ずらした円板1枚で、回転が上下の動きになるカムと従動節

エンジンのバルブは、何 mm 持ち上がる？

自動車のエンジンには、空気と燃料を吸い込む穴と、燃えたガスを吐き出す穴があります。穴にはふた（バルブ）が付いていて、ちょうどよいときだけ開きます。

バルブを開けるのがカムです。カムは、回る軸に付いた、形のくふうされた板です。カムが回ると、カムに乗った部品が押されて上下に動きます。この、押されて動く部品を従動節といいます。

本物のエンジンのカムは卵形です。この単元では、いちばん簡単なカムで考えます。丸い円板の、中心からずれた位置に穴をあけ、そこに軸を通したものです。これを偏心円板カムといい、円板の中心と軸のずれを偏心量 $\scmE$ といいます。

円板の半径は 40 mm、偏心量は 10 mm です。円板の上に、平らな面の従動節を乗せます。カムを1回転させると、従動節は、いちばん下からいちばん上まで何 mm 持ち上がるでしょうか。

予想してから読む半径 40 mm の円板の、中心から 10 mm ずれた所に軸を通して回します。上に乗った平らな従動節は、何 mm 持ち上がる？

A10 mmB20 mmC円板の半径で変わる

公式はこれ

$$\scmY = \scmE\,(1 - \cos\skiTheta), \qquad \scmH = 2\scmE$$

答えは 20 mm です。円板の半径 40 mm は、式のどこにも出てきません。

揚程は偏心量の2倍

円板の中心は、長さ e のクランクの先と同じ

この科目で使ってきた道具を思い出します。長さの決まった棒は、相手のピンのまわりに円を描くことしかできません（コンパスと同じです）。

円板の中心 C と軸 O の距離は、いつも $\scmE$ = 10 mm です。だから、カムが回ると、円板の中心 C は、軸 O のまわりに半径 10 mm の円を描きます。O と C を結ぶ線は、長さ 10 mm の見えないクランクです。

平らな面は、円のいちばん上に乗る

平らな面の従動節は、円板のいちばん高い点に乗っています。円のいちばん高い点は、いつも中心の真上、半径 $\scmR$ だけ上です。だから、

$$\text{面の高さ} = \text{中心 C の高さ} + \scmR$$

半径 $\scmR$ は、いつも同じだけ足されます。面の動きは、中心 C の上下の動きと、まったく同じです。

中心 C の高さを、角度で書く

従動節がいちばん下の姿（C が O の真下）から、カムが $\skiTheta$ 回ったとします。半径 $\scmE$ の円の上の点の高さは、O から測って $-\scmE\cos\skiTheta$ です。いちばん下は $-\scmE$ なので、そこから測った高さが変位です。

$$\scmY = -\scmE\cos\skiTheta - (-\scmE) = \scmE\,(1 - \cos\skiTheta)$$

$\skiTheta$ = 180° で $\cos\skiTheta = -1$ なので、いちばん上は $\scmY = 2\scmE$ です。中心 C が、軸の真下 $\scmE$ から、真上 $\scmE$ まで移る。だから、揚程は偏心量の2倍です。この、持ち上がる高さを揚程（リフト）といいます。

数で確かめる

使う式を先に置いて、この単元のカム（$\scmE$ = 10 mm）の数を入れます。

$$\scmY = \scmE\,(1 - \cos\skiTheta) = 10 \times (1 - \cos 90^{\circ}) = 10\ \mathrm{mm}$$ $$\scmH = 2\scmE = 2 \times 10 = 20\ \mathrm{mm}$$

90° 回ると半分の 10 mm、180° 回ると 20 mm です。そこから先は、同じ道を下りてきます。

円の影の動き（単弦運動）

$\scmY = \scmE(1 - \cos\skiTheta)$ は、円を一定の速さで回る点を、真横から見た影の動きと同じです。この動きを単弦運動（単振動）といいます。ピストンクランク機構 でも、連接棒がとても長いときの動きとして出てきました。機械力学の 1自由度の自由振動（ばねと質量） で、ばねにつるしたおもりが同じ動きをしました。

影の動きは、なめらかです。いちばん下といちばん上では、いったん止まります。速さがいちばん大きいのは、真ん中（$\skiTheta$ = 90° と 270°）です。

カムを一定の回転数で回すと、1秒に回る角度（角速度）$\skiOmega$ が決まります。速さと加速度は、円を回る点と同じです。

$$\scmVmax = \scmE\,\skiOmega, \qquad \scmAmax = \scmE\,\skiOmega^2$$

数で確かめる

カムを 30 min⁻¹（1分に30回転）で回します。1回転は $2\pi$ rad なので、

$$\skiOmega = \dfrac{2\pi \times 30}{60} = \pi = 3.14\ \mathrm{rad/s}$$ $$\scmVmax = \scmE\,\skiOmega = 10 \times 3.14 = 31.4\ \mathrm{mm/s}$$ $$\scmAmax = \scmE\,\skiOmega^2 = 0.010 \times 3.14^2 = 0.0987\ \mathrm{m/s^2}$$

