同じ重さでも、輪は円板の2倍回しにくい慣性モーメント（回しにくさ）

同じ重さなのに、回り出しが違う

自転車の車輪、こま、レコードプレーヤーの台、扇風機の羽根。どれも、軸のまわりに回る物です。

回る物には、「回しにくさ」があります。回しにくい物は、回し始めるのに時間がかかります。止めるのにも時間がかかります。

ロボットの腕を、目標の向きへすばやく回したいとします。回しにくい腕だと、モータが同じ力で回しても、なかなか向きが変わりません。止めたいところで、止まりきれずに行き過ぎることもあります。

この単元では、2つの部品で考えます。どちらも質量 2 kg の鋼で、半径は 150 mm です。1つは、中まで詰まった円板。もう1つは、同じ鋼を外周に集めた、細い輪です（細いスポークで軸につなぎます）。

軸に糸を巻いて、同じ力で引きます。どちらが速く回り出すでしょうか。差は何倍でしょうか。

予想してから読む同じ 2 kg・半径 150 mm の円板と輪。回しにくさは、輪が円板の何倍？

A同じB2倍C4倍

回しにくさに名前を付ける

まっすぐ押すときを思い出します。同じ力で押しても、質量の大きい台車ほど、速さがゆっくり増えます。高校の物理の $F = ma$ です。質量 $\skrm$ は「動かしにくさ」でした。

回すときにも、同じ形の決まりがあります。

$$\underbrace{\skmT}_{\text{回す力の効き目}} = \underbrace{\skrJ}_{\text{回しにくさ}} \times \underbrace{\skmAlpha}_{\text{回る速さの増え方}}$$

• トルク $\skmT$　回す力の効き目です。力 × 軸からの距離で、単位は N·m。糸を 9 N で引き、糸を巻いた軸の半径が 50 mm なら、$\skmT = 9 \times 0.05 = 0.45\ \mathrm{N\cdot m}$ です。
• 角加速度 $\skmAlpha$　1秒ごとに、回る速さ（角速度 $\skrOmega$、1秒に回る角度 [rad/s]）がどれだけ増えるかです。単位は rad/s²。
• 慣性モーメント $\skrJ$　回しにくさです。$F = ma$ の質量 $\skrm$ と同じ役をします。単位は kg·m²。

同じトルクなら、$\skrJ$ が2倍の物は、回る速さの増え方が半分になります。

$\skrJ$ の単位に m² が入っています。質量だけでなく、距離の2乗が入っている、という印です。

遠い質量ほど、2乗で効く

$\skrJ$ の中身は、次の足し算です。回る物を小さなかけらに分け、かけらの質量 × 軸からの距離²を、全部足します。

$$\skrJ = \sum \bigl(\text{かけらの質量} \times \text{軸からの距離}^2\bigr)$$

距離が2回かかるのには、2つの理由があります。

1. 遠いかけらほど、速く動く。同じ角度だけ回るとき、軸から2倍遠いかけらは、2倍の道のりを動きます。速さを上げるには、2倍の力で押す必要があります。
2. 遠いかけらの力ほど、よく効く。その力は、軸から2倍遠いところにかかります。力 × 距離なので、軸を回すトルクとしては、もう2倍かかります。

2 × 2 = 4。軸から2倍遠い質量は、4倍回しにくくします。

この形は、材料力学の 断面二次モーメント の単元と同じです。断面二次モーメントは「帯の面積 × 中立軸からの距離²」を足したものでした。距離が2回かかった理由も、帯の力が距離に比例し、回す腕も距離に比例するからでした。

$$\sI = \sum \bigl(\text{帯の面積} \times \text{距離}^2\bigr) \qquad \skrJ = \sum \bigl(\text{かけらの質量} \times \text{距離}^2\bigr)$$

足すものが、面積か、質量か。違うのはそこだけです。

半径を2倍にすると。同じ形のまま半径を2倍にすると、どのかけらも、軸から2倍遠くなります。質量が同じなら、$\skrJ$ は $2^2 = 4$ 倍です。

輪は円板の2倍回しにくい

まず、細い輪です。全部の質量が、軸から同じ距離 $\skmR$ にあります。足し算は、すぐに終わります。

$$\skrJ_{\text{輪}} = \skrm \times \skmR^2 = 2 \times 0.15^2 = 0.045\ \mathrm{kg\cdot m^2}$$

次に、円板です。円板には、外周の近くの質量も、軸のすぐそばの質量もあります。軸のそばの質量は、距離² が小さいので、ほとんど効きません。だから、円板は輪より回しやすいはずです。

