断熱（$\sntN = \sntKappa$）では、これが $\sntM\,\sntCv\,(\sntTTwo - \sntTOne)$ とちょうど等しくなります。この単元の空気では、どちらも 164 J です。

外へ出る熱の割合：$\sdnWin = \sntM\sntR\,\Delta T/(\sntN - 1)$、$\sntDU = \sntM\sntR\,\Delta T/(\sntKappa - 1)$ なので、$\sdnQout/\sdnWin = 1 - (\sntN - 1)/(\sntKappa - 1) = (\sntKappa - \sntN)/(\sntKappa - 1)$ です。