万力は、手の力を300倍にする送りねじ

万力は、どうして片手で強く締められる？

万力は、工作物をはさんで動かないようにする道具です。ハンドルを回すと、口が少しずつ閉じていきます。

片手でハンドルを回すだけで、木の角材がびくともしなくなります。のこぎりで切っても、やすりをかけても、ずれません。

ハンドルの中には、太いねじが1本通っています。ねじを回すと、ねじごと動く口が、もう片方の動かない口に近づきます。このように、ねじを回して物を送る仕組みを送りねじといいます。

この単元では、次の万力で考えます。ハンドルの腕の半径（ねじの軸から、手で握る所まで）は 100 mm です。ねじは、1回転で 2 mm 進みます。ハンドルの先に、回す向きに 50 N の力をかけます。50 N は、5 kg くらいの物を持ち上げる力です。

口は、工作物を何 N で押すでしょうか。

予想してから読む腕の半径 100 mm、1回転で 2 mm 進むねじ。摩擦がなければ、口が押す力は、ハンドルにかけた力の約何倍？

A50倍B約 157倍C約 314倍

公式はこれ

$$\sonFout = \sonF \times \dfrac{2\pi\,\sonR}{\sonLead}$$

答えは約 15.7 kN です。ハンドルにかけた力の約 314倍で、1.6 t の物の重さと同じくらいの力です（摩擦がないとき）。

1回転で、リードだけ進む

ねじは、坂道を巻いたもの

直角三角形に切った紙を、鉛筆に巻きつけてみます。三角形の斜めの辺が、鉛筆のまわりに、らせんの線を描きます。これが、ねじ山の筋です。

ねじを1回転させると、ねじ山は、坂道を1周ぶん登ります。1周で上がる高さだけ、ねじは軸の向きに進みます。この長さをリードといいます。

リードとピッチ

ねじを横から見ると、山がいくつも並んでいます。となりの山との間隔をピッチ $\sonP$ といいます。

ふつうのねじは、山の筋が1本です（1条ねじ）。1本の筋を1周たどると、となりの山に着くので、リードはピッチと同じです。

筋を2本、3本と並べて巻いたねじもあります（2条ねじ・3条ねじ）。筋の本数を条数 $\sonN$ といいます。2条ねじでは、1本の筋を1周たどると、山を1つ飛ばした先に着きます。

$$\sonLead = \sonP \times \sonN$$

ピッチ 2 mm の2条ねじなら、リードは 4 mm です。同じ山の間隔のまま、1回転で2倍進みます。早く締めたいときに使います。その代わり、このあと見るように、押す力は半分になります。

てんびんで力を読む

トグル機構（小さな力で大きな力） で名前を付けたてんびんを使います。摩擦がなければ、入れた仕事（力 × 動いた量）と、出た仕事は同じです。少ししか動かない側には、大きな力が出ます。

ハンドルを1回転させます。手は、半径 100 mm の円を1周します。

$$\text{手の道のり} = 2\pi\,\sonR = 2\pi \times 100 = 628\ \mathrm{mm}$$

その間に、口はリードの 2 mm だけ進みます。入れた仕事と出た仕事を等しく置きます。

$$\underbrace{50\ \mathrm{N} \times 628\ \mathrm{mm}}_{\text{入れた仕事}} = \underbrace{\sonFout \times 2\ \mathrm{mm}}_{\text{出た仕事}}$$

両辺を 2 mm で割ると、$\sonFout = 50 \times 628 / 2$ です。

$$\sonFout = 50 \times \dfrac{2\pi \times 100}{2} = 50 \times 314 = 15{,}708\ \mathrm{N}$$

手が 628 mm も動くのに、口は 2 mm しか進みません。動く量の比 314 が、そのまま力の比になります。

公式を、2つのかたまりに分けて読む

$$\sonFout = \sonF \times \dfrac{\overbrace{2\pi\,\sonR}^{\text{手の道のり（1回転）}}}{\underbrace{\sonLead}_{\text{口の進み（1回転）}}}$$

1. 手の道のり $2\pi\sonR$　ハンドルの腕を長くすると、1回転で手が動く道のりが長くなり、力は大きくなります。
2. 口の進み $\sonLead$　リードを小さくすると、1回転で口が進む長さが短くなり、力は大きくなります。その代わり、締めるのに何回も回すことになります。

ねじの太さは、式に入っていません。摩擦がなければ、太いねじでも細いねじでも、リードが同じなら同じ力です。

摩擦で、実際はずっと小さくなる

ここまでは、摩擦がないとしてきました。実物のねじは、ねじ山とナットの山がこすれ合いながら進みます。入れた仕事の多くが、こすれ合いで熱になり、口には届きません。

工作機械では、ねじとナットの間に小さな鋼の玉を並べ、玉が転がって進むボールねじを使います。ねじのメーカーの資料では、ボールねじの効率（入れた仕事のうち、出た仕事になる割合）は、90% をこえます。そして、ふつうのすべりねじでは、同じだけ押すのに、ボールねじの3倍以上のトルクがいるとしています。

