重さは外に寄せるほど、回転がなめらかになるはずみ車（回転のエネルギー）

エンジンの回転は、なぜむらにならない？

足踏みミシン、プレス機、陶芸のろくろ、そして小さなエンジン。どれにも、重い車輪が付いています。はずみ車（フライホイール）です。

たとえば、ピストンが1つだけの単気筒エンジン。4ストロークのエンジンでは、クランク軸が2回転する間に、燃料が燃えてピストンを押す（爆発する）のは1回だけです。残りの間は、ピストンが空気を吸い込み、押し縮め、吐き出します。そのぶん、軸は押し返されます。

爆発のたびに軸は速くなり、それ以外の間は遅くなります。このままでは、回転がむらになります。むらが大きいと、エンジンががくがく揺れ、つないだ機械もうまく動きません。

はずみ車は、速くなるときにエネルギーを受け取り、遅くなるときに返します。回転のむらを、ならす部品です。

この単元では、1つのはずみ車で考えます。直径 300 mm・厚さ約 18 mm の鋼の円板で、質量は 10 kg。1,500 min⁻¹ で回っています。1回の爆発で、はずみ車は 100 J を受け取り、次の爆発までに返すとします。

回転数は、どれだけむらになるでしょうか。同じ 10 kg を外周に寄せた輪にしたら、どう変わるでしょうか。

予想してから読む同じ 10 kg・直径 300 mm のまま、円板を、外周に質量を集めた細い輪に替えると、回転のむらは？

A変わらないB半分C4分の1

回る物は、エネルギーをためている

慣性モーメント（回しにくさ） の単元で、回しにくさ $\skrJ$ を「質量 × 軸からの距離²」の合計と決めました。この $\skrJ$ を使うと、回る物のエネルギーが、1行で書けます。

$$\skrEk = \dfrac{1}{2}\,\skrJ\,\skrOmega^2$$

まっすぐ動く物の運動エネルギー $\tfrac{1}{2}\skrm v^2$ と、同じ形です。質量 $\skrm$ の代わりに回しにくさ $\skrJ$、速さ $v$ の代わりに角速度 $\skrOmega$（1秒に回る角度 [rad/s]）が入ります。

なぜ同じ形になるかは、かけら1つで見ると分かります。軸から距離 $r$ のかけらは、速さ $v = r\skrOmega$ で円を描いて動きます。運動エネルギーは $\tfrac{1}{2}\Delta m\,(r\skrOmega)^2 = \tfrac{1}{2}(\Delta m\,r^2)\skrOmega^2$。全部のかけらで足すと、かっこの中が $\skrJ$ になります。

はずみ車で確かめる。まず、回しにくさと角速度です。

$$\skrJ = \dfrac{\skrm\,r^2}{2} = \dfrac{10 \times 0.15^2}{2} = 0.1125\ \mathrm{kg\cdot m^2},\qquad \skrOmega = \dfrac{2\pi \times 1500}{60} = 157.1\ \mathrm{rad/s}$$ $$\skrEk = \dfrac{1}{2} \times 0.1125 \times 157.1^2 = 1{,}388\ \mathrm{J}$$

1,388 J は、このはずみ車（10 kg）そのものを、約 14 m の高さまで持ち上げるのと同じエネルギーです。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\skrEk = \underbrace{\dfrac{1}{2}}_{\text{運動エネルギーの形}} \times \underbrace{\skrJ}_{\text{回しにくさ}} \times \underbrace{\skrOmega^2}_{\text{回る速さの2乗}}$$

1. 1/2　まっすぐ動くときの $\tfrac{1}{2}\skrm v^2$ と同じ 1/2 です。速さを0から少しずつ上げていくと、平均の速さは最後の速さの半分になる、というところから来ます。
2. 回しにくさ $\skrJ$　回しにくい物ほど、同じ速さで多くのエネルギーをためます。質量が同じなら、外周に寄せた物ほど大きくなります。
3. 回る速さの2乗 $\skrOmega^2$　いちばん効くかたまりです。

