同じ 80 K 上げるのに、熱は 1.4倍いる等容変化と等圧変化（比熱 cv と cp）

同じ 80 K 上げるのに、熱の量が違う？

ドライヤーは、吸い込んだ部屋の空気を、中の電熱線で温めて吹き出します。温まった空気は、前にある空気を押しのけながら進みます。

同じ空気を、ふたを閉めた缶に入れて温めることもできます。缶はふくらまないので、空気は周りを押しのけません。

空気 1 kg を 20℃ から 100℃ に、80 K 上げます。閉じた缶なら、要る熱は 57.4 kJ です。ピストンが自由に動ける筒で、圧力を変えずに温めると、熱はいくら要るでしょうか。

予想してから読む空気 1 kg を 80 K 上げる熱。閉じた缶では 57.4 kJ。ピストンが動ける筒（圧力一定）では？

A57.4 kJ（同じ）B80.4 kJ（1.4倍）C41.0 kJ（1.4分の1）

公式はこれ

体積を変えずに温める変化を等容変化、圧力を変えずに温める変化を等圧変化といいます。1 kg を 1 K 上げる熱を比熱といい、体積一定のときを定容比熱 $\sntCv$、圧力一定のときを定圧比熱 $\sntCp$ とよびます。

$$\shnQv = \sntM\,\sntCv\,\shnDT, \qquad \shnQp = \sntM\,\sntCp\,\shnDT$$

閉じた缶では $1 \times 718 \times 80 = 57.4\ \mathrm{kJ}$、ピストンが動く筒では $1 \times 1005 \times 80 = 80.4\ \mathrm{kJ}$ です。比は $\sntCp/\sntCv = 1.4$ で、これを比熱比 $\sntKappa$ とよびます。

温度差は、℃ でも K でも同じ数です。20℃ から 100℃ は、80 K の差です。

家計簿で読む

熱と仕事（第一法則） の単元で、エネルギーの勘定を家計簿にたとえました。

ここで入ってくるのは、熱です。中にためる分は、温度を上げる分（内部エネルギーの増え $\sntDU$）。外へ出す分は、周りを押しのける仕事 $\shnW$ です。

$$\underbrace{Q}_{\text{入れた熱}} = \underbrace{\sntDU}_{\text{温度を上げる分}} + \underbrace{\shnW}_{\text{押しのける仕事}}$$

閉じた缶では、空気は周りを押しのけません。仕事は 0 なので、入れた 57.4 kJ が全部、温度を上げる分になります。

ピストンが動く筒でも、温度を 80 K 上げる分は同じ 57.4 kJ です。空気の内部エネルギーは、温度だけで決まるからです。そのうえ、ふくらんでピストンを押しのける 23.0 kJ を払います。合わせて 80.4 kJ です。

差の 23.0 kJ は、押しのける仕事

等圧で温めると、空気はふくらみます。1 kg の空気（20℃・101 kPa）は 833 L で、100℃ では 1060 L になります。227 L ふくらみました。

ピストンを一定の圧力で押しながら動かした仕事は、圧力 × 体積の増えです。

$$\shnW = \sntPOne\,(\shnVTwop - \sntVOne) = 101\ \mathrm{kPa} \times 0.227\ \mathrm{m^3} = 23.0\ \mathrm{kJ}$$

この仕事は、図でも読めます。圧力と体積の変わり方を描いた図を、P-V 線図と呼びます。

等圧の横の線の下の長方形の面積が、この仕事です。閉じた缶の線は縦にまっすぐ上がるだけで、下に面積がありません。

状態式 $pV = mRT$ を使うと、$p\,\Delta V = m R\,\Delta T$ と書き直せます。

$$\shnW = \sntM\,\sntR\,\shnDT = 1 \times 287 \times 80 = 23.0\ \mathrm{kJ}$$

この式に、圧力は入っていません。圧力を 2倍にすると、ふくらむ量が半分になって、仕事は同じです。

公式を、かたまりに分けて読む

$$\shnQp = \underbrace{\sntM}_{\text{温める量}} \times \underbrace{(\sntCv + \sntR)}_{\text{1 kg・1 K あたり}} \times \underbrace{\shnDT}_{\text{上げる温度}}$$

1. 温める量 $\sntM$　空気が 2倍あれば、熱も 2倍です。
2. 1 kg・1 K あたり $\sntCp = \sntCv + \sntR$　温度を上げる分 718 に、押しのける分 287 を足して 1005 J/(kg·K)。$\sntR$ は状態式に出てくる気体定数そのものです。
3. 上げる温度 $\shnDT$　熱は温度差に比例します。初めが何℃かにはよりません。

比熱比 $\sntKappa = \sntCp/\sntCv = 1005/718 = 1.4$ は、あとの断熱変化で、温度の上がり方を決める数として出てきます。

