なぞるだけで、3倍の絵が描けるパンタグラフ（平行四辺形で拡大する）

小さな絵を、そっくり大きく写したい

はがきの隅にある小さな絵を、画用紙いっぱいに大きく写したいとします。手で見ながら描くと、形が少しずつずれます。

そこで使うのが、拡大用のパンタグラフです。細長い棒4本をピンでつないだ道具で、1か所を机にとめて支点にします。小さな絵の線を針でなぞると、離れた所のペンが、同じ形の大きな絵を描きます。

この単元のパンタグラフは、次の寸法です。

• 支点 O から、長い棒の端 C まで：240 mm（長い棒 OC）
• C から、ペン E まで：240 mm（長い棒 CE）
• 長い棒 OC の途中のピン A は、支点 O から 80 mm の所
• 短い棒 AT と TB が、針 T で出会う

ピン A を支点から 80 mm の所に付けると、支点から針までと、支点からペンまでの長さの比は 1 : 3 になります。ペンの絵は、どうなるでしょうか。

予想してから読む支点から針まで：支点からペンまで ＝ 1 : 3 のパンタグラフで、直径 40 mm の円をなぞります。ペンが描く形は？

A直径 120 mm の、ゆがみのない円B直径 120 mm だが、横に伸びた楕円C直径 360 mm の円

公式はこれ

$$\spgM = \dfrac{OC}{OA} = \dfrac{OE}{OT}, \qquad \spgLE = \spgM\,\spgLT$$

倍率は、ピン A の位置だけで決まります。$240 / 80 = 3$ で、ペンは直径 120 mm の円を描きます。

形がゆがまない理由は、棒の組み方にあります。

平行四辺形は、動いても平行のまま

向かい合う辺の長さが等しい四角形

4本の棒 A–C、C–B、B–T、T–A は、四角形をつくっています。長さは、AC と TB が 160 mm、CB と AT が 80 mm です。向かい合う辺の長さが等しい四角形は、平行四辺形です。

棒の長さは変わらないので、どう動かしても、向かい合う辺の長さは等しいままです。だから、この四角形は、いつも平行四辺形です。AT と CB はいつも平行で、AC と TB もいつも平行です。

四角形は、機構の自由度 で見たとおり、1つの角度ぶん動けます。傾いて細長くなっても、平行四辺形であることは変わりません。

デスクライトの腕

腕を自由に動かせるデスクライトには、平行な2本の棒で腕を組んだものがあります。腕は平行四辺形になっているので、上げても下げても、先の棒の向きは根もとの棒と平行のままです。電灯の笠の向きが変わらず、机の同じ所を照らせます。

支点と針とペンは一直線に並ぶ

平行四辺形から、針 T とペン E の関係を導きます。

1. 2つの三角形を見る。支点 O、ピン A、針 T の小さな三角形 OAT と、支点 O、端 C、ペン E の大きな三角形 OCE を比べます。

2. 辺の比が同じ。OA は 80 mm、OC は 240 mm で、比は 1 : 3 です。AT は 80 mm、CE は 240 mm で、比は同じ 1 : 3 です。

3. 間の角が同じ。AT は CB と平行で、CB は棒 CE の一部です。だから AT と CE は平行です。直線 OC に平行な2本の線が交わる角なので、A の角と C の角は等しくなります（同位角）。

4. だから、そっくりな三角形。2組の辺の比と、その間の角が等しいので、三角形 OAT と OCE は相似です。大きいほうは、小さいほうを支点 O から3倍に伸ばした形です。

$$\dfrac{OE}{OT} = \dfrac{OC}{OA} = \dfrac{CE}{AT} = \dfrac{240}{80} = 3$$

相似な2つの三角形は、O の角を共有しています。だから、T は直線 OE の上にあります。支点・針・ペンは、いつも一直線に並び、OE はいつも OT の3倍です。

針が絵の上のどこにあっても、ペンは「支点から見て同じ向きに、3倍遠い所」にいます。絵のすべての点が、支点から3倍に引き伸ばされるので、ペンの絵は元の絵とそっくり（相似）で、向きも同じです。

公式を、かたまりに分けて読む

$$\spgLE = \underbrace{\dfrac{OC}{OA}}_{\text{ピンの位置で決まる倍率}} \times \underbrace{\spgLT}_{\text{なぞった線}}$$