回転数を2倍の 60 min⁻¹ にすると、揚程は 20 mm のままです。速さは2倍の 62.8 mm/s、加速度は 2² = 4倍の 0.395 m/s² になります。

公式を、2つのかたまりに分けて読む

$$\scmY = \underbrace{\scmE}_{\text{見えないクランクの長さ}} \times \underbrace{(1 - \cos\skiTheta)}_{\text{0 から 2 まで、なめらかに}}$$

1. 見えないクランクの長さ $\scmE$　動きの大きさを決めます。円板の半径は入りません。
2. なめらかな山 $1 - \cos\skiTheta$　0 から始まって、180° で 2、360° で 0 に戻ります。どの偏心円板カムでも同じ形です。

接点は、横にずれる

平らな面と円板の接点は、いつも従動節の真ん中にあるわけではありません。接点は、円板の中心 C の真上です。だから、C が横にずれた分だけ、接点も横にずれます。

$$\text{接点の横のずれ} = \scmE\sin\skiTheta$$

いちばん大きいのは $\skiTheta$ = 90° と 270° のときで、左右に 10 mm ずつです。平らな面は、幅を 2 × 10 = 20 mm より広くしておかないと、カムが面の端から外れます。

この「横のずれ」は、変位 $\scmY$ の傾き（1 rad あたり何 mm 上がるか）と同じ数になります。式の導き方の中で確かめます。

4ストロークのエンジンでは、クランク2回転でカム1回転

自動車のエンジンの多くは4ストロークです。ピストンが下がって空気と燃料を吸う、上がって押し縮める、燃えて押し下げられる、上がって燃えたガスを押し出す。この4つの行程（ストローク）で、ひと回りです。ピストンの上下はクランクの回転とつながっていて（ピストンクランク機構）、1回転でピストンは1往復、つまり2行程です。4行程では、クランクは2回転します。

吸い込むためのバルブは、4行程のうち「吸う」ときに1回だけ開きます。カムは1回転に1回、バルブを押します。だから、クランクが2回転する間に、カムは1回転すればよいのです。カムの軸（カムシャフト）は、ベルトや鎖でクランクとつながれ、クランクの半分の速さで回ります。

$$\scmNc = 2\skiN$$

$\skiN$ はカムの回転数、$\scmNc$ はクランクの回転数です。

たとえば、エンジンのクランクが 3,000 min⁻¹ で回っているとき、カムは 1,500 min⁻¹ で回ります。

どの数字がいちばん効く？

それぞれの数字を1割（10%）だけ変えたとき、揚程・最高の速さ・最大の加速度がどう変わるかを並べます。

加速度には、回転数が2乗で効きます（1.1² = 1.21）。同じカムでも、速く回すと、従動節を急に動かすことになります。

エンジンのバルブに戻る

エンジンの速さで、数を確かめてみます。数は仮に決めたものです。クランクが 3,000 min⁻¹ で回るとき、カムは 1,500 min⁻¹ です。偏心量 5 mm（揚程 10 mm）の偏心円板カムで押すとします。

$$\skiOmega = \dfrac{2\pi \times 1500}{60} = 157\ \mathrm{rad/s}$$ $$\scmAmax = 0.005 \times 157^2 = 123\ \mathrm{m/s^2}$$

重力加速度（9.81 m/s²）の約13倍です。1秒に25回、バルブはこれほど急に押されたり戻されたりしています。従動節がカムから浮かないよう、強いばね（バルブばね）が、従動節をカムへ押し付けています。

本物のカムが卵形なのは、バルブを「閉じたまま」の時間を長くとるためです。偏心円板カムは、いつも上がるか下がるかしていて、止まっている時間がありません。卵形のカムは、丸い部分（基礎円）に乗っている間、バルブを閉じたままにします。上がり方の形は、次の 変位線図（等速・単弦・サイクロイド） で、線図として選びます。

動かしてみよう

偏心量 $\scmE$ を変えると、朱の線（見えないクランク）の長さが変わり、従動節の上下の幅が変わります。円板の中心が描く点線の円も、大きくなります。

円板の半径 $\scmR$ を変えると、円板は大きくも小さくもなりますが、従動節の上下の幅は変わりません。

回転数 $\skiN$ を変えると、波形の山の間隔が変わります。山の高さ（揚程）は変わりません。

「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、残した図の波形が薄く重なり、比べられます。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1偏心量 e を2倍の 20 mm にする。図の揚程の寸法と、答えの欄の揚程を見る。そのあと円板の半径 R も変えてみる（まだ）
2. 2e を 10 mm に、R を 40 mm に戻し、回転数 N を2倍の 60 min⁻¹ にする。波形の形と、最高の速さ・最大の加速度を見る（まだ）
3. 3N を 120 min⁻¹ にする（R 40・e 10 mm）。答えの欄の「クランクの回転数」を見る（まだ）

e偏心量（円板の中心のずれ）−mm＋

R円板の半径−mm＋

N原動節の回転数−min⁻¹＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.00 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる揚程（持ち上がる高さ）は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{h} = 2\htmlClass{q-geometry}{e}$$$$= 2 \times 10$$$$= 20\ \mathrm{mm}$$

