かみ合うかどうかは、1つの数で決まるモジュールとかみ合い

時計の歯車は、どうしてぴったりかみ合う？

置き時計や掛け時計の裏ぶたを開けると、大小の歯車がぎっしり並んでいます。大きい歯車と小さい歯車が、すき間なくかみ合い、秒針から時針まで、決まった速さで回します。

大きさの違う歯車どうしが、なぜぴったりかみ合うのでしょうか。歯車の売り場の表を見ると、歯数と並んで「モジュール」という数が書いてあります。この数がそろっていることが、かみ合う条件です。

模型の歯車箱で考えます。モジュール 2 mm の20歯の歯車で、同じモジュールの60歯の歯車を回します。2本の軸は、中心どうし何 mm 離せばよいでしょうか。

予想してから読む同じ考え方で、別の歯車箱なら？ モジュール 3 mm、25歯と35歯の平歯車をかみ合わせます。2本の軸の中心の距離は？

A30 mmB90 mmC180 mm

公式はこれ

$$d = m\,z, \qquad \smdA = \dfrac{\smdDOne + \smdDTwo}{2} = \dfrac{m(\smdZOne + \smdZTwo)}{2}, \qquad p = \pi m$$

答えは 80 mm です。

モジュールは、歯1枚あたりの直径

2枚が転がり合う円：ピッチ円

かみ合う2枚の歯車は、すべらずに転がり合う2つの円のように回ります。この円をピッチ円といいます。歯の先は、ピッチ円より少し外へ出ていて、歯の根元は少し内側にあります。

ピッチ円の上で、となりの歯の同じ所までの長さをピッチ $p$ といいます。$z$ 枚の歯が、ピッチ円の周りにぐるりと並ぶので、

$$\pi d = p\,z$$

π を外に出すと、切りのよい数になる

この式を $d$ について解くと、$d = (p/\pi)\,z$ です。かっこの中の $p/\pi$ に名前を付けたものが、モジュール $m$ です。

$$m = \dfrac{p}{\pi} \qquad\Longrightarrow\qquad d = m\,z$$

ピッチで歯の大きさを決めると、ピッチ円の直径に、いつも π の半端な数が付きます。モジュールで決めれば、2 mm・20歯で直径はちょうど 40 mm です。モジュールは「歯1枚あたり、ピッチ円の直径が何 mm 増えるか」と読めます。

モジュールが大きいほど、歯は大きくなります。並歯の歯車では、歯の先はピッチ円から $m$ 外、歯の根元は $1.25m$ 内にあります。だから、60歯の歯車のいちばん外側（歯先円）の直径は $2 \times (60 + 2) = 124\ \mathrm{mm}$ です。

かみ合う2枚は、モジュールが同じ

2枚の歯車がかみ合うには、一方の歯が、もう一方の歯みぞに、次々に入らなければいけません。そのためには、歯の間隔（ピッチ）が同じでなければいけません。$p = \pi m$ なので、ピッチが同じことは、モジュールが同じことです。

モジュール 2 mm の歯車に、2.5 mm の歯車を合わせてみます。

$$\smdPOne = \pi \times 2 = 6.28\ \mathrm{mm}, \qquad \smdPTwo = \pi \times 2.5 = 7.85\ \mathrm{mm}$$

1枚目の歯をうまく歯みぞに入れても、となりの歯では、もう 1.57 mm ずれます。2 mm の歯車の歯みぞの幅は、ピッチの半分の 3.14 mm です。その半分もずれるので、歯は歯みぞに入らず、歯と歯がぶつかります。

反対に、モジュールがそろっていれば、大きさの違う歯車でも、かみ合います。時計の中の大小の歯車は、歯の大きさが同じなのです。

規格で決まった値から選ぶ

モジュールは、どんな値でもよいわけではありません。日本産業規格 JIS B 1701-2（国際規格の ISO 54 と同じ内容）が、標準の値を決めています。なるべく使うようにと書かれた値（第1系列）は、0.5〜10 mm の間では次の 14 通りです。

