4倍深い穴でも、水の速さは2倍ベルヌーイの定理

水槽の穴から、水はどれだけ速く出る？

庭に置いた雨水タンクの、下の方の口を開けると、水が勢いよく出てきます。タンクに水がたっぷりあるときは強く出て、残りが少なくなると、弱々しくなります。

水を押し出しているのは、口より上にある水の重さです。では、水面から 1 m 下の穴から、水は毎秒何 m で出てくるのでしょうか。穴をもっと深い所にあけると、どれだけ速くなるのでしょうか。

予想してから読む水槽の側面の穴を、水面から4倍深い所にあけると、出る水の速さは何倍になる？

A4倍B2倍C16倍

公式はこれ

$$\sbeV = \sqrt{2\,\sryG\,\sbeH}$$

答えは 4.43 m/s です。これは、1 m の高さから物を落としたとき、床に着く直前の速さと同じです。

イタリアのトリチェリが、1644年に本にまとめた結果です。そのため、この式はトリチェリの定理と呼ばれます。式の出どころは、そのあとダニエル・ベルヌーイが 1738年に出した、流れのエネルギーの考え方で説明できます。それを、次の節で見ていきます。

財布の中身の両替

流れの持つエネルギーは、3つの形で持てる

流れている水 1 m³ が持つエネルギーは、3つの形に分けられます。

1. 圧力の分：まわりから押されている分。圧力 $\sryP$ そのもの
2. 速さの分：動いている分。$\tfrac{1}{2}\sryRho\sryV^2$（運動エネルギー $\tfrac{1}{2}mv^2$ の、1 m³ あたり）
3. 高さの分：高い所にいる分。$\sryRho\sryG\sryZ$（位置エネルギー $mgz$ の、1 m³ あたり）

どれも単位は Pa です。1 Pa は、1 m³ あたり 1 J のエネルギーと同じ大きさです。

財布の中のお金にたとえます。千円札・百円玉・十円玉のように、同じ金額を、違う形で持てます。両替しても、合計の金額は変わりません。

流れも同じです。損失がなければ、流れに沿って、3つの分の合計は変わりません。これをベルヌーイの定理といいます。

$$\sryP + \tfrac{1}{2}\sryRho\sryV^2 + \sryRho\sryG\sryZ = \text{一定}$$

水面から穴の手前へ：高さを圧力に両替する

水槽の中の水を、水面から穴まで、たどってみます。高さは、穴の中心から測ることにします。

水面では、水はほとんど止まっています。圧力はまわりの空気と同じなので、ゲージ圧で 0 です。持っているのは、高さの分 $\sryRho\sryG\sbeH$ だけです。

穴のすぐ手前（水槽の中）まで下りてくると、高さの分は 0 になります。その代わり、上に載った水の重さで、圧力が $\sbeP = \sryRho\sryG\sbeH$ に増えています。静水圧（深さと圧力） の、深さと圧力の関係です。深さ 1 m なら、

$$\sbeP = 998.2 \times 9.807 \times 1 = 9.79\ \mathrm{kPa}$$

高さの分が、そっくり圧力の分に両替されました。

穴の手前から外へ：圧力を速さに両替する

穴を出た水は、まわりの空気の中にいます。圧力は、またゲージ圧で 0 に戻ります。なくなった圧力の分 9.79 kPa は、速さの分に両替されます。

$$\tfrac{1}{2}\sryRho\sbeV^2 = \sryRho\sryG\sbeH$$

両辺に $\sryRho$ があるので、割ると消えます。両辺を2倍して √ をとると、

$$\sbeV = \sqrt{2\,\sryG\,\sbeH} = \sqrt{2 \times 9.807 \times 1} = 4.43\ \mathrm{m/s}$$

最初に置いた公式です。財布の中身は、水面でも、穴の手前でも、穴の外でも、同じ 9.79 kPa でした。形が「高さ → 圧力 → 速さ」と替わっただけです。

深さ4倍で速さ2倍

穴の深さを変えると、出る速さは次のようになります。

圧力は深さに比例して4倍、16倍と増えます。速さは2倍、4倍にしかなりません。速さの分 $\tfrac{1}{2}\sryRho\sryV^2$ が速さの2乗なので、速さを2倍にするには、4倍の圧力が要るからです。

流量は、穴より細い噴流で決まる

毎秒どれだけの水が出るか（流量）は、速さに穴の面積をかけて出します。直径 10 mm の穴の面積は 78.5 mm² です。

$$\sbeQth = \sbeA\,\sbeV = 78.5 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^2} \times 4.43\ \mathrm{m/s} = 0.348\ \mathrm{L/s}$$

ところが、実際に出る水は、これより少なくなります。角の鋭い穴では、水が四方から穴へ集まってくるので、穴を出たすぐ先で、噴流が穴より細くくびれるからです。この細くなることを縮流といいます。

縮流と、わずかな損失を合わせた割合を流量係数 $\sbeC$ といいます。角の鋭い小さな穴では、約 0.61 です（目安。穴の形や、壁の厚さで変わります）。

$$\sbeQ = \sbeC\,\sbeA\,\sbeV = 0.61 \times 0.348\ \mathrm{L/s} = 0.212\ \mathrm{L/s}$$

理論の約6割です。毎分になおすと 12.7 L。家の浴槽（200 L ほど）を満たすには、15分以上かかる流れです。

細い所では、圧力が下がる

財布の両替は、穴から出る水だけの話ではありません。水平な管の中でも起きています。

管が途中で細くなると、同じ量の水が、細い所を速く通り抜けます。連続の式（流量は変わらない） の決まり（入った量 ＝ 出た量）です。内径 20 mm から 10 mm にすると、断面積は4分の1なので、速さは4倍です。