どの数字がいちばん効く？

初期値（空気 1 kg・20℃・101 kPa を 80 K 温める）から、1つずつ 10% 変えたときです。

熱と仕事に効くのは、質量と温度差だけです。圧力を上げると、ふくらむ量が減り、その分だけ押す力が大きくなるので、仕事は同じになります。

ドライヤーに戻る

ドライヤーの中では、空気が流れ続けています。電熱線のところで温まった空気は、前にいる空気を押しのけながら出ていきます。圧力はほとんど大気圧のままなので、等圧で温まります。要る熱は $\sntCp$ で決まります。

1200 W のドライヤーは、毎秒 1200 J の熱を出します。毎秒 0.02 kg の空気（20℃ で 1分に約 1 m³）を通すと、空気の上がる温度は、

$$\shnDT = \dfrac{1200\ \mathrm{W}}{0.02\ \mathrm{kg/s} \times 1005\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}} = 59.7\ \mathrm{K}$$

約 60 K です。20℃ の空気が、80℃ くらいで出てきます。

製品では、たとえばパナソニックのドライヤー EH-NA0J は、消費電力 1200 W、風量 1分に 1.6 m³（強）です。この風量なら、空気は平均で約 37 K 上がる計算です。風量が多いほど、同じ電力で上がる温度は小さくなります。

流れる物が運ぶエネルギー（内部エネルギーに、押しのける分を足したもの）をエンタルピーとよびます。流れを温めるときに $\sntCp$ を使うのは、このためです。くわしくは、あとの冷凍サイクルの単元で使います。

動かしてみよう

温度差 $\shnDT$ のスライダーを動かしてください。上の閉じた缶では圧力が、下の筒ではピストンが動いて体積が増えます。下の家計簿の帯は、長さが熱の量です。等圧の帯だけ、押しのける仕事（濃い紫）の分が長くなります。

次に、圧力 $\sntPOne$ を動かしてください。P-V 線図の長方形は、背が高くなって幅がせまくなります。面積（仕事）は変わりません。

線図の薄い線と面積は、初期値です。「いまの図を残して比べる」を押すと、そのときの線と面積が薄く残り、そのときの答えを基準にして、何倍になったかが出ます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1温度差 ΔT を 2倍の 160 K にする。ピストンと線図の点 2′ が一緒に右へ動きます。2本の帯の長さと「熱の比」も見る（まだ）
2. 2温度差は 80 K のまま、初めの圧力 p₁ を 2倍の 202 kPa にして、押しのける仕事を見る（まだ）
3. 3空気を、ドライヤーが1秒に通す量の 0.02 kg にして、温度差を 60 K にする。等圧の熱の数字を見る（まだ）

ΔT温める温度差−K＋

m気体の質量−kg＋

t₁初めの温度−℃＋

p₁初めの圧力（絶対）−kPa＋

いまの図を残して比べる押しのけながら（等圧）入れる熱は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-moment}{W} = \htmlClass{q-stress}{p_1}\,(\htmlClass{q-displacement}{V_2} - \htmlClass{q-displacement}{V_1}) = \htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-material}{R}\,\htmlClass{q-heat}{\Delta T}$$$$= 101\ \mathrm{kPa} \times (1{,}060 - 833)\ \mathrm{L}$$$$= 23\ \mathrm{kJ}$$

押しのけながら（等圧）入れる熱

$\htmlClass{q-heat}{Q_p} = 80.4\ \mathrm{kJ}$

閉じた缶（等容）で入れる熱

$\htmlClass{q-heat}{Q_v} = 57.4\ \mathrm{kJ}$

押しのける仕事（等圧）

$\htmlClass{q-moment}{W} = 23\ \mathrm{kJ}$

熱の比（等圧 ÷ 等容）

$\htmlClass{q-material}{Q_p/Q_v} = 1.4\$

ほかの値（4 個）

終わりの温度

$\htmlClass{q-heat}{t_2} = 100\ {}^{\circ}\mathrm{C}$

等容の終わりの圧力（絶対）

$\htmlClass{q-stress}{p_2} = 128.6\ \mathrm{kPa}$

初めの体積

$\htmlClass{q-displacement}{V_1} = 833\ \mathrm{L}$

等圧の終わりの体積

$\htmlClass{q-displacement}{V_2} = 1{,}060\ \mathrm{L}$

途中の計算（導出）を見る

1. 閉じた缶（等容）で温める熱

   $$\htmlClass{q-heat}{Q_v} = \htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-material}{c_v}\,\htmlClass{q-heat}{\Delta T} = 1\ \mathrm{kg} \times 717.5\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} \times 80\ \mathrm{K} = 57.4\ \mathrm{kJ}$$