どれだけ回しやすいかを、足し算で確かめます。円板を、同心の細い輪5本に切ります。

細い輪の質量は、面積に比例します。外側の輪ほど、周が長いので、質量が多くなります。いちばん内側は全体の 4%、いちばん外側は 36% です。

それぞれの「質量の割合 × 距離²」を足すと、0.49 です。つまり、$\skrJ$ は $\skrm\skmR^2$ の 0.49 倍です。

もっと細かく切ると、10本で 0.4975、100本で 0.499975 です。細かくするほど、ちょうど 1/2 に近づきます。

$$\skrJ_{\text{円板}} = \dfrac{\skrm\,\skmR^2}{2} = \dfrac{2 \times 0.15^2}{2} = 0.0225\ \mathrm{kg\cdot m^2}$$

1/2 は、「質量は外ほど多い」と「距離² は内ほど小さい」の、釣り合いで決まる数です。円板は、全部の質量を、半径の 0.707 倍（150 mm なら 106 mm）の細い輪に集めたのと、同じ回しにくさになります（$0.707^2 = 0.5$）。

輪は、円板の2倍回しにくい。質量も半径も同じなのに、質量を外周に集めただけで、2倍です。

穴のあいた輪（外側の半径 $\skmR$、内側の半径 $\skmRi$）では、次の式になります。$\skmRi = 0$ で円板、$\skmRi = \skmR$ で細い輪の式に戻ります。

$$\skrJ = \dfrac{\skrm\,(\skmR^2 + \skmRi^2)}{2}$$

材料力学の 丸軸のねじり の単元の、極断面二次モーメント $\pi d^4/32$ にも、同じ 1/2 が入っています。半径 $r$ で書き直すと $\pi r^2 \times r^2/2$、つまり「面積 × 半径² の半分」です。円の上で距離² を足すと、いつも 1/2 が出てきます。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\skrJ = \underbrace{\skrm}_{\text{どれだけの質量か}} \times \underbrace{\skmR^2}_{\text{どれだけ遠いか}} \times \underbrace{\dfrac{1}{2}}_{\text{形で決まる数}}$$

1. 質量 $\skrm$　質量が2倍なら、$\skrJ$ も2倍です。
2. 距離の2乗 $\skmR^2$　半径が2倍なら、4倍です。いちばん効くかたまりです。
3. 形で決まる数　質量が軸からどう散らばっているかで決まります。細い輪は 1、円板は 1/2。軸のそばに質量が多いほど、小さくなります。

どの数字がいちばん効く？

円板（2 kg・半径 150 mm）を、トルク 0.45 N·m で回し始めるとします。それぞれの数字を1割（10%）だけ増やしたときの変化です。

半径は、質量の約2倍効きます（21% と 10%）。1回転にかかる時間は、$\skmAlpha$ の平方根に反比例するので、変化が小さく出ます。

円板と輪に戻る

最初の問いに戻ります。どちらも 2 kg・半径 150 mm。トルクは 0.45 N·m です。

$$\skmAlpha_{\text{円板}} = \dfrac{0.45}{0.0225} = 20\ \mathrm{rad/s^2},\qquad \skmAlpha_{\text{輪}} = \dfrac{0.45}{0.045} = 10\ \mathrm{rad/s^2}$$

円板は、1秒後に角速度 20 rad/s、回転数にして 191 min⁻¹ になります。輪は、その半分の 95.5 min⁻¹ です。速く回り出すのは円板で、差は2倍です。

止まった状態から1回転するまでの時間は、円板が 0.793 秒、輪が 1.12 秒です。回しにくさが2倍でも、時間は2倍ではなく、約1.41倍（$\sqrt{2}$ 倍）です。回った角度は時間の2乗で増えるからです。

動かしてみよう

円板を、一定のトルクで止まった状態から回します。3回転したら、少し止めて、はじめから回し直します。下のグラフは、回った回数です。はじめはゆっくりで、だんだん速くなります。

内側の半径 $\skmRi$ を大きくすると、同じ質量のまま、穴のあいた輪になります。外側の半径と同じにすると、細い輪です。はじめは 1/4 の速さで動かしています。円板の破線と、グラフの薄い線は、比べる相手（残した図、なければ初期値）です。線がどれだけ寝るかを見てください。盤の下の「×」の数は、回しにくさ $\skrJ$ が初期値の何倍かです。「いまの図を残して比べる」を押すと、比べる相手が、そのときの形に替わります。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1内側の半径 ri を 150 mm にして、円板を、同じ 2 kg の細い輪に変える（まだ）
2. 2円板のまま（ri = 0）、外側の半径 r を2倍の 300 mm にする（まだ）
3. 3円板のまま、質量 m を2倍の 4 kg にして、1番の細い輪と比べる（まだ）

m質量−kg＋

r外側の半径−mm＋

ri内側の半径（0 なら円板）−mm＋

Tトルク（回す力の効き目）−N·m＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.00 s

いまの図を残して比べる慣性モーメントは、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-material}{J} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{m}\,(\htmlClass{q-geometry}{r}^2 + \htmlClass{q-geometry}{r_i}^2)}{2}$$$$= \dfrac{2 \times (0.15^2 + 0^2)}{2}$$$$= 0.0225\ \mathrm{kg\cdot m^2}$$

