折れ角 1° で、力は28倍トグル機構（小さな力で大きな力）

片手で、どうして強く押さえられる？

工作台の上で板に穴をあけるとき、板がずれると、穴の位置が狂います。そこで、板を台に押さえつける金具を使います。トグルクランプです。

レバーを倒していくと、最後に「パチン」と止まります。そこから先は、手をはなしても、板はびくともしません。片手の力しか入れていないのに、です。

レバーの奥には、ピンでつないだ2本の腕が入っています。この単元では、その2本の腕だけを取り出して考えます。この形をトグル機構といいます。

同じ長さ 60 mm の腕を2本、まん中のピン B でつなぎます。左の端 A は、床に固定した支点です。右の端 C は、溝の中をすべるブロック（すべり子）で、工作物を押します。2本の腕は、A と C を結ぶ線（一直線）から、角度 $\stgAlpha$ だけ折れています。

まん中のピン B を、腕の並びに直角に、100 N の力で押します。角度が 5° のとき、C は工作物を何 N で押すでしょうか。

予想してから読む2本の腕が一直線から 5° 折れているとき、端を押し広げる力は、まん中を押す力の約何倍？

A約 0.5倍B約 5.7倍C約 11倍

公式はこれ

$$\stgFout = \dfrac{\stgF}{2\tan\stgAlpha}$$

答えは 572 N です。押した力の約 5.7倍で、工作物を押します。腕の長さ 60 mm は、式に入っていません。

力が大きくなる理由

腕は、腕の向きにしか押せない

腕の両端は、ピンでつながっています。ピンのまわりでは、腕は自由に回れます。だから、腕を横から押しても、腕は回ってしまい、力を伝えられません。

腕が伝えられるのは、腕の向きの力だけです。両端を結ぶ線に沿って、押し縮める力です。この力を $\stgT$ とします。

まん中のピンで、力が2本に分かれる

まん中のピン B には、押す力 $\stgF$ と、左右の腕から押し返す力 $\stgT$ が2本かかっています。ピンは止まっているので、押す向き（腕の並びに直角）の力がつり合います。

腕の力のうち、押す向きを向いた分は $\stgT\sin\stgAlpha$ です。2本あるので、

$$2\,\stgT\sin\stgAlpha = \stgF \qquad\Longrightarrow\qquad \stgT = \dfrac{\stgF}{2\sin\stgAlpha}$$

5° のとき、$\sin 5^{\circ} = 0.0872$ です。腕1本の力は $100 / (2 \times 0.0872) = 574\ \mathrm{N}$ になります。押した力 100 N より、ずっと大きな力です。

腕がほとんど寝ているので、押す向きを向いた分はわずかです。わずかな分で 100 N を受け止めるには、腕全体の力が大きくなければなりません。

横を向いた分が、端を押す

腕の力のうち、腕の並びの向き（横）を向いた分は $\stgT\cos\stgAlpha$ です。これが、右の端 C を横へ押します。

$$\stgFout = \stgT\cos\stgAlpha = \dfrac{\stgF}{2\sin\stgAlpha}\cos\stgAlpha = \dfrac{\stgF}{2\tan\stgAlpha}$$

$\cos 5^{\circ} = 0.996$ なので、腕の力のほとんど全部が横を向いています。数を入れると、

$$\stgFout = \dfrac{100}{2\tan 5^{\circ}} = \dfrac{100}{2 \times 0.0875} = 572\ \mathrm{N}$$

角度を 1° にすると、$\tan 1^{\circ} = 0.0175$ で、約 28.6倍の 2,864 N です。一直線に近いほど、力は大きくなります。

てんびん：入れた仕事＝出た仕事

力が 5.7倍になったのなら、何かを引き換えにしているはずです。引き換えにしたのは、動く量です。

てんびんの棒を思い浮かべてください。支点から遠い側を手で押し下げると、近い側に載せた重い荷物が、少しだけ持ち上がります。手は大きく動き、荷物は少ししか動きません。そのぶん、荷物の側には大きな力が出ます。

摩擦がなければ、入れた仕事（力 × 動いた量）と、出た仕事は同じです。この科目では、これをてんびんと呼びます。

トグル機構でも、同じことが起きています。5° のとき、まん中を 1 mm 押し下げても、端 C は 0.175 mm しか動きません。

$$\underbrace{100\ \mathrm{N} \times 1\ \mathrm{mm}}_{\text{入れた仕事}} = \underbrace{572\ \mathrm{N} \times 0.175\ \mathrm{mm}}_{\text{出た仕事}} \quad(\text{どちらも約 } 100\ \mathrm{N\cdot mm})$$

