熱効率は、圧縮比だけで決まるオットーサイクル（ガソリンエンジン）

車のエンジンは、燃料の何割を仕事にしている？

車のボンネットを開けると、エンジンがあります。中では、ガソリンと空気を混ぜた気体（混合気）を、ピストンで押し縮めて燃やしています。燃えて熱くなった気体がピストンを押し、その力で車が走ります。

ガソリンを燃やして出た熱が、全部ピストンを押す仕事になるわけではありません。車の後ろの排気の管からは熱いガスが出ますし、エンジンを冷やす水（冷却水）も熱くなります。

では、最新の量産エンジンでは、燃料の熱のうち、何割が仕事になっているでしょうか。

予想してから読む最新の量産ガソリンエンジンで、燃料の熱のうち仕事になる割合は、いちばんよい条件で？

A約 20%B約 40%C約 80%

この単元では、まず「理論の上限」を計算します。そのうえで、実物の 40% と比べます。

4つの変化で1周する

エンジンの中の気体は、ピストンが1往復するあいだに、押し縮められ、燃えて、ふくらみ、外へ出ていきます。これを、空気だけが入った閉じたシリンダの4つの変化に置きかえて考えます。これをオットーサイクルといいます。

2→3 を「体積一定」とするのは、燃えるのがとても速く、そのあいだにピストンがほとんど動かないからです。

下の盤で、ピストンの動きと、圧力と体積の線図（P-V 線図）を見比べてください。ピストンが上がりきったところで圧力が跳ね上がり、下がるあいだに気体が仕事をします。ピストンを上下させているのは、ピストンクランク機構の単元の機構です。

動くエンジンピストンの動きと、線図の上の点が同じ時刻で進みます。行程を選ぶか、クランクを手で回してください初期値に戻す

行程吸気圧縮（1→2）点火（2→3）膨張（3→4）排気弁が開く（4→1）排気

❚❚ 止めるゆっくりふつう実物の 3,000 rpm は、1サイクル（2回転）で 0.04 秒。ここでは約10秒に延ばしています

圧縮（1→2）弁は両方閉じる。断熱で押し縮められ、圧力も温度も上がる

クランクを手で回す1回転目・250°

圧縮比 ε ＝ 10

614

1サイクルに入れる熱 Q入 ＝ 700 J

3001,200

圧縮比を上げると、上死点のすき間がせまくなり、線図は左上へ伸びます。熱を増やすと、点火の跳ね上がりが高くなります。

いまの状態

体積

386 cc

圧力（絶対）

0.145 MPa

温度

59.8 ℃

1サイクルでは

熱効率（理論）

60.2 %

取り出す仕事 W

421 J

3,000 rpm での出力

10.5 kW

出力 ＝ 仕事 W × 1秒あたりの燃える回数。4行程は2回転に1回だけ燃えるので、3,000 rpm なら毎秒 25 回です。

理論のサイクル（空気だけ・比熱一定・摩擦と熱の逃げなし）をそのまま動かしています。点火と排気弁が開く瞬間は、実物ではごく短い時間ですが、見えるようにクランクを止めて描いています（40° ぶんの長さ）。 吸う空気は 27℃・101 kPa・500 cc、連接棒の長さはクランクの半径の 3 倍。実物の出力は、この理論値の6割ほどです。

1→2 と 3→4 は、断熱変化の単元で計算した変化です。押し縮めると、温度は $\sntEps^{\,0.4}$ 倍に上がりました。ふくらむときは、同じ比で下がります。

家計簿で読む

熱と仕事（第一法則）の単元で、エネルギーの勘定を家計簿にたとえました。

1周すると、空気は元の温度・圧力・体積に戻ります。中にためた分（内部エネルギーの増え）は、1周で 0 です。だから、入れた熱は、仕事と捨てた熱の2つに分かれるだけです。

$$\underbrace{\sotQin}_{\text{入れた熱}} = \underbrace{\sotW}_{\text{仕事}} + \underbrace{\sotQout}_{\text{捨てた熱}}$$

