重い腕も、減速比しだいで小さなモータで回せる減速機とモータの選び方

ロボットの腕をどの減速比で回すか

工場で部品を運ぶロボットは、腕の根元の関節にモータを入れています。モータの軸で腕をじかに回すことは、まずありません。間に減速機をはさみます。モータを速く回し、腕をゆっくり、強く回すためです。

この単元では、1本の腕で考えます。腕は水平に回るので、重さによるトルクはかかりません。根元のまわりの慣性モーメント（回しにくさ）は $\sgsTwoJL = 0.25\ \mathrm{kg\cdot m^2}$ です。先から 0.5 m の所に、1 kg の物が付いているのと同じです（$1 \times 0.5^2 = 0.25$）。

この腕を、止まった状態から 0.1 s で 30 min⁻¹（1秒に半回転の速さ）まで、一様に速くします。

モータは、このサイトで決めた次の値のものです。

減速比を 5 にしたとき、このモータで足りるでしょうか。足りないなら、減速比はいくつにすればよいでしょうか。

予想してから読む減速比を 1 から上げていくと、腕を加速するのに要るモータのトルクはどうなる？

A減速比を上げるほど、いつまでも小さくなるBある減速比でいちばん小さくなり、それより上げると、また大きくなるC減速比を変えても、要るトルクは変わらない

歯車の先の重い物は、軽く見える

減速機を通すと、腕は、モータから見て回しやすくなります。どれだけ回しやすくなるかを、トルクと回転数 で使ったてんびんで考えます。

小さな歯車のハンドルを手で回して、大きな歯車につないだ重い円板を回すところを思い浮かべてください。手は速く回し、円板はゆっくり回ります。

減速比が $\sgsTwoi$ のとき、軽く感じる理由は2つあります。

1. トルクが $1/\sgsTwoi$ で済む。てんびんで、回転を $1/\sgsTwoi$ に落とすと、トルクは $\sgsTwoi$ 倍になります。円板に要るトルクは、手の側では $1/\sgsTwoi$ です。
2. 円板の速くなり方は $1/\sgsTwoi$ しかない。手の側を同じだけ速くしても、円板は $1/\sgsTwoi$ しか速くなりません。だから、円板を回すトルクも $1/\sgsTwoi$ で足ります。

2つが掛け算で効きます。円板の慣性モーメントは、手の側から見ると $1/\sgsTwoi^2$ に見えます。

$$\sgsTwoJeq = \dfrac{\sgsTwoJL}{\sgsTwoi^2}$$

ロボットの腕では、減速比 5 なら 0.25 kg·m² の 25分の1 で、100 kg·cm²。減速比 50 なら 2,500分の1 で、1.0 kg·cm² です。回転子の慣性と、ちょうど同じになります。

加速に要るトルクを足し合わせる

回しにくさ $\skrJ$ の物を、角加速度 $\alpha$ で速くするのに要るトルクは、$T = \skrJ\,\alpha$ でした（機械力学の 慣性モーメント（回しにくさ））。モータの軸で、これを使います。

モータの軸で回すものは2つです。モータ自身の回転子 $\sgsTwoJM$ と、モータから見た腕 $\sgsTwoJL/\sgsTwoi^2$。モータは腕の $\sgsTwoi$ 倍速く回るので、角加速度も $\sgsTwoi\,\sgsTwoAlphaL$ です。摩擦などのトルク $\sgsTwoTL$ が腕にかかるなら、モータの軸では $\sgsTwoTL/\sgsTwoi$ です。

$$\sgsTwoTm = \left(\sgsTwoJM + \dfrac{\sgsTwoJL}{\sgsTwoi^2}\right)\sgsTwoi\,\sgsTwoAlphaL + \dfrac{\sgsTwoTL}{\sgsTwoi}$$

腕の角加速度は、30 min⁻¹ を角速度に直した $2\pi \times 30/60 = 3.14\ \mathrm{rad/s}$ を、0.1 s で割った 31.4 rad/s² です。減速比 5 で数を入れると、

$$\sgsTwoTm = (1.0 + 100) \times 10^{-4} \times 5 \times 31.4 = 1.59\ \mathrm{N\cdot m}$$

