どんなに工夫しても、66.4% が限界カルノーサイクルと第二法則（効率の上限）

発電所は、燃料の熱を全部、電気にできる？

海沿いの火力発電所では、燃料を燃やした熱で水を沸かし、高温の蒸気でタービンを回して発電します。タービンを出た蒸気は、海水で冷やして水に戻し、またボイラへ送ります。

蒸気を冷やした海水は温まって、海へ戻ります。燃料の熱の一部は、電気にならずに海へ出ていくのです。

この海へ出ていく熱を、工夫して 0 にすることはできるでしょうか。

予想してから読む600℃ の蒸気と 20℃ の海水で動く発電所。どんなに工夫しても、燃料の熱のうち電気にできるのは、多くて何%？

A100%（工夫しだいで全部）B約 97%（600℃ と 20℃ の差の割合）C約 66%

水の落差と、温度の落差

フランスの技術者サディ・カルノーは、1824年の本『火の動力についての考察』で、熱の動力を、落ちる水の動力にたとえました。水の動力が落差と水の量で決まるように、熱の動力も、温度の落差と熱の量で決まる、と考えたのです。

このたとえを、水車の絵にして読みます。

• 水は、高い所から低い所へ流れ落ちます。熱も、温度の高い所から低い所へ流れます。
• 水車が仕事を取り出せるのは、水が落ちる間だけです。熱機関も、熱が高温から低温へ流れる間に、仕事を取り出します。
• 下の池の水は、まだ海面より高い所にあります。でも、そこから下へは流せないので、その高さの分は使えません。熱も、低温側の温度の分は使えずに、低温側へ流れ去ります。

温度の「高さ」は、絶対零度（0 K、−273.15℃）から測ります。

違いも1つあります。水車の水は、上の池と下の池で量が同じです。熱は違います。熱機関の中で、熱の一部が仕事に変わって、低温側へ流れる熱はその分だけ減ります。流れているのは物ではなく、エネルギーだからです。

カルノーの時代、熱は「熱素」という物で、減らずに高温から低温へ移るだけだと考えられていました。1850年に、クラウジウスが、カルノーの考えの芯は残したまま、「熱は減らない」の部分だけを直しました。

公式はこれ

高温側の絶対温度 $\scnTH$ から熱 $\scnQH$ を受け取り、低温側の絶対温度 $\scnTL$ へ熱 $\scnQL$ を捨てて、仕事 $\scnW$ を取り出す機械を考えます。どんな作り方をしても、効率は次の上限を超えません。

$$\scnEta = 1 - \dfrac{\scnTL}{\scnTH} = \dfrac{\scnTH - \scnTL}{\scnTH}$$

上限は $580 \div 873 = 0.664$、つまり 66.4% です。水車のたとえで言えば、「落差 ÷ 絶対零度からの高さ」です。

1秒に 1000 MJ の熱（1000 MW）を蒸気に入れると、取り出せる仕事は多くて 664 MW です。残りの 336 MW は、どうしても海へ捨てます。

上限で動く熱機関：カルノーサイクル

上限の効率で動く熱機関を、カルノーサイクルといいます。シリンダの中の空気で、4つの変化を順に行います。

等温の変化は 等温変化、断熱の変化は 断熱変化 の単元で計算しました。熱を受け取るのも捨てるのも、温度の差の無い所（気体と同じ温度の側）でゆっくり行います。だから、熱が温度の差を流れて、仕事を取り出す機会を失うことがありません。

1周して囲んだ面積が、1サイクルの仕事です（P-V線図と仕事 の単元）。上の図の空気でも、仕事 ÷ 受け取った熱は、閉じた式と同じ値になります。

公式を、かたまりに分けて読む

$$\scnEta = \underbrace{1}_{\text{入れた熱の全部}} - \underbrace{\dfrac{\scnTL}{\scnTH}}_{\text{捨てる熱の割合}}$$

1. 入れた熱の全部（1）　家計簿のはじめは、入れた熱の全部です。
2. 捨てる熱の割合 $\scnTL/\scnTH$　低温側の高さ ÷ 高温側の高さ。水車の下の池の、海面からの高さにあたります。これが 0 になるのは、低温側が絶対零度のときだけです。そんな冷たい物は、ふつうは手に入りません。