万力のねじは、すべりねじです。だから、実際に口が押す力は、314倍よりずっと小さくなります。

摩擦には、よい面もあります。すべりねじの万力は、口が工作物に押し返されても、ハンドルは回り戻りません。ねじ山の摩擦が、戻ろうとする回転を止めているからです。手をはなしても、工作物は、はさまれたままです。

工作機械のテーブル送り

工作機械のテーブルも、送りねじで動かします。テーブルの下にねじを通し、ねじの端のモータで回します。

送りねじのよいところは、回した角度で、進む長さが決まることです。リード 10 mm のねじなら、1回転で 10 mm、半回転で 5 mm 進みます。0.01 mm だけ動かしたいなら、1回転の 1000分の1、つまり 0.36° だけ回せば済みます。

モータが 600 min⁻¹ で回れば、テーブルは1秒に 100 mm 進みます。速く動かすことも、細かく止めることも、モータの回し方だけで決められます。モータの回転数とトルクについては、トルクと回転数 で見ます。

差動ねじ：リードの差で、さらに細かく

もっと細かく送りたいとき、リードを小さくするのが素直なやり方です。でも、リードの小さいねじは山が細く、すぐにつぶれます。

そこで、1本の軸に、同じ向きに巻いた2つのねじを切ります。片方はリード 1.5 mm で、枠のナットにかみ合います。もう片方はリード 1.25 mm で、回らないように止めた押し棒のナットにかみ合います。

軸を1回転させると、軸は枠に対して 1.5 mm 進みます。同時に、押し棒は軸に対して 1.25 mm 戻ります。差し引きで、押し棒は 0.25 mm だけ進みます。

$$\text{1回転の進み} = 1.5 - 1.25 = 0.25\ \mathrm{mm}$$

これを差動ねじといいます。山の大きさは 1.25 mm と 1.5 mm のまま、0.25 mm のねじと同じ細かさで送れます。てんびんで読むと、力もそのぶん大きくなります。

どの数字がいちばん効く？

この単元の万力（腕 100 mm・リード 2 mm・50 N）から、それぞれの数字を1割（10%）だけ変えます。

効き方は、どれも同じくらいです。腕を長くするか、リードを小さくするか、力を強くするか。どれを選んでも、引き換えに何かが増えます（ハンドルの大きさ・回す回数・手の疲れ）。

万力に戻る

万力のハンドルを回すと、手は大きな円を描き、口は少しずつしか進みません。腕 100 mm・リード 2 mm なら、手が 628 mm 動く間に、口は 2 mm です。この動く量の比 314 が、摩擦がないときの力の倍率です。実物では、ねじ山の摩擦で、力はこれよりずっと小さくなります。それでも、片手の力で工作物を強くはさめます。

車のタイヤを替えるときに使うジャッキにも、ねじを回して車体を持ち上げるものがあります。ハンドルを何回も回して、重い車体を少しずつ持ち上げます。

動かしてみよう

再生すると、ハンドルが3回転して、動く口がものさしの上を進みます。口の動きは小さいので、図では5倍に拡大しています。

条数 $\sonN$ を 2 にすると、同じ3回転で、口が2倍進みます。そのとき、結果の欄の「口が押す力」は半分になります。腕の半径 $\sonR$ を変えても、口の進み方は変わらず、力だけが変わります。

いちばん下の「差動ねじの2本目」を選ぶと、差動ねじになります。ピッチ $\sonP$ を 1.5 mm、2本目を 1.25 mm にすると、口は1回転で 0.25 mm しか進みません。図の万力は1本のねじのまま描き、進み方だけを差動ねじに合わせています。

「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、残した図の波形が薄く重なり、比べられます。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1条数 n を 2 にする（ピッチ P は 2 mm のまま）。再生して、3回転で口がものさしの何 mm まで進むかを見る（まだ）
2. 2ハンドルの腕の半径 R を2倍の 200 mm にする。結果の欄の「口が押す力」を見る（まだ）
3. 3ピッチ P を 1.5 mm にし、差動ねじの2本目を「差動 1.25 mm」にする。1回転の進みと、力の倍率を見る（まだ）

