歯車を2段にすると、力は9倍歯数比とトルク

坂道で、なぜ後ろのギヤを大きくする？

変速のできる自転車の後輪には、大きさの違うギヤが何枚も重なって付いています。手元のレバーを動かすと、チェーンが隣のギヤへ掛け替わります。

平らな道では、チェーンを小さいギヤに掛けます。ペダルを1回まわすと、後輪が何回もまわり、自転車はよく進みます。

上り坂になると、チェーンを大きいギヤに掛け替えます。ペダルを1回まわしても、後輪はあまりまわりません。そのかわり、ペダルが軽くなります。

歯の数を変えるだけで、なぜ「軽さ」が変わるのでしょうか。自転車のギヤはチェーンでつながっていますが、機械の中では、歯車どうしを直接かみ合わせます。決まりはどちらも同じです。

モータの軸に付けた 20歯の歯車で、60歯の歯車を回すとします。

予想してから読むこの2枚を逆にして、60歯の歯車をモータの軸に付け、20歯の歯車を回します。20歯の歯車の回転数とトルク（回す力の大きさ）は？

A回転 1/3・トルク 3倍B回転 3倍・トルク 3倍C回転 3倍・トルク 1/3

歯数で決まる2つの式

60歯の歯車の回転数とトルクは、歯数の比だけで決まります。歯の大きさも、歯車の材料も、式には入りません。

$$\shsI = \dfrac{\shsZTwo}{\shsZOne}, \qquad N_2 = \dfrac{\shsNOne}{\shsI}, \qquad T_2 = \shsTOne \times \shsI$$

答えは、回転 1/3・トルク 3倍です。減速比 $\shsI$ は「何分の1に遅くするか」の数で、同時に「トルクを何倍にするか」の数でもあります。

歯を数えると回転の比が出る

2つの歯車がかみ合う所では、歯が1枚ずつ、順番に入れかわります。片方の歯が1枚進めば、相手の歯も1枚進みます。歯が滑って飛ばされることはありません。

20歯の歯車が1回まわると、かみ合う所を 20枚の歯が通ります。60歯の歯車も、20枚ぶんだけ進みます。60枚で1周なので、進んだのは $20/60 = 1/3$ 回です。

$$N_2 = \shsNOne \times \dfrac{\shsZOne}{\shsZTwo} = 1500 \times \dfrac{20}{60} = 500\ \mathrm{min^{-1}}$$

回転数は、歯数に反比例します。歯の多い歯車は、1周するのに多くの歯を送ってもらう必要があるので、ゆっくりしか回れません。

かみ合った2つの歯車は、反対の向きに回ります。自転車のようにチェーンでつなぐと、2つのギヤは同じ向きに回ります。チェーンの1こまが、ギヤの歯を1枚ずつ送るのは同じなので、回転数の比は、やはり歯数の比です。

てんびん：回転を遅くするとトルクが増える

トグル機構（小さな力で大きな力） と ベルトとプーリ で、「てんびん」の決まりを見ました。摩擦が無ければ、入れた仕事と出た仕事は同じです。ゆっくりしか動かない側には、大きな力が出ます。

回るものの1秒の仕事は、トルク × 角速度です。モータの側と、60歯の歯車の側で、等しいと置きます。

$$\underbrace{\shsTOne\,\omega_1}_{\text{1秒に入れた仕事}} = \underbrace{T_2\,\omega_2}_{\text{1秒に出た仕事}} \qquad\Longrightarrow\qquad T_2 = \shsTOne \times \dfrac{\omega_1}{\omega_2} = \shsTOne \times \shsI$$

60歯の歯車の回り方は 1/3 なので、トルクは3倍です。モータが 0.5 N·m なら、60歯の歯車の軸は 1.5 N·m で回ります。

$$T_2 = 0.5 \times 3 = 1.5\ \mathrm{N\cdot m}$$

1秒の仕事を確かめます。1,500 min⁻¹ は 157.1 rad/s、500 min⁻¹ は 52.36 rad/s です。

$$0.5 \times 157.1 = 78.5\ \mathrm{W}, \qquad 1.5 \times 52.36 = 78.5\ \mathrm{W}$$

同じです。歯車は仕事を増やしません。回転の速さとトルクを、交換しているだけです。

歯の側から見ても、同じ答えになります。かみ合う所で、歯は相手の歯を力 $F$ で押します。押し返す力も同じ $F$ です。トルクは「力 × 半径」です。歯の大きさが同じなら、歯車の直径は歯数に比例します（くわしくは モジュールとかみ合い）。60歯の歯車の半径は 20歯の3倍なので、同じ力でも、トルクは3倍です。