揚程（持ち上がる高さ）

$\htmlClass{q-displacement}{h} = 20\ \mathrm{mm}$

従動節の最高の速さ

$\htmlClass{q-flow}{v_{\max}} = 31.4\ \mathrm{mm/s}$

従動節の最大の加速度

$\htmlClass{q-flow}{a_{\max}} = 0.0987\ \mathrm{m/s^2}$

4ストロークのエンジンなら、クランクの回転数

$\htmlClass{q-flow}{N_c} = 60\ \mathrm{min^{-1}}$

途中の計算（導出）を見る

1. 揚程（いちばん下からいちばん上まで。円板の中心が e だけ下から、e だけ上へ移る）

   $$\htmlClass{q-displacement}{h} = 2\htmlClass{q-geometry}{e} = 2 \times 10 = 20\ \mathrm{mm}$$

2. カムの角速度（回転数を、1秒に回る角度に直す）

   $$\htmlClass{q-flow}{\omega} = \dfrac{2\pi \htmlClass{q-flow}{N}}{60} = \dfrac{2\pi \times 30}{60} = 3.14\ \mathrm{rad/s}$$

3. 従動節の最高の速さ（θ = 90° と 270° のとき）

   $$\htmlClass{q-flow}{v_{\max}} = \htmlClass{q-geometry}{e}\,\htmlClass{q-flow}{\omega} = 10 \times 3.14 = 31.4\ \mathrm{mm/s}$$

4. 従動節の最大の加速度（θ = 0° と 180° のとき）

   $$\htmlClass{q-flow}{a_{\max}} = \htmlClass{q-geometry}{e}\,\htmlClass{q-flow}{\omega}^2 = 0.01\ \mathrm{m} \times 3.14^2 = 0.0987\ \mathrm{m/s^2}$$

5. 4ストロークのエンジンなら、クランクはカムの2倍の速さで回る

   $$\htmlClass{q-flow}{N_c} = 2\htmlClass{q-flow}{N} = 2 \times 30 = 60\ \mathrm{min^{-1}}$$

よくある勘違い

「大きな円板ほど、高く持ち上がる」

持ち上がる高さは、円板の大きさではなく、中心のずれで決まります。

「揚程は偏心量と同じ」

揚程 = 10 mm ではありません。円板の中心は、軸の下 10 mm から、軸の上 10 mm まで動きます。上下を合わせて 20 mm です。クランク半径の2倍がピストンの行程になるのと、同じ理由です。

「カムは、エンジンのクランクと同じ速さで回る」

4ストロークのエンジンでは、カムはクランクの半分の速さです。バルブが開くのは、クランク2回転に1回だからです。

この公式が使える条件

• カムは一定の速さで回り、円板は真円。軸は円板の中心から $\scmE$ ずれている
• 従動節は平らな面で、面はカムの軸の真上を、まっすぐ上下に動く（面は動く向きに直角）
• 従動節はいつもカムに接している（ばねで押し付けている）。速く回しすぎて浮くと、この式どおりには動かない
• 部品の伸び縮みや、すき間は考えない

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

位置：軸 O を原点に、上向きを正にとります。従動節がいちばん下の姿で、円板の中心 C は O の真下 $(0, -\scmE)$ です。カムが反時計回りに $\skiTheta$ 回ると、C は

$$\mathrm{C} = (\scmE\sin\skiTheta,\ -\scmE\cos\skiTheta)$$

円の上でいちばん高い点は、C の真上 $\scmR$ の所です。平らな面はそこに接するので、面の高さは $\scmR - \scmE\cos\skiTheta$。いちばん下（$\scmR - \scmE$）から測ると、$\scmY = \scmE(1 - \cos\skiTheta)$ です。

速さと加速度：$\skiTheta = \skiOmega t$ として、時間で微分します。

$$\dfrac{d\scmY}{dt} = \scmE\,\skiOmega\sin\skiTheta, \qquad \dfrac{d^2\scmY}{dt^2} = \scmE\,\skiOmega^2\cos\skiTheta$$

速さは $\sin\skiTheta = 1$（90°）で最大 $\scmE\skiOmega$、加速度は $\cos\skiTheta = \pm 1$（0° と 180°）で最大 $\scmE\skiOmega^2$ です。

接点の横のずれ：接点は C の真上なので、横の位置は $\scmE\sin\skiTheta$ です。これは $d\scmY/d\skiTheta$ と同じです。平らな面の従動節では、いつも「接点の横のずれ ＝ 変位の角度による傾き」になります。

別の方法で確かめる：このサイトのテストでは、円板の輪郭の上に点を 7,200 個とり、カムといっしょに回して、いちばん高い点の高さを測りました。どの角度でも、$\scmE(1 - \cos\skiTheta)$ と一致します。