Rハンドルの腕の半径−mm＋

Pピッチ（となりのねじ山の間隔）−mm＋

n条数（ねじ山の筋の数）−＋

Fハンドルにかける力−N＋

Nハンドルの回転数−min⁻¹＋

L2差動ねじの2本目のリード（押し棒の側）

なし（1本のねじ）差動 1.25 mm差動 1.5 mm差動 1.75 mm

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.00 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる口が押す力（摩擦なし）は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-force}{F_{\mathrm{out}}} = \htmlClass{q-force}{F} \times \dfrac{2\pi \htmlClass{q-geometry}{R}}{\htmlClass{q-displacement}{L}}$$$$= 50 \times 314.2$$$$= 15.71\ \mathrm{kN}$$

リード（1回転で進む長さ）

$\htmlClass{q-displacement}{L} = 2\ \mathrm{mm}$

力の倍率（摩擦なし）

$\htmlClass{q-force}{F_{\mathrm{out}}/F} = 314.2\$

口が押す力（摩擦なし）

$\htmlClass{q-force}{F_{\mathrm{out}}} = 15.71\ \mathrm{kN}$

口の進む速さ

$\htmlClass{q-flow}{v} = 1\ \mathrm{mm/s}$

途中の計算（導出）を見る

1. リード（1回転で進む長さ。ピッチ × 条数）

   $$\htmlClass{q-displacement}{L} = \htmlClass{q-geometry}{P} \times \htmlClass{q-geometry}{n} = 2 \times 1 = 2\ \mathrm{mm}$$

2. 力の倍率（1回転で手が進む道のり ÷ 口が進む長さ）

   $$\htmlClass{q-force}{F_{\mathrm{out}}/F} = \dfrac{2\pi \htmlClass{q-geometry}{R}}{\htmlClass{q-displacement}{L}} = \dfrac{2\pi \times 100}{2} = 314.2$$

3. 口が押す力（摩擦なし。入れた仕事＝出た仕事）

   $$\htmlClass{q-force}{F_{\mathrm{out}}} = \htmlClass{q-force}{F} \times \dfrac{2\pi \htmlClass{q-geometry}{R}}{\htmlClass{q-displacement}{L}} = 50 \times 314.2 = 15.71\ \mathrm{kN}$$

4. 口の進む速さ（1分に N 回転）

   $$\htmlClass{q-flow}{v} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{L}\,\htmlClass{q-flow}{N}}{60} = \dfrac{2 \times 30}{60} = 1\ \mathrm{mm/s}$$

よくある勘違い

「リードとピッチは、同じもの」

同じになるのは、1条ねじのときだけです。

力の倍率に入るのは、リードのほうです。

「ハンドルを速く回すと、強く締まる」

速く回しても、口が押す力は変わりません。速さで変わるのは、口が進む速さだけです。力を決めるのは、ハンドルにかける力と、腕の長さと、リードです。

「力が 314倍なら、得をしている」

得はしていません。力が 314倍になる代わりに、口の進みは、手の動きの 314分の1です。口を 30 mm 閉じるには、リード 2 mm のねじを 15回まわします。入れた仕事と出た仕事は同じで、摩擦があれば、出た仕事はもっと少なくなります。

この公式が使える条件

• 摩擦を考えない（実際の力は、すべりねじではずっと小さく、ボールねじでも少し小さい）
• 止まっているか、ゆっくり回すとき（静的）
• ハンドルの力は、腕に直角に、回す向きにかける
• ねじやナットは縮まない、ゆるみ（がた）がない

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

斜面に開いて導く：ねじ山の平均の半径を $r$ とします。ねじ山を1周ぶん切り開いて平らにすると、横 $2\pi r$・高さ $\sonLead$ の坂道（斜面）になります。坂の傾き（リード角）$\lambda$ は、

$$\tan\lambda = \dfrac{\sonLead}{2\pi r}$$

ハンドルの力 $\sonF$ は、ねじ山の上では、周の向きの力 $F_t$ になります。回す効き目（力 × 軸からの距離）が同じなので、$F_t\,r = \sonF\,\sonR$ です。

摩擦がないので、ナットの山は、斜面に直角な力 $N$ だけで押し返します。周の向きでは $N\sin\lambda = F_t$、軸の向きでは $N\cos\lambda = \sonFout$ です。割り算すると、

$$\sonFout = \dfrac{F_t}{\tan\lambda} = \dfrac{\sonF\,\sonR}{r} \times \dfrac{2\pi r}{\sonLead} = \sonF\,\dfrac{2\pi\,\sonR}{\sonLead}$$

ねじ山の半径 $r$ が消えて、てんびんで出した式と同じになります。ねじの太さが式に入らないのは、このためです。

摩擦があるとき：摩擦があると、ナットの山は、斜面に直角な力に加えて、すべりを止める向きの力も出します。その分だけ、同じ $\sonF$ で出せる $\sonFout$ は小さくなります。どれだけ小さくなるかは、リード角と、ねじ山の摩擦の大きさで決まります。