2段にすると、比は掛け算

小さなモータで、重い物をゆっくり回したいとします。モータは 1,500 min⁻¹・0.5 N·m。回したい負荷には、4 N·m のトルクが要ります。

20歯 → 60歯の1段では、1.5 N·m です。4 N·m に足りません。少なくとも $4 / 0.5 = 8$ 倍の減速比が要ります。

そこで、60歯の歯車と同じ軸に、もう1枚 20歯の歯車を付けます。この20歯で、次の60歯を回します。これが2段の歯車列です。

1段目で回転は 1/3、トルクは3倍になります。2段目は、その3倍になった軸から、さらに 1/3・3倍にします。

$$\shsI = \underbrace{\dfrac{\shsZTwo}{\shsZOne}}_{\text{1段目}} \times \underbrace{\dfrac{\shsZFour}{\shsZThree}}_{\text{2段目}} = \dfrac{60}{20} \times \dfrac{60}{20} = 3 \times 3 = 9$$

出力軸の回転数とトルクは、

$$\shsNout = \dfrac{1500}{9} = 166.7\ \mathrm{min^{-1}}, \qquad \shsTout = 0.5 \times 9 = 4.5\ \mathrm{N\cdot m}$$

4.5 N·m は、要る 4 N·m の 1.13倍です。2段なら足ります。

1段で9倍にしない理由

1段で9倍にするなら、20歯の相手は 180歯です。歯の大きさが同じなら、180歯の歯車の直径は、60歯の3倍になります。箱が大きくなります。

モータの歯車を 10歯にすれば、相手は 90歯ですみます。ところが、歯数が少なすぎると、歯を削り出すとき、歯の根元までえぐれてしまいます。これを切り下げといいます。いちばんよく使う歯の形（圧力角 20° の標準の歯車）では、理論の上で、およそ 17歯より少ないと切り下げが起きます（$2/\sin^2 20^{\circ} = 17.1$）。

だから、大きな減速比は、何段かに分けて作ります。

公式を、2つのかたまりに分けて読む

$$\shsTout = \shsTOne \times \underbrace{\dfrac{\shsZTwo}{\shsZOne}}_{\text{1段目の比}} \times \underbrace{\dfrac{\shsZFour}{\shsZThree}}_{\text{2段目の比}}$$

1. 1段目の比 $\shsZTwo/\shsZOne$　モータの軸の歯車が、次の軸を何分の1に遅くするか。遅くした分だけ、トルクは大きくなります。
2. 2段目の比 $\shsZFour/\shsZThree$　中の軸から、出力軸へ。1段目で大きくなったトルクを、さらに何倍にするか。

段を足すたびに、比を1つ掛けます。3段なら3つです。1 より小さい比（大きい歯車で小さい歯車を回す）を掛けると、回転は速く、トルクは小さくなります。

どの数字がいちばん効く？

既定の 20歯 → 60歯（1段）から、それぞれの数字を10%変えたとき、出力軸がどう変わるかを並べます。

いちばん効くのは、段を足すことです。歯数を少し変えるのは、細かい合わせに使います。

自転車に戻る

自転車のギヤを、同じ決まりで読みます。前のギヤ（クランクに付いている）が原動、後ろのギヤ（後輪に付いている）が従動です。

前が 48歯、後ろが 16歯なら、比は $16/48 = 1/3$ です。ペダルを1回まわすと、後輪は3回まわります。速く進みますが、後輪を回すトルクは、ペダルの側の 1/3 しかありません。

上り坂で、後ろを 32歯に掛け替え、前も 32歯にすると、比は1です。後輪は1回しかまわりません。そのかわり、同じ力で踏んでも、後輪を回すトルクは3倍になります。

坂道でペダルが軽くなるのは、後輪のトルクを大きくした分、後輪がゆっくりまわるようにしたからです。進む距離あたりにすると、たくさんペダルをまわすことになります。てんびんの決まりのとおりです。

手で回す巻き上げ機（ウインチ）も、同じ考え方です。ハンドルの軸の小さい歯車で、ドラムの大きい歯車を回します。ハンドルを何回もまわして、重い物をゆっくり巻き上げます。

動かしてみよう

左のモータの歯車（朱）が、一定の速さで回ります。出力軸の歯車（青）は、減速比の分だけゆっくり回ります。歯車の上の黒い点を見ると、何回まわったかが追えます。初めは「1/20 の速さ」で再生しています。

「2段」を選ぶと、2段目の歯車（$\shsZThree$・$\shsZFour$）が加わります。「1段」のときは、$\shsZThree$・$\shsZFour$ は使わないので、欄が薄くなります。下の波形は、モータと出力軸が回った回数です。いちばん下のものさしで、出せるトルクが、負荷に要るトルクに届いているかを見てください。

「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、残した図の線が、波形に薄く重なります。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1「2段」にして、出力軸のトルクを見る（2段目も 20 歯 → 60 歯。ほかは初期値）（まだ）
2. 2「1段」に戻し、z1 を 10、z2 を 90 にして、9倍を1段で作る（まだ）
3. 32段のまま、2段目を逆にする：z3 を 60、z4 を 20 にする（1段目は 20 → 60）（まだ）

z11段目の原動の歯車の歯数−＋

z21段目の従動の歯車の歯数−＋

段段の数

1段2段

z32段目の原動の歯車の歯数−＋

z42段目の従動の歯車の歯数−＋

T1入力軸（モータ）のトルク−N·m＋

TL負荷を回すのに要るトルク−N·m＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.0000 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる出力軸のトルクは、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-moment}{T_{\mathrm{out}}} = \htmlClass{q-moment}{T_1} \times \htmlClass{q-geometry}{i}$$$$= 0.5 \times 3$$$$= 1.5\ \mathrm{N\cdot m}$$