式の中に、空気・水蒸気といった、中で働く物の名前がありません。上限は、2つの温度だけで決まります。

どの数字がいちばん効く？

初期値（600℃ と 20℃）から、1つずつ変えたときの上限です。

同じ 10% なら、低温側を下げるほうが少しよく効きます。温度の差で比べると、もっとはっきりします。低温側の 1 K は、高温側の約 3 K（$\scnTH/\scnTL = 873/293 = 2.98$ 倍）に当たります。

ただ、低温側は、まわりの海や空気の温度より下げられません。冷やす機械を動かすと、その分の仕事が要るからです。だから発電所は、高温側を上げる工夫を続けてきました。

実際の発電所は、上限より低い

J-POWER の竹原火力発電所 新1号機（2020年に運転開始）は、600℃・27 MPa の蒸気で動く石炭火力です。発電の効率は約 48% です（発電端・低位発熱量基準）。600℃ と 20℃ の上限 66.4% の、7割ほどです。

ガスで動く発電所は、高温側をもっと上げています。燃やしたガスでガスタービンを回し、その排気の熱で蒸気を作って、蒸気タービンも回します。これを複合発電（コンバインドサイクル）といいます。

西名古屋火力発電所 7-1号（2017年に運転開始）は、タービンに入るガスの温度が 1600℃級で、発電の効率は 63.08%（低位発熱量基準）です。2018年に、当時の世界最高の効率の複合発電として、ギネス世界記録に認められました。1600℃ と 20℃ の上限は 84.3% なので、上限の約4分の3です。

上限に届かないのは、タービンの羽根と蒸気の間の摩擦や、温度の差のある所を熱が流れる損があるからです。たとえば、ボイラの中では、燃料の炎の熱が、それよりずっと温度の低い 600℃ の蒸気へ流れます。炎と蒸気の間の落差は、仕事に使われていません。

動かしてみよう

高温側 $\scnTHc$ と低温側 $\scnTLc$ のスライダーを動かしてください。左の図では、上の池と下の池の高さが変わり、紫の水車のところで熱が細くなります。細くなった分が仕事です。下の帯は、入れた熱が、仕事（紫）と捨てる熱（黄土）にどう分かれたかを示します。

右の線図は、低温側をいまの温度にしたときの、効率の上限です。高温側を上げるほど、伸び方が小さくなります。紫の点は、実際の発電所です。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1高温側 tH を 100℃ まで下げ、低温側 tL を 100℃ まで上げる（温度の落差を 0 にする）。そのあと、下の帯で仕事の分を見る（まだ）
2. 2低温側は 20℃ のまま、高温側 tH を 1000℃ に上げる。効率の上限と、捨てる熱を見る（まだ）
3. 3高温側 tH を 1600℃（最新のガスタービンに入るガスは 1600℃級）にする。右の線図で、実際の発電所の点と比べる（まだ）

tH高温側の温度−℃＋

tL低温側の温度−℃＋

QH高温側から入れる熱（1秒あたり）−MW＋

いまの図を残して比べる熱効率の上限（カルノー効率）は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-geometry}{\eta_{\max}} = 1 - \dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_L}}{\htmlClass{q-heat}{T_H}} = \dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_H} - \htmlClass{q-heat}{T_L}}{\htmlClass{q-heat}{T_H}}$$$$= \dfrac{873.15 - 293.15}{873.15}$$$$= 66.4\ \%$$

熱効率の上限（カルノー効率）

$\htmlClass{q-geometry}{\eta_{\max}} = 66.4\ \%$

取り出せる仕事の上限（1秒あたり）

$\htmlClass{q-moment}{W} = 664\ \mathrm{MW}$

低温側へ捨てる熱（1秒あたり）

$\htmlClass{q-heat}{Q_L} = 336\ \mathrm{MW}$

高温側の絶対温度

$\htmlClass{q-heat}{T_H} = 873.1\ \mathrm{K}$

低温側の絶対温度

$\htmlClass{q-heat}{T_L} = 293.1\ \mathrm{K}$

温度の落差

$\htmlClass{q-heat}{T_H - T_L} = 580\ \mathrm{K}$

途中の計算（導出）を見る

1. 温度を絶対温度に直す（℃ に 273.15 を足す）

   $$\htmlClass{q-heat}{T_H} = \htmlClass{q-heat}{t_H} + 273.15,\quad \htmlClass{q-heat}{T_L} = \htmlClass{q-heat}{t_L} + 273.15 = 600 + 273.15,\quad 20 + 273.15 = 873.15\ \mathrm{K},\quad 293.15\ \mathrm{K}$$