回転を2倍速くすると。3,000 min⁻¹ にすると、$\skrOmega$ が2倍、エネルギーは $2^2 = 4$ 倍の 5,552 J です。同じはずみ車でも、速く回すほど、ずっと多くためられます。

回転のむらを、数で表す

1回の爆発で、はずみ車が受け取るエネルギーを $\shzDE$ とします。受け取ると速くなり、返すと遅くなります。いちばん速いときの角速度を $\skrOmega_{\max}$、いちばん遅いときを $\skrOmega_{\min}$ とすると、エネルギーの差が $\shzDE$ です。

$$\shzDE = \dfrac{1}{2}\skrJ\,\skrOmega_{\max}^2 - \dfrac{1}{2}\skrJ\,\skrOmega_{\min}^2$$

1段ずつ変形します。2乗の差は「和 × 差」に分けられます。

$$\shzDE = \dfrac{1}{2}\skrJ\,(\skrOmega_{\max} + \skrOmega_{\min})(\skrOmega_{\max} - \skrOmega_{\min})$$

$(\skrOmega_{\max} + \skrOmega_{\min})/2$ は、最大と最小の平均です。これを平均の角速度 $\shzOmegaM$ と呼ぶと、

$$\shzDE = \skrJ\,\shzOmegaM\,(\skrOmega_{\max} - \skrOmega_{\min})$$

速さの振れ $\skrOmega_{\max} - \skrOmega_{\min}$ を、平均の何割かで表したものが、回転のむらです。名前は速度変動率 $\shzDelta$ といいます。両辺を $\skrJ\,\shzOmegaM^2$ で割ると、

$$\shzDelta = \dfrac{\skrOmega_{\max} - \skrOmega_{\min}}{\shzOmegaM} = \underbrace{\dfrac{\shzDE}{\skrJ\,\shzOmegaM^2}}_{\text{出し入れ} \,\div\, \text{回しにくさ} \,\times\, \text{速さ}^2}$$

分母の $\skrJ\,\shzOmegaM^2$ は、ためているエネルギー $\skrEk$ の2倍です。だから、むらは「出し入れするエネルギー ÷ ためているエネルギーの2倍」とも読めます。たくさんためている車ほど、少し出し入れしても、速さはほとんど変わりません。

はずみ車で確かめる。使う式は $\shzDelta = \shzDE/(\skrJ\,\shzOmegaM^2)$ です。

$$\shzDelta = \dfrac{100}{0.1125 \times 157.1^2} = 0.0360 = 3.60\%$$

回転数でいうと、1,500 min⁻¹ の 3.60% で、最大と最小の差は 54.0 min⁻¹ です。約 1,473 min⁻¹ から 1,527 min⁻¹ の間で、速くなったり遅くなったりします。

外周に寄せるとむらが減る

同じ 10 kg の鋼を、直径 300 mm のまま、外周に集めた細い輪にします（細いスポークで軸につなぎます）。慣性モーメントの単元で見たとおり、細い輪の $\skrJ = \skrm r^2$ は、円板の2倍です。

$$\skrJ_{\text{輪}} = 10 \times 0.15^2 = 0.225\ \mathrm{kg\cdot m^2}$$

むらは $\skrJ$ に反比例するので、半分の 1.80% です。質量は1グラムも増やしていません。置き場所を変えただけです。

反対に、むらを 3.60% のままでよいなら、細い輪は半分の 5 kg で済みます。古い蒸気機関や足踏みミシンのはずみ車が、太い縁と細いスポークでできているのは、このためです。