出力軸のトルク

$\htmlClass{q-moment}{T_{\mathrm{out}}} = 1.5\ \mathrm{N\cdot m}$

減速比（全体）

$\htmlClass{q-geometry}{i} = 3\$

出力軸の回転数

$\htmlClass{q-flow}{N_{\mathrm{out}}} = 500\ \mathrm{min^{-1}}$

途中の計算（導出）を見る

1. 1段目の減速比（従動の歯数 ÷ 原動の歯数）

   $$i_1 = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{z_2}}{\htmlClass{q-geometry}{z_1}} = \dfrac{60}{20} = 3$$

2. 1段だけなので、全体の減速比は1段目と同じ

   $$\htmlClass{q-geometry}{i} = i_1 = 3 = 3$$

3. 出力軸の回転数（減速比で割る）

   $$\htmlClass{q-flow}{N_{\mathrm{out}}} = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{N_1}}{\htmlClass{q-geometry}{i}} = \dfrac{1{,}500}{3} = 500\ \mathrm{min^{-1}}$$

4. 出力軸のトルク（減速比をかける。てんびん）

   $$\htmlClass{q-moment}{T_{\mathrm{out}}} = \htmlClass{q-moment}{T_1} \times \htmlClass{q-geometry}{i} = 0.5 \times 3 = 1.5\ \mathrm{N\cdot m}$$

5. 負荷を回すのに要るトルクと比べる（出せるほうが大きければ足りる）

   $$\htmlClass{q-moment}{T_{\mathrm{out}}} \ge \htmlClass{q-moment}{T_{\mathrm{L}}}\ ? = 1.5\ <\ 4 = \text{足りない}$$

よくある勘違い

「大きい歯車のほうが、速く回る」

歯の進む速さは、かみ合う2つで同じです。回転数は、小さい歯車のほうが速くなります。

手回しのドリルは、反対の使い方です。ハンドルで大きい歯車をゆっくり回し、小さい歯車でドリルを速く回します。トルクは小さくなりますが、細い穴なら足ります。

「歯車で回転を落とすと、仕事も減る」

減りません（損失がなければ）。回転が 1/3 になる分、トルクが3倍になります。1秒の仕事は、どちらの軸も 78.5 W です。

「2段にすると、比は足し算」

3 ＋ 3 ＝ 6倍ではなく、3 × 3 ＝ 9倍です。2段目は、1段目で 1/3 に遅くなった軸を、さらに 1/3 にします。$1/3$ の $1/3$ は $1/9$ です。

この公式が使える条件

• 歯は滑らない（かみ合う所で、歯が1枚ずつ入れかわる）
• 摩擦・軸受の損失を考えない（実物では、出せるトルクは計算より少し小さい）
• 一定の速さで回っているとき（回り始めの加速に要るトルクは、減速機とモータの選び方 で扱う）
• 2段のとき、中の軸の2枚の歯車は、同じ軸に固定されていて、一緒に回る
• 歯の強さ（歯が折れないか）は、別に確かめる（歯の曲げ強さ（ルイスの式））

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

ピッチ円の速さが同じ：かみ合う2つの歯車は、ピッチ円（歯のまん中あたりを通る円）どうしが、滑らずに転がり合う円と考えられます。2つのピッチ円の外周の速さは等しいので、直径を $d_1$・$d_2$ とすると、

$$\dfrac{\pi\,d_1\,\shsNOne}{60} = \dfrac{\pi\,d_2\,N_2}{60} \qquad\Longrightarrow\qquad \dfrac{N_2}{\shsNOne} = \dfrac{d_1}{d_2}$$

かみ合う2つの歯車は、歯の大きさ（モジュール $m$）が同じで、ピッチ円の直径は $d = m z$ です。$m$ が消えて、

$$\dfrac{N_2}{\shsNOne} = \dfrac{m\,\shsZOne}{m\,\shsZTwo} = \dfrac{\shsZOne}{\shsZTwo}$$

力で導く：かみ合う所で、歯が押し合う力のうち、ピッチ円に接する向きの分を $F$ とします。原動の軸では $\shsTOne = F\,d_1/2$、従動の軸では $T_2 = F\,d_2/2$ です。$F$ を消すと、

$$T_2 = \shsTOne \times \dfrac{d_2}{d_1} = \shsTOne \times \dfrac{\shsZTwo}{\shsZOne}$$

てんびんで出した式と同じです。

2段：中の軸の回転数を $N_{\mathrm{m}}$ とすると、$N_{\mathrm{m}} = \shsNOne\,\shsZOne/\shsZTwo$、$\shsNout = N_{\mathrm{m}}\,\shsZThree/\shsZFour$。代入すると、$\shsNout = \shsNOne \times (\shsZOne/\shsZTwo) \times (\shsZThree/\shsZFour)$ で、比は掛け算です。