モータの最大トルク 1.0 N·m を越えています。減速比 5 では足りません。

減速比を上げすぎるとモータ自身が重くなる

それなら、減速比をどんどん上げればよさそうです。ところが、上げるほど、モータは速く回らなければなりません。速くするには、モータ自身の回転子も、それだけ強く加速する必要があります。

モータ自身の分は、減速比に比例して増えます。腕の分は、減速比に反比例して減ります。足した要るトルクは、減速比 50 で谷の底になります。

減速比 150 では、要るトルクが 0.524 N·m に戻るうえ、モータは 4,500 min⁻¹ まで回らなければなりません。最高回転数 3,000 min⁻¹ を越えるので、回りきれません。

慣性の整合

谷の底では、モータ自身の分と腕の分が等しくなっています。どちらも 0.157 N·m です。

$$\sgsTwoJM\,\sgsTwoi\,\sgsTwoAlphaL = \dfrac{\sgsTwoJL}{\sgsTwoi^2}\,\sgsTwoi\,\sgsTwoAlphaL \quad\Longrightarrow\quad \sgsTwoJM = \dfrac{\sgsTwoJL}{\sgsTwoi^2} \quad\Longrightarrow\quad \sgsTwoIopt = \sqrt{\dfrac{\sgsTwoJL}{\sgsTwoJM}}$$

モータから見た腕の慣性が、回転子の慣性と同じになる減速比です。これを慣性の整合といいます。この腕では $\sqrt{0.25/0.0001} = \sqrt{2{,}500} = 50$ です。

2つの項の和が、等しいところで最小になる理由は、下の「式の導き方」に畳んであります。腕に摩擦などのトルクがかかるときは、最小になる減速比は、これより大きくなります。

式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\sgsTwoTm = \underbrace{\sgsTwoJM\,\sgsTwoi\,\sgsTwoAlphaL}_{\text{モータ自身を回す}} + \underbrace{\dfrac{\sgsTwoJL\,\sgsTwoAlphaL}{\sgsTwoi}}_{\text{腕を速くする}} + \underbrace{\dfrac{\sgsTwoTL}{\sgsTwoi}}_{\text{摩擦に逆らう}}$$

1. モータ自身を回す　減速比が大きいほど、モータは速く回るので、自分の回転子を速くする分が増えます。
2. 腕を速くする　腕の慣性は $1/\sgsTwoi^2$ に見え、モータの角加速度は $\sgsTwoi$ 倍なので、差し引き $1/\sgsTwoi$ です。
3. 摩擦に逆らう　加速していなくても、ずっとかかる分です。てんびんで $1/\sgsTwoi$ になります。

どの数字がいちばん効く？

減速比 50（谷の底）で回しているところから、それぞれの数字を10%変えたとき、要るトルクがどう変わるかを並べます。

いちばん効くのは、どれだけ速く加速するかです。減速比は、谷の底の近くなら、少しずれてもほとんど変わりません。だから、きりのよい減速比の製品を選んでも困りません。

ロボットの腕に戻る

減速比を 50 にすると、要るトルクは 0.314 N·m です。

$$\sgsTwoTm = (1.0 + 1.0) \times 10^{-4} \times 50 \times 31.4 = 0.314\ \mathrm{N\cdot m} \le 1.0\ \mathrm{N\cdot m}$$

最大トルク 1.0 N·m の約 3分の1 で、足ります。モータの回転数は、腕の 50倍の 1,500 min⁻¹ で、最高回転数 3,000 min⁻¹ の半分です。こちらも足ります。

減速比 5 では 1.59 N·m 要ったので、約 5分の1 になりました。モータは同じでも、減速比の選び方ひとつで、足りるか足りないかが変わります。

モータと減速機を1つにまとめた部品（ギヤードモータ）も、多く使われています。減速比の違う品をそろえて売っているので、ここで求めた減速比に近いものを選びます。

動かしてみよう

減速比 $\sgsTwoi$ のスライダーを、5 から右へ動かしてみてください。左の図の点が、トルクの谷を下り、50 で底に着き、また上ります。右の図では、モータから見た腕の慣性の棒が、減速比の2乗で縮みます。