端がほとんど動かないのは、腕がほとんど寝ているからです。ほぼ水平な棒を少し傾けても、横の長さはほとんど変わりません。端の動きは、まん中の動きの $2\tan\stgAlpha$ 倍で、これは力の倍率のちょうど逆数です。

一直線になるまで押し込んでも、端はわずかしか動きません。60 mm の腕で 5° から押し込むと、まん中は 5.23 mm 動き、端は 0.457 mm だけ動きます。トグルクランプが板を押さえるのは、この最後のわずかな動きの間です。

公式を、2つのかたまりに分けて読む

$$\stgFout = \stgF \times \underbrace{\dfrac{1}{2}}_{\text{2本の腕に分かれる}} \times \underbrace{\dfrac{1}{\tan\stgAlpha}}_{\text{寝ているほど横へ向く}}$$

1. 2本の腕に分かれる $1/2$　まん中を押した力を、左右2本の腕で受け止めます。2 は腕の本数です。
2. 寝ているほど横へ向く $1/\tan\stgAlpha$　腕が一直線に近いほど、$\tan\stgAlpha$ は 0 に近づき、倍率は大きくなります。角度が小さいとき、$\tan\stgAlpha$ は角度にほぼ比例するので、角度を半分にすると、力はほぼ2倍です。

反対に、腕が大きく折れていると、倍率は1を下回ります。$\tan\stgAlpha = 0.5$ の約 26.6° で、ちょうど1倍です。30° では 0.866倍、45° では 0.5倍になります。トグル機構が力を大きくできるのは、一直線の近くだけです。

どの数字がいちばん効く？

5° の姿から、それぞれの数字を変えたとき、端の力がどう変わるかを並べます。

いちばん効くのは角度です。それも、一直線に近いところほど、わずかな角度の差が大きく効きます。

トグルクランプに戻る

トグルクランプのレバーを倒すと、中の2本の腕が、一直線に向かって伸びていきます。倒し始めは、腕が大きく折れているので、軽く動きます。一直線に近づくと、手応えが急に重くなり、板を強く押さえます。

最後の「パチン」は、腕が一直線をわずかに越えたところで、止め具に当たった音です。一直線を越えると、押さえた板が押し返す力は、腕を止め具の側へさらに押す向きに働きます。だから、手をはなしても、レバーは戻りません。外すときは、手でレバーを起こし、腕を一直線の手前へ戻します。

同じ仕組みは、道具箱のふたを留める「パッチン錠」にも入っています。

脚立の脚の間にある開き止めの金具にも、同じ考え方のものがあります。2本の金具を、まん中のピンでつなぎ、まっすぐを少し越えた所で止めます。脚を閉じる向きに押されても、金具はさらに止まる側へ押されるだけで、折れません。

2本の節が一直線に並ぶ姿は、ほかの機構にも出てきます。ピストンクランク機構 の上死点・下死点も、クランクと連接棒が一直線に並ぶ姿です。そこでは、ピストンを押しても、クランクは回りません。

動かしてみよう

角度 $\stgAlpha$ のスライダーを左へ動かして、腕を一直線に近づけてみてください。端の力の矢印が長くなり、図の下の「端 C の動き」が小さくなります。

次に、腕の長さ $\stgL$ を変えてみてください。図の腕は長くなりますが、端の力は変わりません。

「いまの図を残して比べる」を押してから角度を変えると、残した姿が薄く重なります。リンク機構を自分で組んでみたい人は、リンク機構のツールで試せます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1角度 α を 5° にする（力 F は 100 N のまま）。答えの欄の、端を押す力と倍率を見る（まだ）
2. 2角度 α を 1° にして、端の力と、1 mm 押したときの端の動きを見る（まだ）
3. 3角度 α を 30° にする。倍率と、1 mm 押したときの端の動きを、5° のときと比べる（まだ）

α腕が一直線から折れた角度−°＋

Fまん中を押す力−N＋

ℓ腕1本の長さ−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる端を押し広げる力は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-force}{F_{\mathrm{out}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F}}{2\tan \htmlClass{q-geometry}{\alpha}}$$$$= \dfrac{100}{2\tan 20^{\circ}}$$$$= 137.4\ \mathrm{N}$$

腕1本を押し縮める力

$\htmlClass{q-force}{T} = 146.2\ \mathrm{N}$

端を押し広げる力

$\htmlClass{q-force}{F_{\mathrm{out}}} = 137.4\ \mathrm{N}$

力の倍率（端の力 ÷ まん中の力）

$\htmlClass{q-force}{F_{\mathrm{out}}/F} = 1.37\$

まん中のピンの高さ（両端を結ぶ線から）

$\htmlClass{q-displacement}{h} = 20.5\ \mathrm{mm}$

まん中を 1 mm 押したとき、端が動く量

$\htmlClass{q-displacement}{\Delta x} = 0.728\ \mathrm{mm}$

途中の計算（導出）を見る

1. 腕1本を押し縮める力（まん中のピンで、押す向きの力がつり合う）

   $$\htmlClass{q-force}{T} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F}}{2\sin \htmlClass{q-geometry}{\alpha}} = \dfrac{100}{2\sin 20^{\circ}} = 146.2\ \mathrm{N}$$