入れた熱のうち、仕事になった割合を熱効率 $\sntEta$ といいます。

$$\sntEta = \dfrac{\sotW}{\sotQin} = 1 - \dfrac{\sotQout}{\sotQin}$$

この単元のシリンダ（27℃・101 kPa の空気が 500 cc、圧縮比 10）に、1サイクルで 700 J の熱を入れます。

4→1 で捨てる熱は 279 J です。仕事は 700 − 279 ＝ 421 J、熱効率は 421 ÷ 700 ＝ 60.2% です。

熱効率は、圧縮比だけで決まる

捨てる熱と入れる熱は、どちらも体積一定の変化なので、温度の差に比例します。

$$\dfrac{\sotQout}{\sotQin} = \dfrac{\sntM\,\sntCv\,(\sotTFour - \sntTOne)}{\sntM\,\sntCv\,(\sotTThree - \sntTTwo)} = \dfrac{\sotTFour - \sntTOne}{\sotTThree - \sntTTwo}$$

ここで、1→2 も 3→4 も、温度の比は同じ $\sntEps^{\,\sntKappa - 1}$ です。上の例なら、754 ÷ 300 も 2418 ÷ 963 も 2.51 です。だから、$\sntTTwo$ と $\sotTThree$ は、$\sntTOne$ と $\sotTFour$ を 2.51倍した値です。差も 2.51倍になります。

$$\sntEta = 1 - \dfrac{1}{\sntEps^{\,\sntKappa - 1}}$$

入れる熱 $\sotQin$ も、吸い込む空気の温度も、式に出てきません。熱を 2倍入れれば、仕事も捨てる熱も 2倍になり、割合は変わりません。

公式を、かたまりに分けて読む

$$\sntEta = 1 - \underbrace{\dfrac{1}{\sntEps^{\,\sntKappa - 1}}}_{\text{捨てる割合}}$$

1. 押し縮めた効き目 $\sntEps^{\,\sntKappa - 1}$　断熱変化の単元で、押し縮めると温度が上がる倍率として出てきた数です。圧縮比 10 で 2.51倍。
2. 捨てる割合 $1/\sntEps^{\,\sntKappa - 1}$　ふくらみ終わっても、気体は吸い込んだときより熱いまま出ていきます。その分が、捨てる熱です。圧縮比 10 では、入れた熱の 39.8% を捨てます。
3. 残りが仕事　1 から捨てる割合を引いた 60.2% が、仕事になります。

よく押し縮めるほど、燃えた後に長くふくらませることができ、温度を下げてから捨てられます。これが、圧縮比で熱効率が上がる理由です。

どの数字がいちばん効く？

初期値（圧縮比 10・入れる熱 700 J・27℃・101 kPa・500 cc）から、1つずつ 10% 変えたときの熱効率です。

熱効率を動かすのは、圧縮比だけです。ほかの数は、仕事の大きさ（エンジンの力）や、温度・圧力の高さを変えます。

圧縮比を上げても、伸びは小さくなる

圧縮比を変えたときの、理論の熱効率です。

5 → 10 で +12.7 ポイント、10 → 20 で +9.6 ポイントです。同じ 2倍でも、上がり方は小さくなっていきます。捨てる割合 $1/\sntEps^{\,0.4}$ は、圧縮比を 2倍にするたびに $1/2^{0.4} = 0.758$ 倍になるだけで、0 にはならないからです。

それに、ガソリンエンジンには、圧縮比を上げすぎると困ることがあります。火花から燃え広がるのを待たずに、押し縮められて熱くなった、まだ燃えていない混合気が、自分で燃え出してしまうのです。これをノッキングといい、エンジンをたたくような音が出て、エンジンをいためます。

実物のエンジンは、理論の 6割ほど

トヨタの Dynamic Force エンジン（2.5 L）は、圧縮比 13 です。トヨタの発表では、最高の熱効率は 40% です（ハイブリッド車用は、圧縮比 14 で 41%）。

圧縮比 13 の理論の熱効率は 64.2% です。実物の 40% は、その 6割ほどです。差になるのは、たとえば次のものです。

• 燃えた気体の熱が、シリンダの壁から冷却水へ逃げる
• ピストンやクランクの摩擦
• 排気を押し出し、新しい空気を吸い込むための仕事
• 燃えるのに時間がかかり、体積一定では燃えきらない

