空気圧計の 250 kPa は、本当は 351 kPa気体の状態式（絶対圧と絶対温度）

走った後のタイヤは、空気圧が高い

車のタイヤの空気圧は、ガソリンスタンドの空気圧計で測ります。タイヤのバルブに当てると、針が「250 kPa」のような数を指します。

空気圧は、走る前の冷えたタイヤで測る決まりです。走るとタイヤが温まり、中の空気の温度が上がって、圧力も上がるからです。

数字で確かめます。朝、20℃ のタイヤを 250 kPa に合わせました。高速道路を走って、中の空気が 60℃ になったとします。空気圧計は何 kPa を指すでしょうか。

予想してから読む20℃ で 250 kPa（空気圧計の読み）のタイヤの空気が、走って 60℃ になった。空気圧計の読みは？

A750 kPaB284 kPaC298 kPa

公式はこれ

気体の圧力 $\sntP$・体積 $\sntV$・温度 $\sntT$・質量 $\sntM$ の間には、次の関係があります。気体の状態式といいます。

$$\sntP\,\sntV = \sntM\,\sntR\,\sntT$$

タイヤの空気は、温まっても量 $\sntM$ と体積 $\sntV$ がほとんど変わりません。そのときは、絶対圧が絶対温度に比例します。

$$\sjtPTwo = \sjtPOne \times \dfrac{\sjtTTwo}{\sjtTOne} = 351\ \mathrm{kPa} \times \dfrac{333\ \mathrm{K}}{293\ \mathrm{K}} = 399\ \mathrm{kPa}$$

空気圧計の読みに戻すには、大気圧を引きます。399 − 101 ＝ 298 kPa です。朝より 48 kPa 高くなりました。

圧力の単位 Pa（パスカル）は、1 m² あたり 1 N の力です。材料力学の 応力とひずみ の単元で見た応力と、同じ単位です。250 kPa は、1 cm² あたり 25 N。指先ほどの広さに、約 2.5 kg の物を載せたくらいの力です。

圧力は、真空から測る（絶対圧）

空気圧計の針は、タイヤを外した状態で 0 を指します。でも、そのときも、空気圧計のまわりには空気があります。地上の空気は、いつも 101 kPa の圧力で、あらゆる物を押しています（大気圧）。

空気圧計が読むのは、この大気圧より、どれだけ高いかです。これをゲージ圧といいます。真空を 0 として測った圧力が絶対圧です。

$$\underbrace{\sjtPOne}_{\text{絶対圧}} = \underbrace{\sjtPgOne}_{\text{ゲージ圧（計器の読み）}} + \underbrace{\sjtPatm}_{\text{大気圧 101 kPa}}$$

空気が抜けて、空気圧計が 0 を指すタイヤにも、中には 101 kPa の空気が入っています。気体を温めて圧力が何倍になるかを考えるときは、この 101 kPa を落とせません。

大気圧が変わると、この差が目に見えます。山の上で、空のペットボトルのふたを閉めて、ふもとまで持って下りると、ボトルがへこみます。

山の上は、大気圧が低い所です。標高 2,300 m なら約 77 kPa です（国際標準大気）。ボトルの中には 77 kPa の空気が閉じこめられます。ふもとの 101 kPa に押されて、ボトルは中の空気が縮むまでへこみます。

温度は、−273℃ から測る（絶対温度）

体積を変えずに気体を冷やすと、圧力は温度に対して、まっすぐ下がっていきます。その線を延ばして、圧力が 0 になる温度が −273.15℃ です。これより冷たい温度はありません。

この温度を 0 として測ったものを絶対温度といい、単位は K（ケルビン）です。目盛りの間隔は ℃ と同じなので、温度の差は ℃ でも K でも同じ数です。

$$\underbrace{\sjtTOne}_{\text{絶対温度 [K]}} = \underbrace{\sjtTOnec}_{\text{℃}} + 273.15$$

20℃ は 293 K、60℃ は 333 K です。℃ で見ると 3倍ですが、絶対温度で見ると 1.14倍にすぎません。気体の圧力を決めるのは、絶対温度のほうです。

絶対温度が大きく変わると、気体ははっきり縮みます。ふくらませた風船を液体窒素（−196℃、77 K）に入れると、みるみるしぼみます。

風船の中の圧力は、大気圧とほとんど同じです。圧力がそのままなら、体積が絶対温度に比例します。293 K から 77 K へは 0.26倍。風船の中の空気は、約 4分の1 の体積になろうとします（実際には、空気の一部が液体になり、もっと小さくなります）。

公式を、かたまりに分けて読む

状態式を、圧力について解きます。

$$\sntP = \underbrace{\sntM}_{\text{空気の量}} \times \underbrace{\sntR}_{\text{気体の種類}} \times \underbrace{\sntT}_{\text{温度}} \div \underbrace{\sntV}_{\text{入れ物の大きさ}}$$