どの数字がいちばん効く？

はずみ車（10 kg の円板・半径 150 mm・1,500 min⁻¹・出し入れ 100 J）で、それぞれを1割（10%）だけ増やしたときの変化です。

回転数と半径は、どちらも2乗で効きます。質量の約2倍です。むらを減らしたいなら、重くするより、速く回すか、外周に寄せるほうが効きます。

単気筒エンジンに戻る

最初の問いに戻ります。直径 300 mm・10 kg の鋼の円板が、1,500 min⁻¹ で回り、1回の爆発で 100 J を出し入れします。

• 円板のままなら、むらは 3.60%。回転数は約 1,473〜1,527 min⁻¹ の間で変わります。
• 同じ 10 kg を外周に集めた輪にすると、むらは半分の 1.80%。
• 円板のまま、回転を2倍の 3,000 min⁻¹ にすると、ためているエネルギーは4倍の 5,552 J。むらは 1/4 の 0.901% です（爆発1回の 100 J は変えないとして）。

動かしてみよう

盤のはずみ車は、1回の行程（クランク軸が2回転する間）ごとに、少し速くなったり遅くなったりしながら回っています。実際には1秒に25回転なので、1/20 の速さで見せています。

回転計の針は、いまの回転数が平均から何 % ずれているかです。針が振れる幅が、むら $\shzDelta$ です。下の波形の山と谷の差も、同じ $\shzDelta$ です。

内側の半径 $\shzRi$ を大きくすると、同じ質量のまま、外周に寄せた輪になります。回転数 $\skrN$ も変えてみてください。初期値の波形を薄く重ねているので、山がどれだけ低くなるかが分かります。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1回転数 N を2倍の 3,000 min⁻¹ にして、結果の欄の「回転のエネルギー」を見る（円板のまま）（まだ）
2. 2回転数を 1,500 min⁻¹ に戻し、内側の半径 ri を 150 mm にして、同じ 10 kg を外周に集める。回転計の針の振れ幅を見る（まだ）
3. 3細い輪のまま「いまの図を残して比べる」を押し、回転数を2倍の 3,000 min⁻¹ にする。波形の山の高さを、残した波形と比べる（まだ）

m質量−kg＋

r外側の半径−mm＋

ri内側の半径（0 なら円板）−mm＋

N回転数−min⁻¹＋

dE1回に出し入れするエネルギー−J＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.0000 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる速度変動率（回転のむら）は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-flow}{\delta} = \dfrac{\htmlClass{q-heat}{\Delta E}}{\htmlClass{q-material}{J}\,\htmlClass{q-flow}{\omega_m}^2}$$$$= \dfrac{100}{0.1125 \times 157.1^2}$$$$= 3.6\ \%$$

慣性モーメント

$\htmlClass{q-material}{J} = 0.1125\ \mathrm{kg\cdot m^2}$

平均の角速度

$\htmlClass{q-flow}{\omega_m} = 157.1\ \mathrm{rad/s}$

運動エネルギー

$\htmlClass{q-heat}{E} = 1{,}388\ \mathrm{J}$

速度変動率（回転のむら）

$\htmlClass{q-flow}{\delta} = 3.6\ \%$

回転数の最大と最小の差

$\htmlClass{q-flow}{\Delta N} = 54\ \mathrm{min^{-1}}$

途中の計算（導出）を見る

1. 慣性モーメント（円板）

   $$\htmlClass{q-material}{J} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{m}\,(\htmlClass{q-geometry}{r}^2 + \htmlClass{q-geometry}{r_i}^2)}{2} = \dfrac{10 \times (0.15^2 + 0^2)}{2} = 0.1125\ \mathrm{kg\cdot m^2}$$

2. 平均の角速度（回転数を rad/s に直す）

   $$\htmlClass{q-flow}{\omega_m} = \dfrac{2\pi\,\htmlClass{q-flow}{N}}{60} = \dfrac{2\pi \times 1{,}500}{60} = 157.1\ \mathrm{rad/s}$$