1. ピンの位置で決まる倍率 $OC/OA$　長い棒の長さは変えず、ピン A（と、向かいのピン B）を付け替えると、倍率が変わります。道具の棒には、付け替える穴が並んでいます。
2. なぞった線 $\spgLT$　直線でも曲線でも、どの部分も同じ倍率で伸びます。

長さが3倍なら、たても横も3倍なので、面積は 3 × 3 ＝ 9倍です。直径 40 mm の円（面積 1,257 mm²）は、直径 120 mm の円（面積 11,310 mm²）になります。

どの数字がいちばん効く？

この単元のパンタグラフ（OA 80 mm、直径 40 mm の円）から、それぞれを1割（10%）変えてみます。

面積は倍率の2乗で効くので、長さの変化の約2倍の割合で変わります。ピンの位置は OC ÷ OA の分母なので、短くしたときのほうが大きく効きます。

ペン先の力は小さくなる：てんびん

前の単元の トグル機構（小さな力で大きな力） では、「入れた仕事＝出た仕事（摩擦なし）。少ししか動かない側には、大きな力が出る」というてんびんの考えを使いました。パンタグラフは、その逆向きです。

針を 10 mm 動かすと、ペン先は 30 mm 動きます。手が針を 3 N の力で押して動かすとき、摩擦がなければ、仕事は等しくなります。

$$\underbrace{3\ \mathrm{N} \times 10\ \mathrm{mm}}_{\text{手が入れた仕事}} = \underbrace{1\ \mathrm{N} \times 30\ \mathrm{mm}}_{\text{ペン先の仕事}} = 30\ \mathrm{N \cdot mm}$$

ペン先で出せる力は、手の力の 3分の1 です。大きく動かせる代わりに、力は小さくなります。言いかえると、ペン先が紙をこする抵抗に勝つには、手はその3倍の力で針を押す必要があります。

電車の屋根のパンタグラフ

電車の屋根の上にも、パンタグラフと呼ばれる装置があります。ひし形に組んだ腕の形は、拡大用の道具に似ています。

役目は違います。電車のパンタグラフは、上を通る電線（架線）に、上の端の板を下から押し当てて、電気を取り入れます。架線の高さが変わっても、腕が伸び縮みして、板を架線に触れさせ続けます。絵を大きくするための倍率は、ここでは関係ありません。

拡大用のパンタグラフに戻る

最初の問いの答えは、直径 120 mm の、ゆがみのない円でした。ピン A を支点から 80 mm の所に付けると、支点・針・ペンが一直線に並び、ペンはいつも針の3倍遠くにいます。絵のどの点も3倍に引き伸ばされるので、形はそっくりのまま大きくなります。

自由度でいうと、パンタグラフは、節が5つ（机・長い棒2本・短い棒2本）、対偶が5つ（O・A・C・B・T）で、$3 \times (5 - 1) - 2 \times 5 = 2$ です。針を机の上のどこへでも動かせるのは、自由度が 2 だからです。

動かしてみよう

針 T（朱の点）が小さな図形をなぞると、ペン E（青の点）が拡大した図形を描きます。ピン A の位置 $\spgA$ を小さくすると、倍率が上がり、ペンの絵が大きくなります。棒の平行の印（＞ と ≫）を付けた辺は、どの瞬間も平行です。

図形のボタンで「家」を選ぶと、拡大しても上下・左右が入れかわらないことが分かります。下の波形は、支点からペンまでの距離（実線）と、支点から針までの距離（破線）です。どの瞬間も、実線は破線の倍率倍です。

「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、残した図の波形が薄く重なります。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1OA は 80 mm（倍率 3）のまま、図形を「家」にする。ペンの描く家の屋根の向きと、左右を見る（まだ）
2. 2OA を 60 mm にする（倍率 4）。棒の印（＞ と ≫）の辺が、動いている間も平行かを見る（まだ）
3. 3OA を 120 mm にのばす（倍率 2）。答えの欄の、ペン先で出せる力を見る（まだ）

a支点 O から、短い棒のピン A まで−mm＋

形なぞる図形

円四角家

rなぞる図形の大きさ（中心から辺・円まで）−mm＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.00 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる倍率は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{s_E} = \htmlClass{q-displacement}{m}\,\htmlClass{q-displacement}{s_T}$$$$= 3 \times 125.66\ \mathrm{mm}$$$$= 377\ \mathrm{mm}$$

