モータは、重くするほど遅くなるトルクと回転数

模型のモータで、車輪はどれだけ速く回る？

模型の車やロボットの工作キットには、銀色の小さな円筒形のモータが入っています。電池をつなぐと、細い軸が勢いよく回ります。直流モータです。

この単元では、1つのモータで考えます。マブチモーター FA-130RA の、1.5 V で使う型（FA-130RA-2270）です。メーカーのデータシートには、次の2つの数が載っています。

• 何もつながずに回したときの回転数（無負荷回転数）：9,100 min⁻¹
• 軸を押さえて止めたときに出ているトルク（停動トルク）：2.55 mN·m

1 mN·m は 0.001 N·m です。このモータの軸の直径は 2.0 mm なので、半径は 1 mm。停動トルク 2.55 mN·m は、軸の表面で 2.55 N の力にあたります。約 260 g の物の重さです。

模型の車が走っているとき、車輪を回すために、モータの軸には 1.0 mN·m の負荷のトルクがかかるとします。モータは何 min⁻¹ で回るでしょうか。そして、5,000 min⁻¹ 以上で回したいとき、このモータで足りるでしょうか。

予想してから読むこのモータ（無負荷 9,100 min⁻¹・停動トルク 2.55 mN·m）の出力がいちばん大きくなるのは、負荷のトルクがいくつのとき？

A0（何もつながないとき）B1.275 mN·m（停動トルクの半分）C2.55 mN·m（停動トルク）

軸を指でつまむと、回転が落ちる

回っているモータの軸の先を、指で軽くつまんでみます。回転が少し落ちて、音が低くなります。強くつまむほど、回転は落ちます。もっと強くつまむと、止まってしまいます。

指が軸を押さえるトルクが、モータにとっての負荷のトルク $\stkTL$ です。負荷のトルクと回転数の関係を、グラフにしたものを N–T 線図といいます。

直流モータの N–T 線図は、ほぼ直線です。トルク 0 のときが無負荷回転数 $\stkNZero$、回転 0 のときが停動トルク $\stkTs$。この2点を結ぶ直線の上を、負荷に応じて動きます。

$$\sksN = \stkNZero\left(1 - \dfrac{\stkTL}{\stkTs}\right)$$

1.0 mN·m は、停動トルクの約 39% です。回転数は、無負荷から 39% 落ちて、$9{,}100 \times (1 - 1.0/2.55) = 5{,}531\ \mathrm{min^{-1}}$ になります。

データシートには、もう1つの点も載っています。効率がいちばんよいときの、トルク 0.59 mN·m・回転数 6,990 min⁻¹ です。直線の式に 0.59 mN·m を入れると 6,995 min⁻¹ で、ほぼ同じです。直線と考えてよいことが分かります。

直線になる理由は、モータの中で起きていることにあります。モータは回ると、発電機にもなります。回るほど、電池と逆向きの電圧が生まれ、流れる電流が減ります。モータのトルクは電流に比例するので、速く回るほどトルクが小さくなります。式は、下の「式の導き方」に畳んであります。

出力＝トルク×角速度

トルクが大きくても、回っていなければ仕事はしません。回転が速くても、トルクが 0 なら、何も回せません。モータが1秒にする仕事（出力）は、2つの積です。

$$\sksP = \stkTL\,\stkOmega, \qquad \stkOmega = \dfrac{2\pi\,\sksN}{60}$$

$\stkOmega$ は角速度で、1秒に回る角度 [rad/s] です。回転数 [min⁻¹] は1分に回る回数なので、1回転の角度 $2\pi$ を掛けて、60 で割ります。

5,531 min⁻¹ は、$2\pi \times 5{,}531/60 = 579.2\ \mathrm{rad/s}$ です。トルクを N·m に直して掛けます。

$$\sksP = 0.0010\ \mathrm{N\cdot m} \times 579.2\ \mathrm{rad/s} = 0.579\ \mathrm{W}$$

1 W は、1秒に 1 J の仕事です。0.579 W は、100 g の物（重さ 0.981 N）を、1秒に約 59 cm ずつ持ち上げ続ける仕事の速さにあたります。

出力がいちばん大きいのは半分のとき

負荷のトルクを 0 から増やしていくと、出力はどう変わるでしょうか。トルクは増えますが、回転は落ちます。

N–T 線図の上で、原点といまの点を角にした長方形を描きます。横の長さがトルク、縦の長さが回転数です。その面積「トルク × 回転数」が、出力に比例します。

直線の下に入る長方形で、面積がいちばん大きいのは、縦も横もちょうど半分のときです。だから出力は、停動トルクの半分・無負荷回転数の半分のときに、いちばん大きくなります。

$$\stkPmax = \dfrac{\stkTs}{2} \times \dfrac{\omega_0}{2} = \dfrac{0.00255}{2} \times \dfrac{952.9}{2} = 0.608\ \mathrm{W}$$

