プロペラを2倍に大きくすると、要る動力は半分プロペラの推力（ドローンが浮く力）

ドローンは、何を押して浮いている？

空撮用のドローンが、池の上で止まって浮いています。真下の水面には、外へ広がる波の輪ができています。プロペラの下から、強い風が吹き下ろしているのです。

ドローンが浮いていられるのは、この空気を下へ押し出しているからです。では、1 kg のドローンが浮いているには、どれだけの空気を、どれだけの速さで押し下げればよいのでしょうか。そのための動力はいくらでしょうか。

予想してから読む同じ重さのドローンで、プロペラの直径を2倍にした。浮いているだけで要る動力（理想）は、どうなる？

A4分の1B半分C変わらない

公式はこれ

$$\sprP = \dfrac{\sprT^{1.5}}{\sqrt{2\,\sryRho\,\sprA}}$$

「理想」は、プロペラの羽根の摩擦も、モーターの熱も無い、という意味です。これより少ない動力では、どんなプロペラでも浮けません。

押し下げた空気の反動で浮く

ふくらませた風船の口を結ばずに手を放すと、風船は空気を噴き出しながら、反対の向きへ飛んでいきます。

ホースや消防の筒先の反動と同じです。運動量の法則（噴流が押す力） の決まり「毎秒押し出した流体の質量 × 速さ ＝ 力」です。プロペラも、空気を下へ押し出し、その反動で上向きの力（推力）を受けます。

プロペラを通る空気の速さを $\sprVi$ とすると、毎秒プロペラの円を通る空気の質量は

$$\sprMdot = \sryRho\,\sprA\,\sprVi = 1.204 \times 0.126 \times 5.69 = 0.861\ \mathrm{kg/s}$$

この空気は、プロペラを通り過ぎたあとも速くなり続け、ずっと下では、プロペラを通るときの2倍の速さ $\sprW = 2\sprVi$ になります（理由は、下の「式の導き方」で）。推力は「毎秒の空気の質量 × 速さ」なので、

$$\sprT = \sprMdot\,\sprW = 0.861 \times 11.4 = 9.81\ \mathrm{N}$$

ちょうど 1 kg の物の重さです。1 kg のドローンは、毎秒 0.861 kg、つまり約 0.7 m³ の空気を、11.4 m/s まで押し下げて浮いています。

動力は、空気に渡す運動エネルギー

止まっていた空気を、毎秒 0.861 kg ずつ 11.4 m/s まで速くするには、エネルギーが要ります。ベルヌーイの定理 の「財布の中身の両替」で言えば、止まっていた空気の財布に、モーターが外から速さの分を足しているのです。毎秒渡す運動エネルギーが、浮いているのに要る動力です。

$$\sprP = \tfrac{1}{2}\,\sprMdot\,\sprW^2 = \tfrac{1}{2} \times 0.861 \times 11.4^2 = 55.8\ \mathrm{W}$$

同じ値は「推力 × プロペラを通る空気の速さ」でも出ます。$9.81 \times 5.69 = 55.8\ \mathrm{W}$ です。

大きいプロペラほど得

同じ 9.81 N の推力は、「少しの空気を速く」押し下げても、「たくさんの空気をゆっくり」押し下げても作れます。推力は質量 × 速さ、動力は質量 × 速さの2乗に比例するので、ゆっくりのほうが少ない動力で済みます。たくさんの空気を通すには、プロペラを大きくします。

直径を2倍にすると、円の面積は4倍。押し下げる空気は2倍に増え、速さは半分で済み、動力は半分になります。

大きな回転翼をゆっくり回すヘリコプターは、この考え方をいちばん先まで進めた形です。

重さには1.5乗で効く

直径 20 cm のまま、機体を重くしていくと、動力は次のようになります。

推力を2倍にするには、空気の量と速さを、どちらも √2 倍にします（√2 × √2 ＝ 2）。動力は、推力の2倍に、プロペラを通る速さの √2 倍がかかって、$2 \times \sqrt{2} = 2.83$ 倍です。

実際の機体は、理想の約3倍の電気を使う

DJI の空撮ドローン Mavic 3 Pro は、離陸重量 958 g、プロペラの直径 23.9 cm（4枚）、電池 77 Wh で、その場に浮いていられる時間は最大 37 分です（DJI の公表値。無風・海抜 0 m で、電池を 100% から 0% まで使ったとき）。

37 分で 77 Wh を使うので、電池から出している平均の動力は 125 W です。公式で出す理想の動力は 43.8 W なので、実際は理想の 2.85倍 の電気を使っています。