エンジンを設計する人は、理論の上限を上げる（圧縮比を上げる）ことと、理論との差を小さくする（熱を逃がさない・摩擦を減らす）ことの両方に取り組んでいます。

動かしてみよう

圧縮比 $\sntEps$ のスライダーを右へ動かしてください。左の曲線の上で点が上がり、右の P-V 線図では、押し縮めた体積がせまくなって、1周の形が縦に伸びます。

次に、入れる熱 $\sotQin$ を動かしてください。線図の 2→3 の縦の線が伸び縮みし、囲んだ面積（仕事）が変わります。でも、左の曲線の上の点と、家計簿の帯の割合は動きません。

線図の薄い線と面積は、初期値です。「いまの図を残して比べる」を押すと、そのときの線と面積が薄く残り、そのときの答えを基準にして、何倍になったかが出ます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1圧縮比は 10 のまま、入れる熱 Q入 を半分の 350 J にする。熱効率と、家計簿の帯の割合を見る（まだ）
2. 2入れる熱は 700 J のまま、圧縮比 ε を 2倍の 20 にする。左の曲線の上で、点がどれだけ上がるかを見る（まだ）
3. 3入れる熱は 700 J のまま、圧縮比 ε を 13（トヨタ Dynamic Force エンジン 2.5 L）にする。実物の点と比べる（まだ）

ε圧縮比−＋

Q入入れた熱（1サイクル）−J＋

t₁吸い込んだ空気の温度−℃＋

p₁吸い込んだ空気の圧力（絶対）−kPa＋

V₁シリンダの体積（ピストンがいちばん下）−cc＋

いまの図を残して比べる熱効率は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-geometry}{\eta} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{W}}{\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{入}}}} = 1 - \dfrac{1}{\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon}^{\,\htmlClass{q-material}{\kappa} - 1}}$$$$= 1 - \dfrac{1}{10^{\,0.4}} = 1 - \dfrac{1}{2.512}$$$$= 60.2\%$$

熱効率

$\htmlClass{q-geometry}{\eta} = 60.2\ \%$

1サイクルの仕事

$\htmlClass{q-moment}{W} = 421\ \mathrm{J}$

捨てた熱（1サイクル）

$\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{捨}}} = 279\ \mathrm{J}$

燃えた後の圧力（絶対）

$\htmlClass{q-stress}{p_3} = 8.14\ \mathrm{MPa}$

ほかの値（4 個）

押し縮めた空気の温度

$\htmlClass{q-heat}{t_2} = 481\ {}^{\circ}\mathrm{C}$

押し縮めた空気の圧力（絶対）

$\htmlClass{q-stress}{p_2} = 2.54\ \mathrm{MPa}$

燃えた後の最高温度

$\htmlClass{q-heat}{t_3} = 2{,}145\ {}^{\circ}\mathrm{C}$

燃えた後の最高温度（絶対温度）

$\htmlClass{q-heat}{T_3} = 2{,}418\ \mathrm{K}$

途中の計算（導出）を見る

1. 中の空気の質量（状態式 pV ＝ mRT から）

   $$\htmlClass{q-material}{m} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{p_1}\,\htmlClass{q-displacement}{V_1}}{\htmlClass{q-material}{R}\,\htmlClass{q-heat}{T_1}} = \dfrac{101{,}000 \times 5\times 10^{-4}}{287 \times 300.15} = 0.586\ \mathrm{g}$$

2. 1→2 断熱で押し縮めた温度

   $$\htmlClass{q-heat}{T_2} = \htmlClass{q-heat}{T_1}\,\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon}^{\,\htmlClass{q-material}{\kappa} - 1} = 300.15\ \mathrm{K} \times 10^{\,0.4} = 753.9\ \mathrm{K}\ (481\,{}^{\circ}\mathrm{C})$$

3. 2→3 体積一定で熱を入れた、最高温度

   $$\htmlClass{q-heat}{T_3} = \htmlClass{q-heat}{T_2} + \dfrac{\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{入}}}}{\htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-material}{c_v}} = 753.9 + \dfrac{700}{5.862\times 10^{-4} \times 717.5} = 2{,}418\ \mathrm{K}\ (2{,}145\,{}^{\circ}\mathrm{C})$$