値をそろえるのは、歯を削る工具のためです。歯車の歯は、ホブという刃物で削ります。ホブは、モジュールごとに1本要ります。そのかわり、同じモジュールなら、1本のホブで、どの歯数の歯車も削れます。

この単元のシミュレータでも、モジュールは、この14通りの値だけから選べます。

中心距離は半径の和

かみ合う2枚のピッチ円は、1点で接しています。だから、2本の軸の中心の距離は、2つのピッチ円の半径の和です。

$$\smdA = \dfrac{\smdDOne}{2} + \dfrac{\smdDTwo}{2} = \dfrac{m\,\smdZOne + m\,\smdZTwo}{2} = \dfrac{m(\smdZOne + \smdZTwo)}{2}$$

模型の歯車箱で確かめます。使う式は $\smdA = m(\smdZOne + \smdZTwo)/2$ です。

$$\smdA = \dfrac{2 \times (20 + 60)}{2} = 80\ \mathrm{mm}$$

ピッチ円の直径は 40 mm と 120 mm で、半径は 20 mm と 60 mm。足して 80 mm です。

公式を、かたまりに分けて読む

$$\smdA = \underbrace{m}_{\text{歯の大きさ}} \times \underbrace{(\smdZOne + \smdZTwo)}_{\text{歯の数の合計}} \times \underbrace{\dfrac{1}{2}}_{\text{直径を半径に}}$$

1. 歯の大きさ $m$　同じ歯数なら、モジュールを2倍にすると、歯車も中心距離も2倍になります。
2. 歯の数の合計 $\smdZOne + \smdZTwo$　中心距離に効くのは、2枚の歯数の合計だけです。20歯と60歯でも、40歯と40歯でも、中心距離は同じ 80 mm です。
3. 直径を半径に $1/2$　中心の間は、半径を2つ足した長さだからです。

どの数字がいちばん効く？

模型の歯車箱（m = 2 mm・20歯と60歯）から、それぞれの数字を変えたとき、中心距離がどう変わるかを並べます。

モジュールは、とびとびの値しか選べません。1つ上げるだけで、中心距離は大きく変わります。歯数は1枚ずつ変えられるので、細かい調整は歯数でします。

模型の歯車箱に戻る

軸の穴が、もう開いている歯車箱を考えます。穴の中心どうしは 60 mm で、歯数比 2 の歯車を入れたいとします。

中心距離の式を、歯数の和について解くと、

$$\smdZOne + \smdZTwo = \dfrac{2\,\smdA}{m}$$

モジュール 2 mm なら、和は 60 です。歯数比 2 なので、20歯と40歯で入ります。モジュール 1.5 mm だと、和は 80 になり、3でわり切れません。歯数比 2 の組はつくれません。

動かしてみよう

モジュールは、規格の第1系列の値（0.5〜10 mm の14通り）のボタンで選びます。

歯車2のモジュールだけを 2.5 にしてみてください。右の図で、上と下の歯の間隔がずれていき、左の図では歯どうしが重なります。次に、2枚のモジュールをそろえて、歯数を変えてみてください。中心距離が、歯数の合計で決まることが分かります。

「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、前の図と並べて比べられます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1歯車2のモジュールだけを、1つ上の 2.5 mmにする（まだ）
2. 22枚とも 1 mmにして、歯数を 40 と 120 にする（まだ）
3. 3歯数を 20 と 60 にもどし、2枚とも 4 mmにする（まだ）

m1歯車1のモジュール [mm]

11.522.5345

z1歯車1の歯数−＋

m2歯車2のモジュール [mm]

11.522.5345

z2歯車2の歯数−＋

いまの図を残して比べる中心距離は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-geometry}{a} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{d_1} + \htmlClass{q-geometry}{d_2}}{2}$$$$= \dfrac{40 + 120}{2}$$$$= 80\ \mathrm{mm}$$