$\omega_0$ は、無負荷回転数 9,100 min⁻¹ を角速度に直した 952.9 rad/s です。両端の0から、山形に上がって下がります。シミュレータの右の図で、山の形を見られます。

てんびん：歯車で、出力をトルクに替える

模型の車は、モータで車輪をじかに回しません。4,550 min⁻¹ では速すぎ、1.275 mN·m では小さすぎるからです。間に歯車箱（減速機）を入れます。

トグル機構（小さな力で大きな力） で名前を付けたてんびんを、回転で使います。摩擦がなければ、入れた仕事＝出た仕事。1秒あたりで言えば、入れた出力＝出た出力です。

回転を 1/50 に落とす歯車箱なら、4,550 min⁻¹ は 91 min⁻¹ になり、1.275 mN·m は 50倍の 63.75 mN·m になります。出力は 0.608 W のままです。歯車で替えられるのは、トルクと回転数の配分だけです。出力そのものは増えません。

だから、モータを選ぶときは、まず出力が足りるかを見ます。そのうえで、歯車でトルクと回転数を合わせます。歯数と回転の比は 歯数比とトルク で、歯車を付けたときの選び方は 減速機とモータの選び方 で見ます。

式を、かたまりに分けて読む

$$\sksP = \underbrace{\stkTL}_{\text{かける負荷}} \times \underbrace{\dfrac{2\pi \stkNZero}{60}}_{\text{無負荷の速さ}} \times \underbrace{\left(1 - \dfrac{\stkTL}{\stkTs}\right)}_{\text{負荷で落ちる割合}}$$

1. かける負荷 $\stkTL$　負荷を2倍にすると、この部分は2倍です。
2. 無負荷の速さ　モータが持っている、いちばん速い回転です。電圧を上げると、ほぼ比例して上がります。
3. 負荷で落ちる割合　負荷が停動トルクに近づくほど、0 に近づきます。1. と 3. が引っぱり合うので、出力に山ができます。

どの数字がいちばん効く？

負荷 1.0 mN·m で回しているところから、それぞれの数字を10%変えたとき、出力がどう変わるかを並べます。

いちばん効くのは、モータそのものの力（無負荷回転数と停動トルク）です。負荷の側を少し変えても、出力はあまり変わりません。とくに山の頂上の近くでは、負荷が多少ずれても、出力はほとんど同じです。

模型の車に戻る

最初の問いに答えます。モータの軸に 1.0 mN·m の負荷がかかるとき、

$$\sksN = 9{,}100 \times \left(1 - \dfrac{1.0}{2.55}\right) = 5{,}531\ \mathrm{min^{-1}}$$

で回ります。5,000 min⁻¹ 以上という条件に、足ります。出力は 0.579 W で、このモータが出せる最大 0.608 W の 95% です。

負荷 1.0 mN·m は、停動トルクの半分（1.275 mN·m）より軽い側です。軽い側で回すと、流れる電流が少なく、モータが熱くなりにくくなります。負荷が半分を越えて重くなったら、歯車の比を大きくして、モータの軸のトルクを減らします。

モータが回すものは、車輪だけではありません。送りねじ では、モータの回転をねじで直線の動きに替えて、工作機械のテーブルを送ります。そこでも、テーブルを押す力と速さの積が、モータの出力から出ています。

動かしてみよう

負荷のトルク $\stkTL$ のスライダーを、0 から右へ動かしてみてください。左の図の点が直線の上を下がり、長方形の形が変わります。右の図では、出力の点が山を登って下ります。

次に、無負荷回転数 $\stkNZero$ や停動トルク $\stkTs$ を変えて、別のモータにしてみてください。3 V で使う型（FA-130RA-18100）は、無負荷 12,300 min⁻¹・停動トルク 3.53 mN·m です。

目標の回転数 $\stkNreq$ は、N–T 線図に緑の横線で出ます。たとえば毎分 5,000 回転を保ちたいなら、直線と横線の交わる所から、負荷は 1.15 mN·m までに抑えます（$2.55 \times (1 - 5000/9100) = 1.15$）。

「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、残した直線と山が薄く重なります。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1負荷のトルク TL を、データシートの「最大効率のとき」の 0.59 mN·m にする（まだ）
2. 2負荷のトルク TL を、停動トルクのちょうど半分の 1.275 mN·m にする（まだ）
3. 3負荷のトルク TL を、停動トルクと同じ 2.55 mN·m にする（まだ）

N0無負荷回転数−min⁻¹＋

Ts停動トルク−mN·m＋

TL負荷のトルク−mN·m＋

Nreq目標の回転数−min⁻¹＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる動力は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-flow}{P} = \htmlClass{q-moment}{T_L}\,\htmlClass{q-flow}{\omega}$$$$= 0.001 \times 579.2$$$$= 0.579\ \mathrm{W}$$