慣性モーメント

$\htmlClass{q-material}{J} = 0.0225\ \mathrm{kg\cdot m^2}$

角加速度（1秒ごとに増える角速度）

$\htmlClass{q-flow}{\alpha} = 20\ \mathrm{rad/s^2}$

止まった状態から1回転するまでの時間

$\htmlClass{q-flow}{t_1} = 0.793\ \mathrm{s}$

途中の計算（導出）を見る

1. 慣性モーメント（円板。内側の半径 0）

   $$\htmlClass{q-material}{J} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{m}\,(\htmlClass{q-geometry}{r}^2 + \htmlClass{q-geometry}{r_i}^2)}{2} = \dfrac{2 \times (0.15^2 + 0^2)}{2} = 0.0225\ \mathrm{kg\cdot m^2}$$

2. 角加速度（1秒ごとに、回る速さがどれだけ増えるか）

   $$\htmlClass{q-flow}{\alpha} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{T}}{\htmlClass{q-material}{J}} = \dfrac{0.45}{0.0225} = 20\ \mathrm{rad/s^2}$$

3. 止まった状態から1回転（2π rad）するまでの時間

   $$\htmlClass{q-flow}{t_1} = \sqrt{\dfrac{2 \times 2\pi}{\htmlClass{q-flow}{\alpha}}} = \sqrt{\dfrac{4\pi}{20}} = 0.793\ \mathrm{s}$$

よくある勘違い

「同じ質量なら、回しにくさも同じ」

まっすぐ押すときの動かしにくさは、質量だけで決まります。形も、質量の置き場所も関係ありません。

回すときは違います。質量がどこにあるかで、回しにくさが変わります。同じ 2 kg でも、輪は円板の2倍。同じ円板でも、半径を2倍に広げて薄くすれば4倍です。

「J は、ねじりの単元の J と同じもの」

記号は同じ $J$ ですが、別の量です。

どれも「距離² を足す」ので、名前に「モーメント」が付いています。足すものが質量なら、回しにくさ。面積なら、断面の形の硬さです。

「重い物ほど回しにくい。だから月の上なら回しやすい」

回しにくさを決めるのは、重さ（力 $\skrm\skrG$）ではなく、質量 $\skrm$ です。月の上でも、円板の質量は変わりません。だから、軸受の摩擦を考えなければ、月の上でも、同じトルクで、同じように回り出します。

この公式が使える条件

• 回る物は変形しない（剛体）。厚さはどこも同じ
• 軸は、円板・輪の中心を通り、面に垂直
• 軸受の摩擦や空気の抵抗は考えない
• 輪のスポークや軸の質量は考えない

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

$\skmT = \skrJ\,\skmAlpha$ の出どころ：軸から距離 $r$ にある質量 $\Delta m$ のかけらは、角加速度 $\skmAlpha$ で回ると、円の向きに $r\,\skmAlpha$ の加速度で速くなります。そのために要る力は、$F = ma$ から $\Delta m \, r\,\skmAlpha$ です。この力が軸を回す効き目は、力 × 距離で $\Delta m\, r^2\,\skmAlpha$。全部のかけらで足すと、

$$\skmT = \sum \Delta m\, r^2\, \skmAlpha = \Bigl(\sum \Delta m\, r^2\Bigr)\skmAlpha = \skrJ\,\skmAlpha$$

円板の 1/2：半径 $r$ から $r + dr$ の細い輪の面積は $2\pi r\,dr$ です。円板全体の面積 $\pi \skmR^2$ に対する割合をかけると、質量は $dm = \skrm \cdot 2r\,dr/\skmR^2$。これに $r^2$ をかけて足します。

$$\skrJ = \int_0^{\skmR} r^2 \cdot \dfrac{2\skrm\,r}{\skmR^2}\,dr = \dfrac{2\skrm}{\skmR^2} \cdot \dfrac{\skmR^4}{4} = \dfrac{\skrm\,\skmR^2}{2}$$

$r^3$ を積分して出る 1/4 に、面積から来る 2 をかけて、1/2 です。本文の5本の足し算は、$1/2 - 1/(4n^2)$（$n$ は本数）になり、$n$ を増やすと 1/2 に近づきます。

穴のあいた輪：積分の下の端を $\skmRi$ にし、質量の割合の分母を $\skmR^2 - \skmRi^2$ にします。

$$\skrJ = \dfrac{2\skrm}{\skmR^2 - \skmRi^2} \cdot \dfrac{\skmR^4 - \skmRi^4}{4} = \dfrac{\skrm\,(\skmR^2 + \skmRi^2)}{2}$$

1回転の時間：角加速度が一定なら、角速度は $\skrOmega = \skmAlpha\,t$、回った角度は $\theta = \skmAlpha\,t^2/2$ です（まっすぐ進むときの $x = at^2/2$ と同じ形）。$\theta = 2\pi$ と置くと、$\skmTone = \sqrt{4\pi/\skmAlpha}$。