2. 効率の上限（落差 ÷ 絶対零度からの高さ）

   $$\htmlClass{q-geometry}{\eta_{\max}} = 1 - \dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_L}}{\htmlClass{q-heat}{T_H}} = \dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_H} - \htmlClass{q-heat}{T_L}}{\htmlClass{q-heat}{T_H}} = \dfrac{873.15 - 293.15}{873.15} = 66.4\ \%$$

3. 取り出せる仕事の上限（1秒あたり）

   $$\htmlClass{q-moment}{W} = \htmlClass{q-geometry}{\eta_{\max}}\,\htmlClass{q-heat}{Q_H} = 0.6643 \times 1{,}000\ \mathrm{MW} = 664\ \mathrm{MW}$$

4. 低温側へ、少なくとも捨てる熱（家計簿：入れた熱 − 仕事）

   $$\htmlClass{q-heat}{Q_L} = \htmlClass{q-heat}{Q_H} - \htmlClass{q-moment}{W} = \htmlClass{q-heat}{Q_H}\,\dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_L}}{\htmlClass{q-heat}{T_H}} = 1{,}000 - 664.3 = 336\ \mathrm{MW}$$

よくある勘違い

「技術が進めば、効率は 100% に近づく」

摩擦や熱の漏れを全部なくした、理想の熱機関でも、上限は $1 - \scnTL/\scnTH$ です。これは技術の問題ではなく、熱を仕事に変えるときの決まりです。この決まりを、熱力学の第二法則といいます。

「熱を全部、仕事に変えられる場面がある」

等温変化の単元では、等温でふくらむとき、入れた熱が全部、外への仕事になりました。でも、それは1回ふくらむだけの話です。ふくらんだ気体を元に戻して、もう一度使うには、どこかで熱を捨てる必要があります。くり返し動く機械では、熱を全部は仕事にできません。

「低温側は、まわりの温度とは関係ない」

低温側は、熱を捨てる先です。発電所なら海水、車なら外の空気です。夏に海水が温かくなると、上限が下がります（下の例題2）。

この公式が使える条件

• 高温側と低温側の温度は、熱を出し入れしても変わらない（大きな熱の源と、大きな捨て先）
• 温度は絶対温度 [K] で入れる
• 上限は、くり返し動く熱機関の、どんな作り方にも当てはまる。中で働く物（空気・水蒸気）にはよらない
• 実際の機械の効率は、摩擦や、温度の差のある所を熱が流れる損で、上限より低くなる

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

カルノーサイクルの熱を、空気で計算する：等温の変化では、温度が変わらないので内部エネルギーも変わりません。家計簿から、受け取った熱 ＝ 外にした仕事です。等温変化の単元の仕事の式から、

$$\scnQH = \sntM\,\sntR\,\scnTH \ln\dfrac{V_2}{V_1}, \qquad \scnQL = \sntM\,\sntR\,\scnTL \ln\dfrac{V_3}{V_4}$$

体積の比がそろう：断熱の変化では $T\,V^{\,\sntKappa - 1}$ が一定でした（断熱変化）。2→3 と 4→1 に当てはめると、

$$\scnTH\,V_2^{\,\sntKappa - 1} = \scnTL\,V_3^{\,\sntKappa - 1}, \qquad \scnTH\,V_1^{\,\sntKappa - 1} = \scnTL\,V_4^{\,\sntKappa - 1}$$

左の式を右の式で割ると $(V_2/V_1)^{\,\sntKappa - 1} = (V_3/V_4)^{\,\sntKappa - 1}$、つまり $V_2/V_1 = V_3/V_4$ です。

効率：2つの ln が同じなので、割ると $\sntM\,\sntR$ と ln が消えます。

$$\dfrac{\scnQL}{\scnQH} = \dfrac{\scnTL}{\scnTH}, \qquad \scnEta = \dfrac{\scnQH - \scnQL}{\scnQH} = 1 - \dfrac{\scnTL}{\scnTH}$$

どの熱機関も、これを超えない：カルノーサイクルは、逆向きに回すこともできます（仕事を入れて、低温側から熱を汲み上げ、高温側へ出す）。もし、これより効率の高い機関があったとすると、その機関でカルノーサイクルを逆回しにすれば、差し引きで、仕事を何も入れずに、熱が低温側から高温側へ流れることになります。熱が低いほうから高いほうへひとりでに流れることはないので、そんな機関はありません。