2. 押しのけながら（等圧）温める熱

   $$\htmlClass{q-heat}{Q_p} = \htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-material}{c_p}\,\htmlClass{q-heat}{\Delta T} = 1\ \mathrm{kg} \times 1{,}004.5\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} \times 80\ \mathrm{K} = 80.4\ \mathrm{kJ}$$

3. 差は、押しのける仕事（圧力 × 体積の増え）

   $$\htmlClass{q-moment}{W} = \htmlClass{q-stress}{p_1}\,(\htmlClass{q-displacement}{V_2} - \htmlClass{q-displacement}{V_1}) = \htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-material}{R}\,\htmlClass{q-heat}{\Delta T} = 101\ \mathrm{kPa} \times (1{,}060 - 833)\ \mathrm{L} = 23\ \mathrm{kJ}$$

4. 熱の比（等圧 ÷ 等容）＝ 比熱比

   $$\dfrac{\htmlClass{q-heat}{Q_p}}{\htmlClass{q-heat}{Q_v}} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{c_p}}{\htmlClass{q-material}{c_v}} = \htmlClass{q-material}{\kappa} = \dfrac{1{,}004.5}{717.5} = 1.4\ \text{倍}$$

5. 等容の終わりの圧力（絶対温度に比例）

   $$\htmlClass{q-stress}{p_2} = \htmlClass{q-stress}{p_1}\,\dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_2}}{\htmlClass{q-heat}{T_1}} = 101\ \mathrm{kPa} \times \dfrac{373.15}{293.15} = 128.6\ \mathrm{kPa}$$

6. 等圧の終わりの体積（絶対温度に比例）

   $$\htmlClass{q-displacement}{V_2} = \htmlClass{q-displacement}{V_1}\,\dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_2}}{\htmlClass{q-heat}{T_1}} = 833\ \mathrm{L} \times \dfrac{373.15}{293.15} = 1{,}060\ \mathrm{L}$$

よくある勘違い

「比熱は、物ごとに1つの値」

液体や固体では、温めてもほとんどふくらまないので、比熱は1つと考えてかまいません。気体は温めると大きくふくらむので、ふくらませるかどうかで、要る熱が変わります。

「部屋は閉じているから、部屋の暖房は等容」

部屋には、すき間があります。温まった空気はふくらみ、すき間から少しずつ外へ出ます。部屋の圧力は大気圧のままなので、等圧です。

「ふくらむほど、押しのける仕事は大きい」

仕事は、圧力 × 体積の増えです。低い圧力で大きくふくらむのと、高い圧力で少しふくらむのは、同じ仕事になることがあります。空気を同じ温度差だけ温めるなら、圧力によらず $\sntM\,\sntR\,\shnDT$ です。

この公式が使える条件

• 気体は理想気体（空気・常温〜数百℃）。$\sntCv$・$\sntCp$ を一定とする（高温では少し大きくなる）
• 等容：体積が少しも変わらない（缶やボトルがふくらまない）
• 等圧：温める途中も、圧力が一定（ピストンがゆっくり動く・流れの圧力がほとんど変わらない）
• 空気が出入りしない（ドライヤーや部屋では、温める空気の同じかたまりを追いかけて考える）
• 入れた熱が全部、空気に入る（缶・筒・ドライヤーの部品が受け取る熱は入れない）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

等容：体積が変わらないので、外への仕事 $p\,\Delta V$ は 0 です。家計簿は $Q = \sntDU$ になります。1 kg・1 K あたりで書いたものが $\sntCv$ なので、$\shnQv = \sntDU = \sntM\,\sntCv\,\shnDT$。

等圧：家計簿は $Q = \sntDU + p\,\Delta V$ です。理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まるので、$\sntDU$ は等容と同じ $\sntM\,\sntCv\,\shnDT$ です。

状態式を、温める前と後で書きます。圧力 $p$ は同じです。

$$p\,V_1 = \sntM \sntR\,T_1, \qquad p\,V_2 = \sntM \sntR\,T_2$$

下の式から上の式を引くと、$p\,(V_2 - V_1) = \sntM\,\sntR\,(T_2 - T_1)$、つまり $p\,\Delta V = \sntM\,\sntR\,\shnDT$ です。家計簿に入れると、

$$\shnQp = \sntM\,\sntCv\,\shnDT + \sntM\,\sntR\,\shnDT = \sntM\,(\sntCv + \sntR)\,\shnDT$$

1 kg・1 K あたりで書いたものが $\sntCp$ なので、$\sntCp = \sntCv + \sntR$ です（マイヤーの関係）。空気では $718 + 287 = 1005$ J/(kg·K)。

比熱比：$\sntKappa = \sntCp/\sntCv = 1 + \sntR/\sntCv$。空気では 1.4 です。等圧の熱のうち、仕事になる割合は $\sntR/\sntCp = 287/1005 = 0.286$（7分の2）で、温度差にも質量にもよりません。