倍率

$\htmlClass{q-displacement}{m} = 3\$

針がなぞる線の長さ

$\htmlClass{q-displacement}{s_T} = 126\ \mathrm{mm}$

ペンが描く線の長さ

$\htmlClass{q-displacement}{s_E} = 377\ \mathrm{mm}$

面積の比（ペン ÷ 針）

$\htmlClass{q-geometry}{A_E/A_T} = 9\$

ペン先で出せる力の比（手の力に対して）

$\htmlClass{q-force}{P_E/P_T} = 0.333\$

途中の計算（導出）を見る

1. 倍率（支点から長い棒の端までと、支点から短い棒のピンまでの比）

   $$\htmlClass{q-displacement}{m} = \dfrac{OC}{OA} = \dfrac{OE}{OT} = \dfrac{240}{80} = 3$$

2. ペンが描く線の長さ（針がなぞる円のまわりの長さの m 倍）

   $$\htmlClass{q-displacement}{s_E} = \htmlClass{q-displacement}{m}\,\htmlClass{q-displacement}{s_T} = 3 \times 125.66\ \mathrm{mm} = 377\ \mathrm{mm}$$

3. 面積の比（たても横も m 倍）

   $$\htmlClass{q-geometry}{A_E/A_T} = \htmlClass{q-displacement}{m}^2 = 3^2 = 9$$

4. ペン先で出せる力の比（てんびん：手が針を動かす仕事＝ペン先の仕事、摩擦なし）

   $$\htmlClass{q-force}{P_E/P_T} = \dfrac{1}{\htmlClass{q-displacement}{m}} = \dfrac{1}{3} = 0.333$$

よくある勘違い

「長さが3倍なら、面積も3倍」

たても横も3倍になるので、面積は 3 × 3 ＝ 9倍です。

「針とペンを入れかえても、同じだけ拡大される」

ペンを T に、針を E に付けかえると、大きな絵を 3分の1 に縮めて写せます。OT と OE の比は同じ 1 : 3 ですが、なぞる側と描く側が逆になるからです。

「電車のパンタグラフも、何かを拡大している」

形が似ていて名前も同じですが、役目は、架線に板を押し当て続けることです。絵を拡大する倍率は、関係ありません。

この公式が使える条件

• 支点 O・針 T・ペン E が一直線に並ぶように、ピンを付ける（$OA : OC = AT : CE$）。この比がずれると、形がゆがむ
• 棒は曲がらず、ピンにがたがない
• 支点は机にしっかりとまっている
• 力の話（てんびん）は、摩擦と棒の重さを考えないとき

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

座標で書く：支点 O を原点とし、点の位置を矢印（ベクトル）で表します。倍率を $\spgM = OC/OA$ とします。

ピン A は棒 OC の上にあり、$\vec{C} = \spgM\,\vec{A}$ です。

平行四辺形 A–C–B–T では、$\vec{B} - \vec{C} = \vec{T} - \vec{A}$（向かい合う辺が、同じ向き・同じ長さ）。

ペン E は、C から B の向きに、CE の長さだけ進んだ点です。$CE = \spgM \times CB$ になるようにピン B を付けるので、

$$\vec{E} = \vec{C} + \spgM\,(\vec{B} - \vec{C}) = \spgM\,\vec{A} + \spgM\,(\vec{T} - \vec{A}) = \spgM\,\vec{T}$$

$\vec{A}$ が消えて、$\vec{E} = \spgM\,\vec{T}$ が残ります。棒がどう傾いていても、ペンの位置は針の位置の $\spgM$ 倍（支点から見て同じ向き）です。

線の長さ：針が少しだけ $\Delta\vec{T}$ 動くと、ペンは $\Delta\vec{E} = \spgM\,\Delta\vec{T}$ 動きます。小さな動きを全部足すと、$\spgLE = \spgM\,\spgLT$ です。

力：手が針を力 $P_T$ で動きの向きに押し、ペン先が力 $P_E$ を出すとき、摩擦がなければ仕事が等しいので、$P_T\,\Delta T = P_E\,\Delta E = P_E\,\spgM\,\Delta T$。よって $P_E / P_T = 1/\spgM$ です。