4. 3→4 断熱でふくらんだ温度（同じ比 ε^0.4 で下がる）

   $$\htmlClass{q-heat}{T_4} = \dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_3}}{\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon}^{\,\htmlClass{q-material}{\kappa} - 1}} = \dfrac{2{,}418}{2.512} = 962.7\ \mathrm{K}$$

5. 4→1 体積一定で捨てた熱

   $$\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{捨}}} = \htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-material}{c_v}\,(\htmlClass{q-heat}{T_4} - \htmlClass{q-heat}{T_1}) = 5.862\times 10^{-4} \times 717.5 \times 662.5 = 279\ \mathrm{J}$$

6. 1サイクルの仕事（家計簿：入れた熱 − 捨てた熱）

   $$\htmlClass{q-moment}{W} = \htmlClass{q-heat}{Q_{\text{入}}} - \htmlClass{q-heat}{Q_{\text{捨}}} = 700 - 278.7 = 421\ \mathrm{J}$$

7. 熱効率（圧縮比だけで決まる）

   $$\htmlClass{q-geometry}{\eta} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{W}}{\htmlClass{q-heat}{Q_{\text{入}}}} = 1 - \dfrac{1}{\htmlClass{q-geometry}{\varepsilon}^{\,\htmlClass{q-material}{\kappa} - 1}} = 1 - \dfrac{1}{10^{\,0.4}} = 1 - \dfrac{1}{2.512} = 60.2\%$$

よくある勘違い

「熱効率 60% のエンジンなら、燃料の 60% で走る」

60.2% は、理論の上限です。実物のエンジンでは、壁から逃げる熱や摩擦があり、いちばんよい条件でも 40% ほどです。

「圧縮比を 2倍にすれば、熱効率も 2倍になる」

熱効率は、圧縮比に比例しません。圧縮比 10 → 20 で、60.2% から 69.8% です。

「燃料をたくさん燃やせば、熱効率が上がる」

燃料を増やすと、仕事も捨てる熱も同じ割合で増えます。熱効率は変わりません。変わるのは、エンジンの力（1サイクルの仕事）です。

この公式が使える条件

• 中の気体は空気（理想気体）で、比熱比 $\sntKappa = 1.4$ が一定。実際は、高い温度で比熱が大きくなり、燃えたガスは空気と少し違う
• 押し縮める・ふくらむ変化は、熱の出入りがない（断熱）
• 熱は体積一定のまま、一瞬で入れる・捨てる
• 摩擦、すき間からのもれ、吸い込みと排気の仕事は入れない

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

熱の出入り：体積一定の変化では、外への仕事が 0 なので、入れた熱は全部が内部エネルギーの増えになります。

$$\sotQin = \sntM\,\sntCv\,(\sotTThree - \sntTTwo), \qquad \sotQout = \sntM\,\sntCv\,(\sotTFour - \sntTOne)$$

温度の比：1→2 は断熱で体積が $1/\sntEps$ になるので $\sntTTwo = \sntTOne\,\sntEps^{\,\sntKappa - 1}$。3→4 は断熱で体積が $\sntEps$ 倍になるので $\sotTThree = \sotTFour\,\sntEps^{\,\sntKappa - 1}$。

差をとる：$$\sotTThree - \sntTTwo = (\sotTFour - \sntTOne)\,\sntEps^{\,\sntKappa - 1}$$

熱効率：家計簿 $\sotW = \sotQin - \sotQout$ から、

$$\sntEta = 1 - \dfrac{\sotQout}{\sotQin} = 1 - \dfrac{\sotTFour - \sntTOne}{(\sotTFour - \sntTOne)\,\sntEps^{\,\sntKappa - 1}} = 1 - \dfrac{1}{\sntEps^{\,\sntKappa - 1}}$$

確かめる：P-V 線図で 1周して囲んだ面積（4つの変化の仕事の和）を数値で足すと、この単元の例では 421 J になり、$\sotQin - \sotQout$ と一致します。