ピストンがいちばん速いのは、まん中ではないピストンクランク機構

エンジンのピストンは、クランクが何度回ったところで半分まで下がる？

自動車のエンジンの中では、筒（シリンダ）の中をピストンが上下に往復しています。燃料が燃えてピストンが押し下げられ、その往復が、曲がった軸（クランク）の回転に変わります。この回転が、最後は車輪を回します。

ピストンと回る軸のあいだをつなぐ棒を、連接棒（コネクティングロッド）といいます。ピストン・連接棒・クランク、それにエンジンの枠（固定節）の4つの節（機構をつくる1本1本の部品）でできた仕組みを、ピストンクランク機構といいます。

ピストンがいちばん上に来た所を上死点、いちばん下に来た所を下死点といいます。上死点から下死点までの長さが行程（ストローク）です。

この単元では、クランク半径 $\skiR$ = 40 mm、連接棒の長さ $\skiL$ = 120 mm（クランク半径の3倍）の機構で考えます。クランク角 $\skiTheta$ は、ピストンが上死点にいるときを 0° として、クランクの回る向きに測ります。

クランクが一定の速さで回るとき、ピストンは上死点から下死点まで、半回転（180°）で下ります。では、行程のちょうど半分まで下がるのは、クランクが 90° 回ったときでしょうか。

予想してから読むクランクが上死点から 90°（4分の1回転）回ったとき、ピストンはどこにいる？

A行程のちょうど半分B半分より下死点側（もう半分を過ぎている）C半分より上死点側（まだ半分に届かない）

公式はこれ

$$\skiS = 2\skiR, \qquad \cos\spcThUp = \dfrac{\skiR}{2\skiL}, \qquad \spcThDown = 180^{\circ} - \spcThUp$$

答えは、約 80° です。90° まで回ると、ピストンはもう半分を過ぎています。

なぜ 90° でないのかを、コンパスで見ていきます。

連接棒は、コンパスのように円を描く

長さの決まった棒は、相手のピンのまわりに、円を描くことしかできません。コンパスの脚の長さを決めて、針を刺した点のまわりに円を描くのと同じです。4節リンク（グラスホフの条件） では、関節の位置が「2つの円の交点」で決まりました。ピストンクランク機構では、相手の一方が円ではなく、まっすぐな線になります。

ピストンクランク機構は、次のように考えます。

1. ピストンピン B は、まっすぐな線の上を動く。ピストンは筒の中にあるので、横へは動けません。

2. B は、クランクピン A から、いつも連接棒の長さ $\skiL$ だけ離れている。B は、A を中心とする半径 $\skiL$ の円の上にあります。

3. だから、B は「A を中心とする円」と「ピストンの通る直線」の交点。クランクが回って A が動くと、円も動き、交点の B が筒の中を往復します。

連接棒が無限に長かったら

もし連接棒がとても長ければ、連接棒はいつもほとんど筒と平行です。そのとき、ピストンはクランクピン A を真横から見た影と同じ動きをします。上死点からの下がった量は、

$$\spcX = \skiR\,(1 - \cos\skiTheta)$$

で、90° のときにちょうど $\skiR$、つまり行程の半分です。このような、円を回る点の影の動きを単弦運動といいます。

本物の連接棒は、斜めになる

本物の連接棒は、クランクピン A が横へ出るにつれて、斜めに傾きます。斜めになると、A から筒の中心線までの「横の幅」が増えた分だけ、B は A に引き寄せられ、余計に下がります。

90° のとき、A は中心線から真横に 40 mm 離れています。連接棒 120 mm を斜めに置くと、中心線の向きの長さは $\sqrt{120^2 - 40^2} = 113.1\ \mathrm{mm}$ に縮みます。縮んだのは 120 − 113.1 = 6.9 mm です。

$$\spcX = 40 + 6.9 = 46.9\ \mathrm{mm}$$

ピストンは、単弦運動より 6.9 mm 先へ進んでいます。行程の半分（40 mm）はもう過ぎています。

半分の位置は二等辺三角形で決まる

半分にいるとき、OB は連接棒と同じ長さ

ピストンが上死点にいるとき、クランクの中心 O からピストンピン B までは $\skiR + \skiL$ です。そこから行程の半分、つまり $\skiR$ だけ下がると、OB はちょうど $\skiL$ になります。