2. 端を押し広げる力（腕の力の、腕の並びの向きの成分）

   $$\htmlClass{q-force}{F_{\mathrm{out}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F}}{2\tan \htmlClass{q-geometry}{\alpha}} = \dfrac{100}{2\tan 20^{\circ}} = 137.4\ \mathrm{N}$$

3. 力の倍率（端の力が、まん中を押す力の何倍か）

   $$\htmlClass{q-force}{F_{\mathrm{out}}/F} = \dfrac{1}{2\tan \htmlClass{q-geometry}{\alpha}} = \dfrac{1}{2\tan 20^{\circ}} = 1.37$$

4. まん中を 1 mm 押したとき、端が動く量（倍率の逆数。入れた仕事＝出た仕事）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\Delta x} = 2\tan \htmlClass{q-geometry}{\alpha} \times 1\ \mathrm{mm} = 2\tan 20^{\circ} \times 1 = 0.728\ \mathrm{mm}$$

5. まん中のピンの高さ（あと何 mm 押すと、腕が一直線になるか）

   $$\htmlClass{q-displacement}{h} = \htmlClass{q-geometry}{\ell}\sin \htmlClass{q-geometry}{\alpha} = 60 \times \sin 20^{\circ} = 20.5\ \mathrm{mm}$$

よくある勘違い

「力が 28.6倍になるなら、得をしている」

得はしていません。力が 28.6倍になる代わりに、端の動きは 28.6分の1です。

入れた仕事と出た仕事は同じです。摩擦があれば、出た仕事は、むしろ少し減ります。

「角度を半分にすれば、いつでも力は2倍」

2倍になるのは、角度が小さいときだけです。45° から 22.5° にすると、倍率は 0.5倍から 1.21倍になり、2.41倍に増えます。$\tan$ が角度に比例するのは、角度が小さいときだけだからです。

「ぴったり一直線（0°）にすれば、いちばん強く押せる」

ぴったり一直線では、まん中を押しても、端はもう動きません。押し込める残りが 0 だからです。押さえる力は、そこまで押し込む間に、腕・ピン・工作物がわずかに縮んだ分の、ばねのような力で決まります。計算の上で力がいくらでも大きくなるのは、部品がまったく縮まないと考えたときの話です。

この公式が使える条件

• 摩擦を考えない（実物では、ピンの摩擦で、端の力はいくらか小さくなる）
• 止まっているか、ゆっくり動くとき（静的）
• 2本の腕が同じ長さで、両端とまん中がピンでつながっている
• まん中を、腕の並びに直角に押す
• 部品は縮まない（一直線のすぐ近くでは、この仮定が崩れる）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

てんびんで導く：両端の間の長さを $x$、まん中のピンの高さ（両端を結ぶ線から）を $\stgH$ とします。腕の長さ $\stgL$ と角度 $\stgAlpha$ から、

$$x = 2\,\stgL\cos\stgAlpha, \qquad \stgH = \stgL\sin\stgAlpha$$

角度をわずかに $d\stgAlpha$ 小さくすると、まん中は $d\stgH = \stgL\cos\stgAlpha\,d\stgAlpha$ 下がり、両端の間は $dx = 2\,\stgL\sin\stgAlpha\,d\stgAlpha$ 広がります。比をとると、$\stgL$ も $d\stgAlpha$ も消えます。

$$\dfrac{dx}{d\stgH} = \dfrac{2\,\stgL\sin\stgAlpha}{\stgL\cos\stgAlpha} = 2\tan\stgAlpha$$

入れた仕事 $\stgF\,d\stgH$ と、出た仕事 $\stgFout\,dx$ が等しいので、

$$\stgFout = \stgF\,\dfrac{d\stgH}{dx} = \dfrac{\stgF}{2\tan\stgAlpha}$$

力のつり合いから出した式と、同じです。5° なら $2\tan 5^{\circ} = 0.175$ で、まん中を 1 mm 押すと、端は 0.175 mm 動きます。

大きく押し込むとき：5° から一直線まで押し込むと、まん中は $60\sin 5^{\circ} = 5.23\ \mathrm{mm}$、端は $120\,(1 - \cos 5^{\circ}) = 0.457\ \mathrm{mm}$ 動きます。その間の平均の倍率は 11.5倍です。押し込むにつれて、倍率は 5.7倍から大きくなり続けるからです。