次に、腕の慣性 $\sgsTwoJL$ や加速の時間 $\sgsTwoTa$ を変えて、谷の底の位置と、最大トルクの線との距離を見てください。

「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、残したトルクの曲線が薄く重なります。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1減速比 i を 50 にする（腕の JL = 0.25 kg·m² のまま）（まだ）
2. 2減速比 i を、さらに 150 まで上げる（まだ）
3. 3腕の慣性 JL を4倍の 1.00 kg·m² にして、減速比 i を 100 にする（まだ）

i減速比−＋

JL負荷の慣性モーメント−kg·m²＋

NL負荷の回転数（加速し終えたとき）−min⁻¹＋

ta加速の時間−s＋

TL負荷のトルク（負荷の軸で）−N·m＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる加速に要るモータのトルクは、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

要るトルクが、モータの最大トルク 1 N·m を越えています（足りない）。

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-moment}{T_M} = (\htmlClass{q-material}{J_M} + \htmlClass{q-material}{J_L/i^2})\,\htmlClass{q-geometry}{i}\,\htmlClass{q-flow}{\alpha_L} + \dfrac{\htmlClass{q-moment}{T_L}}{\htmlClass{q-geometry}{i}}$$$$= (1 + 100) \times 10^{-4} \times 5 \times 31.42 + \dfrac{0}{5}$$$$= 1.59\ \mathrm{N\cdot m}$$

加速に要るモータのトルク

$\htmlClass{q-moment}{T_M} = 1.59\ \mathrm{N\cdot m}$

負荷の角加速度

$\htmlClass{q-flow}{\alpha_L} = 31.42\ \mathrm{rad/s^2}$

モータから見た負荷の慣性モーメント

$\htmlClass{q-material}{J_L/i^2} = 100\ \mathrm{kg\cdot cm^2}$

モータの回転数（加速し終えたとき）

$\htmlClass{q-flow}{N_M} = 150\ \mathrm{min^{-1}}$

モータのトルクが最小になる減速比

$\htmlClass{q-geometry}{i_{\mathrm{opt}}} = 50\$

途中の計算（導出）を見る

1. 負荷の腕の角加速度（0 から ta 秒で NL まで）

   $$\htmlClass{q-flow}{\alpha_L} = \dfrac{2\pi\,\htmlClass{q-flow}{N_L}/60}{\htmlClass{q-flow}{t_a}} = \dfrac{2\pi \times 30/60}{0.1} = 31.42\ \mathrm{rad/s^2}$$

2. モータから見た負荷の慣性（減速比の2乗で割る）

   $$\htmlClass{q-material}{J_L/i^2} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{J_L}}{\htmlClass{q-geometry}{i}^2} = \dfrac{0.25\ \mathrm{kg\cdot m^2}}{5^2} = 100\ \mathrm{kg\cdot cm^2}$$

3. 加速に要るモータのトルク（モータ自身＋負荷の慣性＋負荷のトルク）

   $$\htmlClass{q-moment}{T_M} = (\htmlClass{q-material}{J_M} + \htmlClass{q-material}{J_L/i^2})\,\htmlClass{q-geometry}{i}\,\htmlClass{q-flow}{\alpha_L} + \dfrac{\htmlClass{q-moment}{T_L}}{\htmlClass{q-geometry}{i}} = (1 + 100) \times 10^{-4} \times 5 \times 31.42 + \dfrac{0}{5} = 1.59\ \mathrm{N\cdot m}$$

4. 加速し終えたときのモータの回転数を、最高回転数と比べる

   $$\htmlClass{q-flow}{N_M} = \htmlClass{q-geometry}{i}\,\htmlClass{q-flow}{N_L} \le \htmlClass{q-flow}{N_{\max}} = 5 \times 30 = 150\ \mathrm{min^{-1}}\ \le\ 3{,}000\ \text{（足りる）}$$

5. 要るトルクを、モータの最大トルクと比べる

   $$\htmlClass{q-moment}{T_M} \le \htmlClass{q-moment}{T_{\max}} = 1.59\ \mathrm{N\cdot m}\ >\ 1\ \mathrm{N\cdot m} = \text{足りない}$$