連接棒 AB も $\skiL$ です。だから、ピストンが半分にいるとき、三角形 OAB は、OB と AB が等しい二等辺三角形です。

二等辺三角形を半分に割る

二等辺三角形は、頂点 B から底辺 OA へ下ろした線で、ぴったり2つに割れます。底辺 OA（長さ $\skiR$）は、半分の $\skiR/2$ ずつに分かれます。

できた直角三角形の、斜辺は OB = $\skiL$、角 O の隣の辺は $\skiR/2$ です。角 O は、ピストンの通る直線と OA の間の角、つまりクランク角 $\spcThUp$ です。

$$\cos\spcThUp = \dfrac{\skiR/2}{\skiL} = \dfrac{\skiR}{2\skiL}$$

数で確かめる

使う式を先に置いて、この単元の機構の数を入れます。

$$\cos\spcThUp = \dfrac{\skiR}{2\skiL} = \dfrac{40}{2 \times 120} = \dfrac{1}{6} = 0.1667 \qquad\Longrightarrow\qquad \spcThUp = 80.4^{\circ}$$ $$\spcThDown = 180^{\circ} - 80.4^{\circ} = 99.6^{\circ}$$

上死点側の半分を約 80° で、下死点側の半分を約 100° で通ります。同じ 40 mm を、上死点側は2割ほど短い時間で動きます。

連接棒が長くなるほど $\skiR/2\skiL$ は 0 に近づき、$\spcThUp$ は 90° に近づきます。単弦運動は、そのいちばん端の姿です。

最高の速さは、真横の 90° より手前

ピストンの速さ $\spcV$ は、下がった量を時間で割ったものです。式にすると、2つのかたまりに分かれます。

$$\spcV = \skiR\,\skiOmega\,\Bigl(\underbrace{\sin\skiTheta}_{\text{単弦運動の分}} + \underbrace{\dfrac{\skiR\,\sin\skiTheta\cos\skiTheta}{\sqrt{\skiL^2 - \skiR^2\sin^2\skiTheta}}}_{\text{連接棒が傾く分}}\Bigr)$$

1. 単弦運動の分　クランクピン A の速さ $\skiR\skiOmega$ の、筒の向きの成分です。90° で最大の $\skiR\skiOmega$ になります。
2. 連接棒が傾く分　連接棒の傾きが増えていく間（0°〜90°）は、ピストンを余計に下げる向きに働きます。90° で傾きが最大になって止まるので、この分は 0 です。90° を過ぎると、傾きが戻り始め、ピストンを引き止める向きに変わります。

2つを足すと、いちばん大きくなるのは 90° より手前です。この単元の機構では、

$$\spcVmax = 1.055\,\skiR\,\skiOmega \qquad (\skiTheta = 73.2^{\circ})$$

90° のときの速さは、ちょうど $\skiR\skiOmega$ です。最高の速さは、それより5%ほど速く、17° ほど早く来ます。

どの数字がいちばん効く？

この単元の機構（40 mm・120 mm・30 min⁻¹）で、それぞれの数字を1割（10%）だけ大きくしたときの変化です。

行程と速さを決めるのは、クランク半径と回転数です。連接棒の長さは、上死点側と下死点側の動き方の差（80° と 100° の分かれ方）を少し変えるだけです。

角度の分かれ方は、回転数によりません。速く回しても、ゆっくり回しても、上死点側の半分はクランク 80.4° の間に通ります。

自動車のエンジンに戻る

トヨタのカローラ（ハイブリッド車）のエンジン 2ZR-FXE は、カタログの主要諸元で、行程が 88.3 mm、最高出力を出す回転数が 5,200 min⁻¹ です。クランク半径は、行程の半分の 44.15 mm です。

5,200 min⁻¹ は、1秒に約 86.7 回転です。半回転にかかる時間は 5.77 ms（1000分の5.77秒）です。

連接棒の長さはカタログに載っていないので、ここでは仮にクランク半径の3倍とします。上死点から半分までが 2.58 ms、半分から下死点までが 3.19 ms です。同じ 44 mm を、上死点側では 0.6 ms ほど短い時間で動きます。