差の一部は、プロペラとモーターの損失です。NASA が市販のドローンのプロペラを測った試験では、理想の動力と、プロペラを回すのに実際に要った動力の比（フィギュア・オブ・メリット）は 0.58〜0.72 でした。羽根が空気をこする摩擦や、吹き下ろしの速さがプロペラの円の中でそろわないことで、理想より多くの動力が要ります。モーターと、モーターに電気を送る回路を合わせた効率も 7〜8割ほどです（Russell ほか、2016年）。残りの差には、機体の電子回路やカメラが使う電気も入ります。この単元の盤では、目安として「電池から出す動力は、理想の約3倍」としています。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\sprP = \underbrace{\sprT}_{\text{推力}} \times \underbrace{\sqrt{\dfrac{\sprT}{2\,\sryRho\,\sprA}}}_{\text{プロペラを通る空気の速さ}}$$

1. 推力 $\sprT$　浮いているときは、機体の重さそのものです。
2. プロペラを通る空気の速さ $\sprVi$　推力を、プロペラの円の面積で割った「1 m² あたりの推力」の √ で決まります。同じ推力でも、面積が広ければ、ゆっくりで済みます。
3. かけ算で動力　「力 × 速さ」です。重さが増えると、推力も速さも増えるので、動力は重さの 1.5乗で増えます。

どの数字がいちばん効く？

1 kg・直径 20 cm から、それぞれの数字を 10% 変えたとき、理想の動力と浮いていられる時間がどう変わるかを並べます。

いちばん効くのは、機体の重さです。電池を大きくすると、その分だけ機体が重くなるので、浮いていられる時間は電池の増えほどには延びません。

池の上のドローンに戻る

水面に波の輪ができていたのは、ドローンが毎秒 1 kg 近い空気を、10 m/s ほどの速さで下へ押し下げていたからでした。その反動が、機体を支える推力です。押し下げる空気が多く、遅いほど、少ない電気で浮いていられます。

動かしてみよう

機体の質量 $\sprM$ のスライダーを動かしてみてください。上向きの推力の矢印と、下向きの重さの矢印が同じ長さで伸び、押し下げる空気の青い矢印も長くなります。

次に、プロペラの直径 $\sprD$ を変えてみてください。プロペラの円が大きくなると、青い矢印は短くなり、下のグラフの点は、動力の曲線に沿って下がります。

「いまの図を残して比べる」を押してから直径を2倍にすると、動力が半分になるのが、並べて見られます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1直径 20 cm のまま、機体の質量 m を4倍の 4 kg にして、押し下げる空気の速さと量を見る（まだ）
2. 2質量 1 kg のまま、プロペラの直径 D を2倍の 40 cm にして、理想の動力を見る（まだ）
3. 3直径 20 cm のまま、質量 m を2倍の 2 kg にして、動力と浮いていられる時間を見る（まだ）

m機体の質量（電池を含む）−kg＋

Dプロペラの直径−cm＋

E電池のエネルギー−Wh＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる浮くのに要る動力（理想）は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-moment}{P_{\text{理想}}} = \htmlClass{q-force}{T}\,\htmlClass{q-displacement}{v}$$$$= 9.81 \times 5.69$$$$= 55.8\ \mathrm{W}$$

浮くのに要る動力（理想）

$\htmlClass{q-moment}{P_{\text{理想}}} = 55.8\ \mathrm{W}$

推力（4枚の合計）

$\htmlClass{q-force}{T} = 9.81\ \mathrm{N}$

押し下げた空気の、ずっと下での速さ

$\htmlClass{q-displacement}{w} = 11.4\ \mathrm{m/s}$

毎秒押し下げる空気の質量

$\htmlClass{q-displacement}{\dot{m}} = 0.861\ \mathrm{kg/s}$

電池から出す動力（目安）

$\htmlClass{q-moment}{P_{\text{電}}} = 167\ \mathrm{W}$

浮いていられる時間（目安）

$\htmlClass{q-flow}{t} = 28\ \text{分}$

ほかの値（2 個）

プロペラが回る円の面積（4枚の合計）

$\htmlClass{q-geometry}{A} = 0.126\ \mathrm{m^2}$

プロペラを通る空気の速さ

$\htmlClass{q-displacement}{v} = 5.69\ \mathrm{m/s}$

途中の計算（導出）を見る

1. 浮いているときの推力（4枚の合計）は、機体の重さと同じ

   $$\htmlClass{q-force}{T} = \htmlClass{q-material}{m}\,\htmlClass{q-geometry}{g} = 1 \times 9.807 = 9.81\ \mathrm{N}$$