3. 回転のエネルギー

   $$\htmlClass{q-heat}{E} = \dfrac{1}{2}\,\htmlClass{q-material}{J}\,\htmlClass{q-flow}{\omega_m}^2 = \dfrac{1}{2} \times 0.1125 \times 157.1^2 = 1{,}388\ \mathrm{J}$$

4. 回転のむら（速度変動率）

   $$\htmlClass{q-flow}{\delta} = \dfrac{\htmlClass{q-heat}{\Delta E}}{\htmlClass{q-material}{J}\,\htmlClass{q-flow}{\omega_m}^2} = \dfrac{100}{0.1125 \times 157.1^2} = 3.6\ \%$$

5. 回転数の最大と最小の差

   $$\htmlClass{q-flow}{\Delta N} = \htmlClass{q-flow}{\delta}\,\htmlClass{q-flow}{N} = 0.036 \times 1{,}500 = 54\ \mathrm{min^{-1}}$$

よくある勘違い

「はずみ車は、重いほどよい」

効くのは、重さではなく回しにくさ $\skrJ$ です。同じ質量でも、軸の近くに置いた分は、ほとんど働きません。外周に寄せれば、半分の質量で同じむらになります。

「2倍速く回せば、エネルギーも2倍」

エネルギーは、回る速さの2乗で決まります。2倍速く回すと4倍です。ブレーキで止めるときに出る熱も、4倍になります。

「速度変動率は、ゆれの大きさ」

速度変動率は、回る速さが、平均の何割だけ上下するかを表す数です。軸や機械が揺れる大きさではありません。ただし、むらが大きいと、機械が揺れる原因になります。揺れそのものは、振動の章（1自由度の自由振動（ばねと質量） から）で扱います。

この公式が使える条件

• はずみ車は変形しない（剛体）。厚さは一様（輪のスポークの質量は考えない）
• むらは小さく、1回に出し入れするエネルギー $\shzDE$ は分かっている
• 平均の角速度 $\shzOmegaM$ は、最大と最小のまん中とする
• 回転計の針とグラフの形は、分かりやすいように正弦の形で描いた模式。実際のエンジンでは、爆発の直後に急に速くなる、ゆがんだ形になる
• 軸受の摩擦や空気の抵抗は考えない

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

回転のエネルギー：軸から距離 $r$ にある質量 $\Delta m$ のかけらは、角速度 $\skrOmega$ で回ると、速さ $r\skrOmega$ で動きます。全部のかけらの運動エネルギーを足すと、

$$\skrEk = \sum \dfrac{1}{2}\Delta m\,(r\skrOmega)^2 = \dfrac{1}{2}\Bigl(\sum \Delta m\,r^2\Bigr)\skrOmega^2 = \dfrac{1}{2}\skrJ\,\skrOmega^2$$

トルクがする仕事との関係：トルク $T$ で角度 $\theta$ だけ回すと、仕事は $T\theta$ です（力 × 動いた道のりの、回る版）。$T = \skrJ\alpha$ で、止まった状態から回すと、$\theta = \alpha t^2/2$、$\skrOmega = \alpha t$ なので、

$$T\theta = \skrJ\alpha \cdot \dfrac{\alpha t^2}{2} = \dfrac{1}{2}\skrJ(\alpha t)^2 = \dfrac{1}{2}\skrJ\,\skrOmega^2$$

回すのにした仕事が、そのまま回転のエネルギーとしてたまります。

速度変動率：本文の変形は近似ではありません。平均の角速度を、最大と最小のまん中 $\shzOmegaM = (\skrOmega_{\max} + \skrOmega_{\min})/2$ と決めると、$\shzDE = \skrJ\,\shzOmegaM^2\,\shzDelta$ がちょうど成り立ちます。最大と最小は、

$$\skrOmega_{\max} = \shzOmegaM\Bigl(1 + \dfrac{\shzDelta}{2}\Bigr),\qquad \skrOmega_{\min} = \shzOmegaM\Bigl(1 - \dfrac{\shzDelta}{2}\Bigr)$$