角速度は $\skiOmega = 2\pi \times 5200/60 = 544.5\ \mathrm{rad/s}$ です。最高の速さを、使う式を先に置いて出します。

$$\spcVmax = 1.055\,\skiR\,\skiOmega = 1.055 \times 0.04415 \times 544.5 = 25.4\ \mathrm{m/s}$$

1秒に 25 m、時速にすると 90 km を超える速さです。この速さで動くピストンが、1回転ごとに上死点と下死点で止まり、向きを変えます。

動かしてみよう

図では、ピストンを横向きに描いています（右が上死点）。クランクが回ると、ピストンが筒の中を往復します。筒の上の緑の三角は、連接棒が無限に長いとき（単弦運動）のピストンピンの位置です。90° のあたりで、本物のピストン（青）が三角より先にいることを見てください。

1つ目の波形は、ピストンの速さです。上死点から離れる向きを正にしています。筒の下の「最高の速さ」の印は、いちばん速くなる位置で、「半分」の印より上死点の側にあります。

いちばん下のグラフは、横軸がクランク角です。実線が本物、破線が単弦運動です。実線は、80° のあたりで「行程の半分」の線を横切ります。

連接棒 $\skiL$ を長くすると、実線は破線に近づきます。短くすると離れます。「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、残した図の波形が薄く重なります。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1連接棒 ℓ を 80 mm（クランク半径の2倍）に縮めて、上死点側の半分の角度を見る（まだ）
2. 2連接棒 ℓ を 200 mm（クランク半径の5倍）にのばして、グラフの実線と破線を比べる（まだ）
3. 3回転数 N を2倍の 60 min⁻¹ にする（r と ℓ は初期値）。答えの欄の最高の速さと、上死点側・下死点側の角度を見る（まだ）

rクランク半径−mm＋

ℓ連接棒の長さ−mm＋

N原動節の回転数−min⁻¹＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.00 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる上死点側の半分を通る間のクランク角は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\cos \htmlClass{q-displacement}{\theta_1} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{r}}{2\htmlClass{q-geometry}{\ell}}$$$$= \dfrac{40}{2 \times 120} = 0.1667$$$$= \htmlClass{q-displacement}{\theta_1} = 80.4^{\circ}$$

行程（ストローク）

$\htmlClass{q-displacement}{s} = 80\ \mathrm{mm}$

上死点側の半分を通る間のクランク角

$\htmlClass{q-displacement}{\theta_1} = 80.4^{\circ}$

下死点側の半分を通る間のクランク角

$\htmlClass{q-displacement}{\theta_2} = 99.6^{\circ}$

最高の速さと rω の比

$\htmlClass{q-flow}{v_{\max}/r\omega} = 1.05\$

最高の速さになるクランク角

$\htmlClass{q-displacement}{\theta_v} = 73.2^{\circ}$

ピストンの最高の速さ

$\htmlClass{q-flow}{v_{\max}} = 133\ \mathrm{mm/s}$

途中の計算（導出）を見る

1. 行程（上死点から下死点まで）

   $$\htmlClass{q-displacement}{s} = 2\htmlClass{q-geometry}{r} = 2 \times 40 = 80\ \mathrm{mm}$$

2. 上死点側の半分を通る間のクランク角（三角形が二等辺になる角）

   $$\cos \htmlClass{q-displacement}{\theta_1} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{r}}{2\htmlClass{q-geometry}{\ell}} = \dfrac{40}{2 \times 120} = 0.1667 = \htmlClass{q-displacement}{\theta_1} = 80.4^{\circ}$$

3. 下死点側の半分を通る間のクランク角（半回転の残り）

   $$\htmlClass{q-displacement}{\theta_2} = 180^{\circ} - \htmlClass{q-displacement}{\theta_1} = 180^{\circ} - 80.4^{\circ} = 99.6^{\circ}$$

4. ピストンの最高の速さ（速さの式がいちばん大きくなるクランク角で）

   $$\htmlClass{q-flow}{v_{\max}} = 1.05\,\htmlClass{q-geometry}{r}\,\htmlClass{q-flow}{\omega} = 1.05 \times 40 \times 3.142\quad(\htmlClass{q-displacement}{\theta_v} = 73.2^{\circ}) = 133\ \mathrm{mm/s}$$