回転数

$\htmlClass{q-flow}{N} = 5{,}531\ \mathrm{min^{-1}}$

角速度

$\htmlClass{q-flow}{\omega} = 579.2\ \mathrm{rad/s}$

動力

$\htmlClass{q-flow}{P} = 0.579\ \mathrm{W}$

最大出力（停動トルクの半分で回すとき）

$\htmlClass{q-flow}{P_{\max}} = 0.608\ \mathrm{W}$

最大出力に対する割合

$\htmlClass{q-flow}{P/P_{\max}} = 95.3\ \%$

途中の計算（導出）を見る

1. N–T 線図（直線）から、いまの回転数を読む

   $$\htmlClass{q-flow}{N} = \htmlClass{q-flow}{N_0}\left(1 - \dfrac{\htmlClass{q-moment}{T_L}}{\htmlClass{q-moment}{T_s}}\right) = 9{,}100 \times \left(1 - \dfrac{1}{2.55}\right) = 5{,}531\ \mathrm{min^{-1}}$$

2. 1分の回転数を、1秒に回る角度（角速度）に直す

   $$\htmlClass{q-flow}{\omega} = \dfrac{2\pi\,\htmlClass{q-flow}{N}}{60} = \dfrac{2\pi \times 5{,}531}{60} = 579.2\ \mathrm{rad/s}$$

3. 出力＝トルク×角速度

   $$\htmlClass{q-flow}{P} = \htmlClass{q-moment}{T_L}\,\htmlClass{q-flow}{\omega} = 0.001 \times 579.2 = 0.579\ \mathrm{W}$$

4. いちばん出せる出力（停動トルクの半分・無負荷回転数の半分）と比べる

   $$\htmlClass{q-flow}{P_{\max}} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{T_s}}{2}\cdot\dfrac{\omega_0}{2} = \dfrac{0.00255}{2} \times \dfrac{952.9}{2} = 0.608\ \mathrm{W}\quad(\htmlClass{q-flow}{P}/\htmlClass{q-flow}{P_{\max}} = 95.3\%)$$

よくある勘違い

「トルクがいちばん大きいとき、いちばん力強く働いている」

トルクがいちばん大きいのは、止まっているときです。そのとき、出力は 0 です。

壁を力いっぱい押しても、壁が動かなければ、仕事はしていません。モータも同じです。

「回転数が高いモータほど、強いモータ」

無負荷回転数は、何も回していないときの速さです。9,100 min⁻¹ より 12,300 min⁻¹ のほうが強いとは、回転数だけでは言えません。比べるなら出力で、最大出力は「停動トルク × 無負荷回転数」で決まります。

「いちばん出力が出る点で、ずっと回すのがよい」

半分の点の効率は、約 34% です。入れた電力の3分の2が熱になります。効率がいちばんよいのは、もっと軽い 0.59 mN·m のあたりで、約 43% です。長く回すときは、こちらに近い側で使います。

この式が使える条件

• 直流のブラシ付きモータで、電圧が一定（電圧を変えると、無負荷回転数と停動トルクがほぼ比例して変わる）
• 回転が一定になったあと（回り始めの加速の間は、減速機とモータの選び方 で見る）
• モータの温度が上がっていない（熱くなると、停動トルクが下がる）
• データシートの値は、そのモータの代表の値（1個ずつ、少しばらつく）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

直線になる理由：モータに電圧 $V$ をかけると、巻き線の抵抗 $R$ に電流 $I$ が流れます。回っているモータの中では、角速度に比例した逆向きの電圧 $k\,\stkOmega$ が生まれます（逆起電力）。電圧の釣り合いは、

$$V = R\,I + k\,\stkOmega$$

モータのトルクは電流に比例し、$T = k\,I$ です（どちらも同じ定数 $k$ になります）。$I = T/k$ を入れて、$\stkOmega$ について解くと、

$$\stkOmega = \dfrac{V}{k} - \dfrac{R}{k^2}\,T$$

$T$ の1次式なので、直線です。$T = 0$ のとき $\omega_0 = V/k$（無負荷）、$\stkOmega = 0$ のとき $\stkTs = kV/R$（停動）。どちらも電圧 $V$ に比例します。

半分で最大になる理由：$x = \stkTL/\stkTs$ とおくと、出力は

$$\sksP = \stkTs\,\omega_0\,x\,(1 - x)$$

$x(1-x)$ は、$x = 1/2$ で最大の $1/4$ になります（$x(1-x) = \tfrac14 - (x - \tfrac12)^2$）。だから $\stkPmax = \stkTs\,\omega_0/4$ です。

効率が最大になる点：電流も直線で、$I = I_0 + (I_s - I_0)\,x$（$I_0$ は無負荷電流、$I_s$ は停動電流）。効率 $\eta = \sksP/(V I)$ は $x(1-x)/(a + x)$ に比例します（$a = I_0/(I_s - I_0)$）。微分して 0 とおくと $x^2 + 2ax - a = 0$、つまり $x = -a + \sqrt{a^2 + a}$。このモータでは $a = 0.20/2.00 = 0.1$ で $x = 0.232$、トルクは 0.59 mN·m です。データシートの最大効率の点と同じになります。