1. 空気の量 $\sntM$　空気入れで空気を足すと、量に比例して圧力が上がります。
2. 気体の種類 $\sntR$　1 kg あたりの気体の粒の数で決まる数です。軽い気体ほど、1 kg に粒が多く、$\sntR$ が大きくなります。空気は 287 J/(kg·K)。
3. 温度 $\sntT$　温めると、粒が速く動いて、壁を強く押します。粒が止まる温度が 0 K です。だから、温度は絶対温度で比例します。
4. 入れ物の大きさ $\sntV$　同じ量の空気を半分の体積に押しこめると、圧力は 2倍です。

タイヤの例では、$\sntM$・$\sntR$・$\sntV$ が変わらず、$\sntT$ だけが 1.14倍になりました。だから、絶対圧も 1.14倍です。

どの数字がいちばん効く？

この単元のタイヤ（朝 20℃・ゲージ 250 kPa、走った後 60℃、30 L）から、1つずつ変えたときの、走った後のゲージ圧です。

℃ で 10% 上げても、絶対温度では 1.8% しか上がりません。だから、圧力もわずかしか変わりません。絶対温度で 10% 上げると、絶対圧も 10% 上がり、ゲージ圧では 13% 上がります。ゲージ圧には、変わらない大気圧の分が入っていないからです。

動かしてみよう

走った後の温度 $\sjtTTwoc$ のスライダーを動かしてください。左の温度の棒は、0 K から伸びているので、20℃ と 60℃ の差は、思ったより小さく見えます。右の圧力の棒は、下の灰色が大気圧の分、上の赤が空気圧計の読みです。

下の枠はタイヤの中の空気で、幅が体積、粒の数が質量です。体積 $\sjtV$ を大きくすると、枠と粒の数が一緒に増え、濃さは変わりません。

右端の薄い棒は、空気圧計の読みのまま比例させた、誤りの計算です。走った後の棒と比べると、ゲージ圧で 14 kPa 低く出ています。

「いまの図を残して比べる」を押すと、そのときの答えを基準にして、何倍になったかが出ます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1朝のゲージ圧 p₁ を 0 kPa にする（空気を入れる前のタイヤ）。走った後の絶対圧の棒と、薄い「ゲージ圧のまま」の棒を比べる（まだ）
2. 2走った後の温度 t₂ を 0℃ にする（20℃ で合わせたタイヤの、冬の朝）。左の温度の棒が何倍に縮むかを見る（まだ）
3. 3タイヤの中の空気の体積 V を 2倍の 60 L にする（大きなタイヤ）。下の枠と粒の数、走った後のゲージ圧を見る（まだ）

p₁朝のゲージ圧（空気圧計の読み）−kPa＋

t₁朝の空気の温度−℃＋

t₂走った後の空気の温度−℃＋

Vタイヤの中の空気の体積−L＋

いまの図を残して比べる走った後の絶対圧は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-stress}{p_2} = \htmlClass{q-stress}{p_1} \times \dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_2}}{\htmlClass{q-heat}{T_1}}$$$$= 351.3\ \mathrm{kPa} \times \dfrac{333.15}{293.15}$$$$= 399.3\ \mathrm{kPa}$$

走った後の絶対圧

$\htmlClass{q-stress}{p_2} = 399\ \mathrm{kPa}$

走った後のゲージ圧

$\htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{g}2}} = 298\ \mathrm{kPa}$

ゲージ圧のまま比例させた値（誤り）

$\htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{g}2,\text{誤}}} = 284\ \mathrm{kPa}$

朝の絶対圧

$\htmlClass{q-stress}{p_1} = 351\ \mathrm{kPa}$

絶対温度が何倍になったか

$\htmlClass{q-heat}{T_2/T_1} = 1.14\$

タイヤの中の空気の質量

$\htmlClass{q-material}{m} = 125\ \mathrm{g}$

途中の計算（導出）を見る

1. 朝の絶対圧（空気圧計の読みに、大気圧を足す）

   $$\htmlClass{q-stress}{p_1} = \htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{g}1}} + \htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{atm}}} = 250\ \mathrm{kPa} + 101.33\ \mathrm{kPa} = 351.3\ \mathrm{kPa}$$

2. 絶対温度（℃ に 273.15 を足す）

   $$\htmlClass{q-heat}{T_1} = \htmlClass{q-heat}{t_1} + 273.15,\quad \htmlClass{q-heat}{T_2} = \htmlClass{q-heat}{t_2} + 273.15 = 20 + 273.15,\quad 60 + 273.15 = 293.15\ \mathrm{K},\quad 333.15\ \mathrm{K}\ (1.14\ \text{倍})$$