2. プロペラが回る円の面積（4枚の合計）

   $$\htmlClass{q-geometry}{A} = 4 \times \dfrac{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{D}^2}{4} = 4 \times \dfrac{\pi \times 0.2^2}{4} = 0.126\ \mathrm{m^2}$$

3. プロペラを通る空気の速さ（推力 ＝ 毎秒の空気の質量 × ずっと下での速さ 2v から）

   $$\htmlClass{q-displacement}{v} = \sqrt{\dfrac{\htmlClass{q-force}{T}}{2\,\htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-geometry}{A}}} = \sqrt{\dfrac{9.81}{2 \times 1.204 \times 0.126}} = 5.69\ \mathrm{m/s}$$

4. 浮くのに要る動力（理想）。推力 × プロペラを通る空気の速さ

   $$\htmlClass{q-moment}{P_{\text{理想}}} = \htmlClass{q-force}{T}\,\htmlClass{q-displacement}{v} = 9.81 \times 5.69 = 55.8\ \mathrm{W}$$

5. 浮いていられる時間（目安。電池から出す動力を、理想の 3 倍とみる）

   $$\htmlClass{q-flow}{t} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{E}}{3\,\htmlClass{q-moment}{P_{\text{理想}}}} = \dfrac{77\ \mathrm{Wh}}{3 \times 55.8\ \mathrm{W}} = 0.46\ \mathrm{h} = 28\ \text{分}$$

よくある勘違い

「重さが2倍なら、要る動力も2倍」

2倍になるのは推力です。推力を2倍にするには、押し下げる空気の速さも √2 倍に上げる必要があるので、動力は 2 × √2 ＝ 2.83倍になります。

「プロペラを速く回すほど、効率よく浮ける」

同じ重さを支えるなら、小さいプロペラを速く回すより、大きいプロペラをゆっくり回すほうが、少ない動力で済みます。

「プロペラの枚数を増やすほど、少ない動力で浮ける」

効くのは、プロペラが回る円の面積の合計です。同じ直径のプロペラを4枚から8枚にすれば面積は2倍ですが、機体が大きく重くなります。面積の合計が同じなら、枚数を変えても理想の動力は変わりません。

この公式が使える条件

• 空中の1か所に止まって浮いている（前へ進むとき、上がるときは、別の勘定になる）
• 風が無い
• 4枚のプロペラの円は重ならず、それぞれが自分の円を通る空気だけを押す
• プロペラを通る空気の速さは、円の中でどこも同じとみなす（運動量理論）
• 空気は押し縮められないとみなす
• 地面や水面から十分に離れている（低い所では、吹き下ろしが地面に当たって、少しの動力で浮ける）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

運動量の勘定：プロペラのずっと上では、空気は止まっています。プロペラを通る空気の速さを $\sprVi$、ずっと下での速さを $\sprW$ とします。毎秒プロペラを通る空気の質量は $\sprMdot = \sryRho\sprA\sprVi$ で、その空気の運動量は、毎秒 0 から $\sprMdot\sprW$ に増えます。毎秒の運動量の増え ＝ 力 なので、

$$\sprT = \sprMdot\,\sprW$$

エネルギーの勘定：プロペラが空気にする仕事は、毎秒「推力 × プロペラを通る空気の速さ」$\sprT\sprVi$ です。損失がなければ、これがそっくり、押し下げた空気の運動エネルギー $\tfrac{1}{2}\sprMdot\sprW^2$ になります。

$$\sprT\,\sprVi = \tfrac{1}{2}\,\sprMdot\,\sprW^2 = \tfrac{1}{2}\,\sprT\,\sprW \qquad\Longrightarrow\qquad \sprW = 2\,\sprVi$$

ずっと下での速さは、プロペラを通るときの2倍です。

速さと動力：$\sprT = \sryRho\sprA\sprVi \times 2\sprVi = 2\sryRho\sprA\sprVi^2$ を解いて、

$$\sprVi = \sqrt{\dfrac{\sprT}{2\,\sryRho\,\sprA}}, \qquad \sprP = \sprT\,\sprVi = \dfrac{\sprT^{1.5}}{\sqrt{2\,\sryRho\,\sprA}}$$

1 kg・直径 20 cm × 4枚では、$\sprVi = \sqrt{9.81 / (2 \times 1.204 \times 0.126)} = 5.69\ \mathrm{m/s}$、$\sprP = 9.81 \times 5.69 = 55.8\ \mathrm{W}$ です。