よくある勘違い

「減速比は、大きいほどモータが楽になる」

楽になるのは、谷の底までです。この腕では、減速比 150 の要るトルクは 0.524 N·m で、50 のときの 0.314 N·m より大きくなります。モータが自分の回転子を速く回す分が増えるからです。

「減速比 i の先の慣性は、1/i に見える」

1/i ではなく、$1/\sgsTwoi^2$ です。トルクが $1/\sgsTwoi$ で済むことと、負荷の速くなり方が $1/\sgsTwoi$ であることの、2つが掛け算で効きます。減速比 10 なら 100分の1 です。

「摩擦がなければ、モータのトルクは要らない」

一定の速さで回り続けるだけなら、摩擦がなければ、トルクはほとんど要りません。速くするとき（加速）と、止めるとき（減速）に、慣性の分のトルクが要ります。ロボットの腕は、動き出しと止まりを何度も繰り返すので、モータの選び方は、加速の分で決まることが多くなります。

この式が使える条件

• 減速機の損失がない（損失があるときは、腕の側のトルクを効率で割る。例題2）
• 減速機の歯車そのものの慣性は、小さいとして入れていない（入れるときは、モータの側に足す）
• 一様に加速する（角加速度が一定）
• 腕は水平に回り、重さによるトルクはかからない（かかるときは $\sgsTwoTL$ に入れる）
• 減速機の軸や歯車は、ねじれたり、たわんだりしない
• モータの値は、このサイトで決めたもの

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

1/i² をエネルギーで導く：回っている物は、回転のエネルギー $\tfrac12 \skrJ\,\omega^2$ をためています（機械力学の はずみ車（回転のエネルギー））。モータの角速度を $\omega_M$ とすると、腕の角速度は $\omega_M/\sgsTwoi$ です。2つのエネルギーを足すと、

$$\tfrac12 \sgsTwoJM\,\omega_M^2 + \tfrac12 \sgsTwoJL \left(\dfrac{\omega_M}{\sgsTwoi}\right)^2 = \tfrac12 \left(\sgsTwoJM + \dfrac{\sgsTwoJL}{\sgsTwoi^2}\right)\omega_M^2$$

モータの軸に、慣性 $\sgsTwoJM + \sgsTwoJL/\sgsTwoi^2$ の1つの円板が付いているのと同じです。2乗が付くのは、エネルギーが速さの2乗だからです。

いちばん小さくなる減速比：摩擦がないとき、要るトルクは $\sgsTwoTm = A\,\sgsTwoi + B/\sgsTwoi$（$A = \sgsTwoJM\,\sgsTwoAlphaL$、$B = \sgsTwoJL\,\sgsTwoAlphaL$）の形です。次のように書き直せます。

$$A\,\sgsTwoi + \dfrac{B}{\sgsTwoi} = \left(\sqrt{A\,\sgsTwoi} - \sqrt{\dfrac{B}{\sgsTwoi}}\right)^2 + 2\sqrt{AB}$$

かっこの2乗は 0 より小さくならないので、最小は $A\,\sgsTwoi = B/\sgsTwoi$、つまり $\sgsTwoi = \sqrt{B/A} = \sqrt{\sgsTwoJL/\sgsTwoJM}$ のときで、そのトルクは $2\sqrt{AB} = 2\sqrt{\sgsTwoJM\,\sgsTwoJL}\;\sgsTwoAlphaL$ です。腕では $2\sqrt{0.0001 \times 0.25} \times 31.4 = 0.314\ \mathrm{N\cdot m}$。

摩擦のトルク $\sgsTwoTL$ があるときは、$B = \sgsTwoJL\,\sgsTwoAlphaL + \sgsTwoTL$ に置きかえます。$B$ が大きくなるので、最小になる減速比も大きくなります。

同じトルクになる2つの減速比：$\sgsTwoi$ と $\sgsTwoIopt^2/\sgsTwoi$ を入れると、2つの項が入れかわるだけなので、要るトルクは同じです。腕では、25 と 100 で同じ 0.393 N·m です。