3. 走った後の絶対圧（空気の量と体積が同じなら、絶対温度に比例）

   $$\htmlClass{q-stress}{p_2} = \htmlClass{q-stress}{p_1} \times \dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_2}}{\htmlClass{q-heat}{T_1}} = 351.3\ \mathrm{kPa} \times \dfrac{333.15}{293.15} = 399.3\ \mathrm{kPa}$$

4. 走った後のゲージ圧（空気圧計の読み。大気圧を引く）

   $$\htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{g}2}} = \htmlClass{q-stress}{p_2} - \htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{atm}}} = 399.3\ \mathrm{kPa} - 101.33\ \mathrm{kPa} = 297.9\ \mathrm{kPa}$$

5. 比べる相手：ゲージ圧のまま比例させると（誤り）

   $$\htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{g}2,\text{誤}}} = \htmlClass{q-stress}{p_{\mathrm{g}1}} \times \dfrac{\htmlClass{q-heat}{T_2}}{\htmlClass{q-heat}{T_1}} = 250\ \mathrm{kPa} \times \dfrac{333.15}{293.15} = 284.1\ \mathrm{kPa}\ (-13.8\ \mathrm{kPa}\ \text{ずれる})$$

6. タイヤの中の空気の質量（状態式 pV ＝ mRT から）

   $$\htmlClass{q-material}{m} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{p_1}\,\htmlClass{q-displacement}{V}}{\htmlClass{q-material}{R}\,\htmlClass{q-heat}{T_1}} = \dfrac{351{,}300\ \mathrm{Pa} \times 0.03\ \mathrm{m^3}}{287 \times 293.15\ \mathrm{K}} = 125\ \mathrm{g}$$

よくある勘違い

「温度が 20℃ から 40℃ の 2倍になると、圧力も 2倍」

温度の比は、絶対温度でとります。20℃ → 40℃ は 293 K → 313 K で、1.07倍です。

℃ のまま比例させると、0℃ をまたぐときに、もっとおかしくなります。20℃ で合わせたタイヤが 0℃ になると、℃ の比は 0 なので、圧力が 0 になってしまいます。正しくは 226 kPa です。

「ゲージ圧 0 なら、中に空気は無い」

空気圧計が 0 を指しても、中には大気圧 101 kPa の空気があります。30 L のタイヤなら、20℃ で 36 g です。

「空気をたくさん入れたタイヤほど、温まると圧力が大きく上がる」

圧力が何倍になるかは、絶対温度の比だけで決まり、空気の量にはよりません。上がる kPa の数は、初めの絶対圧に比例するので、空気圧が高いタイヤほど大きくなります。

この公式が使える条件

• 気体は理想気体（空気・窒素・酸素などを、常温で、数 MPa くらいまで）。液体になる近くの低い温度や、とても高い圧力では外れる
• 圧力は絶対圧、温度は絶対温度で入れる。気体定数 $\sntR$ は気体の種類で決まる（空気 287、ヘリウム 2,077 J/(kg·K)）
• タイヤの計算では、ゴムが少し伸びて体積が増える分を入れていない（実際の上がり方は、計算より少し小さい）
• 容器の中の圧力・温度は、どこも同じとする

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

2つの実験の決まりから：温度を変えずに気体を押し縮めると、圧力と体積の積が一定になります（ボイルの法則、$pV$ ＝ 一定）。圧力を変えずに温めると、体積が絶対温度に比例します（シャルルの法則、$V/T$ ＝ 一定）。

1つにまとめる：状態 1 から、まず温度を $T_1$ のまま、圧力を $p_2$ にします。体積は $V' = p_1 V_1/p_2$ です。次に圧力を $p_2$ のまま、温度を $T_2$ にします。体積は $V_2 = V' \times T_2/T_1$ です。2つを合わせると、

$$V_2 = \dfrac{p_1 V_1}{p_2}\,\dfrac{T_2}{T_1} \qquad\Longrightarrow\qquad \dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2}$$

$pV/T$ は、どの状態でも同じ値です。

空気の量に比例する：同じ圧力・温度で、空気を 2倍にすると体積も 2倍です。だから $pV/T$ は質量 $\sntM$ に比例し、比例の定数を $\sntR$ と書くと $pV = \sntM\,\sntR\,T$ です。

気体定数の値：どの気体でも、1 mol（粒 6.02 × 10²³ 個）あたりでは 8.314 J/(mol·K) です。空気 1 mol は 28.97 g なので、1 kg あたりでは $8.314 \div 0.02897 = 287\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ です。

タイヤの空気の質量：$\sntM = pV/(\sntR T) = 351{,}325 \times 0.030 / (287 \times 293.15) = 0.125\ \mathrm{kg}$。

次の 熱と仕事（第一法則） の単元では、気体を温める「熱」と、気体が押す「仕事」を、同じエネルギーとして数えます。