中心距離

$\htmlClass{q-geometry}{a} = 80\ \mathrm{mm}$

歯車1のピッチ円の直径

$\htmlClass{q-geometry}{d_1} = 40\ \mathrm{mm}$

歯車2のピッチ円の直径

$\htmlClass{q-geometry}{d_2} = 120\ \mathrm{mm}$

歯車1のピッチ

$\htmlClass{q-geometry}{p_1} = 6.283\ \mathrm{mm}$

歯車2のピッチ

$\htmlClass{q-geometry}{p_2} = 6.283\ \mathrm{mm}$

途中の計算（導出）を見る

1. 歯車1のピッチ円の直径（モジュール × 歯数）

   $$\htmlClass{q-geometry}{d_1} = \htmlClass{q-geometry}{m_1}\,\htmlClass{q-geometry}{z_1} = 2 \times 20 = 40\ \mathrm{mm}$$

2. 歯車2のピッチ円の直径

   $$\htmlClass{q-geometry}{d_2} = \htmlClass{q-geometry}{m_2}\,\htmlClass{q-geometry}{z_2} = 2 \times 60 = 120\ \mathrm{mm}$$

3. 中心距離（2つの半径の和）

   $$\htmlClass{q-geometry}{a} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{d_1} + \htmlClass{q-geometry}{d_2}}{2} = \dfrac{40 + 120}{2} = 80\ \mathrm{mm}$$

4. ピッチを比べる（同じなので、かみ合う）

   $$\htmlClass{q-geometry}{p_1} = \pi\,\htmlClass{q-geometry}{m_1},\quad \htmlClass{q-geometry}{p_2} = \pi\,\htmlClass{q-geometry}{m_2} = \pi \times 2,\quad \pi \times 2 = 6.28\ \mathrm{mm} = 6.28\ \mathrm{mm}$$

よくある勘違い

「大きい歯車ほど、歯も大きい」

歯の大きさを決めるのは、モジュールだけです。m = 2 mm なら、20歯の歯車も60歯の歯車も、歯の大きさは同じです。大きい歯車は、同じ大きさの歯を、たくさん持っているだけです。

「直径が同じなら、かみ合う」

直径は同じ 60 mm でも、歯の間隔が違うので、かみ合いません。

「中心距離は、2つの直径の和」

2 × 20 + 2 × 60 = 160 mm　直径の和は、中心距離の2倍です。中心どうしの距離は、半径の和の 80 mm です。

この公式が使える条件

• 平歯車（歯がまっすぐ）で、外側どうしでかみ合う2枚（内歯車とかみ合うときは、半径の差になる）
• 圧力角 20° の並歯（歯の先はピッチ円から $m$ 外、歯の根元は $1.25m$ 内）
• 歯の位置をずらして削った歯車（転位歯車）ではない
• 2枚のピッチ円が、ちょうど接する位置に置く（実物では、歯の間にわずかなすき間を取る）

モジュールが同じでないといけない理由（くわしく知りたい人へ）

歯の形（インボリュート曲線）は、基礎円という円に巻いた糸をほどくときの、糸の先が描く線です。基礎円の直径は、ピッチ円の直径の $\cos 20^{\circ}$ 倍です。

2枚の歯は、2つの基礎円に共通の接線（作用線）の上で、押し合います。1組の歯が離れる前に、次の組の歯が作用線に入ってこなければ、回転は途切れます。作用線の上で、となりの歯までの間隔は、基礎円の上のピッチと同じです。

$$p_b = \dfrac{\pi \times d\cos 20^{\circ}}{z} = \pi m \cos 20^{\circ}$$

2枚でこれが同じでないと、作用線の上で歯の間隔がそろわず、次の歯が、前の歯とぶつかるか、離れてしまいます。圧力角がどちらも 20° なら、$p_b$ が同じことは、$m$ が同じことです。