連接棒をクランク半径より短くすると、クランクは1回転できません。A を中心とする円が、ピストンの通る直線に届かなくなる角度があるからです。そのときは、組める範囲の端で止まって引き返します。自分で節を組んでみたい人は、リンク機構のツールで試せます。

よくある勘違い

「クランクが 90° 回ると、ピストンは行程の半分」

連接棒が無限に長いときだけです。本物の連接棒は斜めになるので、90° ではもう半分を過ぎています（この単元の機構で 6.9 mm）。

「ピストンがいちばん速いのは、クランクが真横のとき」

真横（90°）の速さは、ちょうど $\skiR\skiOmega$ です。いちばん速いのは、その手前の約 73° で、$\skiR\skiOmega$ の約 1.05倍です。

「下死点側のほうが、行きと帰りに長くかかる」

上死点から下死点へ下りる間も、下死点から上死点へ上る間も、クランクはちょうど半回転（180°）です。行きと帰りの時間は同じです。違うのは、半回転の中の分かれ方（上死点側の半分 80°、下死点側の半分 100°）だけです。行きと帰りの時間そのものを変える仕組みは、早戻り機構 で見ます。

この公式が使える条件

• ピストンの通る直線が、クランクの中心を通る（ずれ＝オフセットが無い）。ずれがあると、行きと帰りの時間に少し差が出ます
• 連接棒はクランク半径より長い（1回転できる）
• クランクは一定の速さで回る。本物のエンジンでは、燃える行程でクランクが少し速くなります。はずみ車でそのむらを小さくします（機械力学の はずみ車（回転のエネルギー））
• 節は伸び縮みせず、ピンにがたは無い

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

位置：クランクの中心 O を原点に、ピストンの通る直線を x 軸に取ります。クランクピンは A = ($\skiR\cos\skiTheta$, $\skiR\sin\skiTheta$)。ピストンピン B は x 軸の上で、A から $\skiL$ 離れています。A の高さは $\skiR\sin\skiTheta$ なので、三平方の定理で

$$OB = \skiR\cos\skiTheta + \sqrt{\skiL^2 - \skiR^2\sin^2\skiTheta}$$

上死点では OB = $\skiR + \skiL$ です。下がった量はその差です。

$$\spcX = \skiR + \skiL - \skiR\cos\skiTheta - \sqrt{\skiL^2 - \skiR^2\sin^2\skiTheta}$$

半分の角：$\spcX = \skiR$ と置くと、$\skiL - \skiR\cos\skiTheta = \sqrt{\skiL^2 - \skiR^2\sin^2\skiTheta}$。両辺を2乗すると $\skiL^2 - 2\skiL\skiR\cos\skiTheta + \skiR^2\cos^2\skiTheta = \skiL^2 - \skiR^2\sin^2\skiTheta$。$\cos^2 + \sin^2 = 1$ を使うと $\skiR^2 = 2\skiL\skiR\cos\skiTheta$ が残り、$\cos\skiTheta = \skiR/(2\skiL)$ です。二等辺三角形で出した式と同じです。

速さ：$\skiTheta = \skiOmega t$ として、$\spcX$ を時間で微分します。$d\skiTheta/dt = \skiOmega$ なので、

$$\spcV = \dfrac{d\spcX}{dt} = \skiR\,\skiOmega\,\Bigl(\sin\skiTheta + \dfrac{\skiR\sin\skiTheta\cos\skiTheta}{\sqrt{\skiL^2 - \skiR^2\sin^2\skiTheta}}\Bigr)$$

最高の速さの角は、この式の微分を 0 と置いた方程式の解です。きれいな形には解けないので、数値で探しました（このページの計算は、0.01° 刻みで速さを調べた結果と、位置の式を数値微分した結果の両方で確かめています）。

連接棒が長いとき：$\skiL$ に比べて $\skiR$ が小さいと、√ の中はほぼ $\skiL^2$ で、$\spcV \fallingdotseq \skiR\skiOmega\,(\sin\skiTheta + \tfrac{\skiR}{2\skiL}\sin 2\skiTheta)$ と近似できます。第2項（クランクの2倍の速さでゆれる分）が、単弦運動からのずれです。