速さの分が増えた分、圧力の分は減ります。管の途中に細いガラス管を立てると、水がそこまで上がる高さ（液柱）で、圧力を見られます。

太い所では 0.5 m/s で、液柱は 511 mm。細い所では 2 m/s に速くなり、液柱は 320 mm に下がります。191 mm 分の圧力が、速さに両替されたのです。太さが元に戻ると、速さも圧力も元に戻ります。

手で確かめてください。細い所の内径と、太い所の流速を動かすと、真ん中の液柱が上がり下がりします。管の中の粒は、細い所で速く、間隔を広げて流れます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1細い所の内径 D2 を 14 mm にして（太い所の流速は 0.5 m/s のまま）、真ん中の液柱を見る（まだ）
2. 2細い所の内径 D2 を、太い所と同じ 20 mm にする（まだ）
3. 3内径は 10 mm のまま、太い所の流速 v1 を2倍の 1 m/s にする（まだ）

D2絞った所の内径−mm＋

v1太い所の流速−m/s＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-stress}{p_2} = p_1 - \htmlClass{q-stress}{\Delta p}$$$$= 5 - 1.87$$$$= 3.13\ \mathrm{kPa}$$

細い所の圧力（ゲージ圧）

$\htmlClass{q-stress}{p_2} = 3.13\ \mathrm{kPa}$

細い所の液柱の高さ

$\htmlClass{q-stress}{h_2} = 320\ \mathrm{mm}$

絞った所の流速

$\htmlClass{q-displacement}{v_2} = 2\ \mathrm{m/s}$

ベンチュリ管の圧力の差

$\htmlClass{q-stress}{\Delta p} = 1.87\ \mathrm{kPa}$

途中の計算（導出）を見る

1. 細い所の流速（入った量 ＝ 出た量）

   $$\htmlClass{q-displacement}{v_2} = \htmlClass{q-displacement}{v_1}\left(\dfrac{D_1}{\htmlClass{q-geometry}{D_2}}\right)^2 = 0.5 \times \left(\dfrac{20}{10}\right)^2 = 2\ \mathrm{m/s}$$

2. 増えた速さの分だけ、圧力の分が減る

   $$\htmlClass{q-stress}{\Delta p} = \tfrac{1}{2}\,\htmlClass{q-material}{\rho}\left(\htmlClass{q-displacement}{v_2}^2 - \htmlClass{q-displacement}{v_1}^2\right) = \tfrac{1}{2} \times 998.2 \times \left(2^2 - 0.5^2\right) = 1.87\ \mathrm{kPa}$$

3. 細い所の圧力（太い所の 5 kPa から引く）

   $$\htmlClass{q-stress}{p_2} = p_1 - \htmlClass{q-stress}{\Delta p} = 5 - 1.87 = 3.13\ \mathrm{kPa}$$

4. 液柱の高さに直す（負なら、液柱は立たない）

   $$\htmlClass{q-stress}{h_2} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{p_2}}{\htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-geometry}{g}} = \dfrac{3{,}130}{998.2 \times 9.807} = 320\ \mathrm{mm}$$

この圧力の下がり方は、流れの速さを測る道具に使われています。くわしくは、あとの 流速と流量の測り方（ピトー管・ベンチュリ管） で扱います。

同じことは、空気でも起きます。ゴム球の霧吹きは、ゴム球を握って、細い管に空気を勢いよく通します。速い空気の通り道は圧力が下がるので、その下に口を出した細い管から、瓶の中の液体が吸い上げられ、空気に吹き飛ばされて霧になります。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\underbrace{\sryP}_{\text{圧力の分}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}\sryRho\sryV^2}_{\text{速さの分}} + \underbrace{\sryRho\sryG\sryZ}_{\text{高さの分}} = \text{一定}$$

1. 圧力の分 $\sryP$　まわりの水に押されている分です。押されている水は、圧力の低い方へ向かって動き出せます。
2. 速さの分 $\tfrac{1}{2}\sryRho\sryV^2$　速さの2乗に比例します。速さを2倍にするには、4倍の分を払う必要があります。
3. 高さの分 $\sryRho\sryG\sryZ$　高さに比例します。どこを高さ 0 にするかは自由ですが、流れの中では同じ基準で測ります。

穴から出る速さ $\sqrt{2\sryG\sbeH}$ には、$\sryRho$ が入っていません。どのかたまりにも $\sryRho$ がかかっているので、両替のときに消えるからです。

どの数字がいちばん効く？

深さ 1 m・直径 10 mm の穴から、それぞれの数字を変えたとき、実際の流量がどう変わるかを並べます。

いちばん効くのは、穴の直径です。深くしても、なかなか速くはなりません。

雨水タンクに戻る

タンクの水が減ると、口から出る水が弱くなるのは、水面から口までの深さが小さくなるからです。満水で深さ 1 m のとき 4.43 m/s だった流れは、深さが 25 cm まで減ると、半分の 2.21 m/s になります。深さが4分の1になって、速さが半分です。

動かしてみよう

深さ $\sbeH$ のスライダーを動かして、水面を上げ下げしてみてください。噴流が遠くまで飛ぶようになり、右の3本の棒（水面・穴の手前・穴の外）が、そろって伸び縮みします。どの深さでも、3本の棒の高さは同じです。

次に、穴の直径 $\sbeD$ を変えてみてください。速さの矢印は変わらず、流量だけが変わります。

「いまの図を残して比べる」を押してから深さを4倍にすると、棒は4倍、速さの矢印は2倍に伸びるのが、並べて見られます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1深さ h を4倍の 4 m にして、出る速さが何倍になるか見る（穴は 10 mm のまま）（まだ）
2. 2深さは 1 m のまま、穴の直径 d を2倍の 20 mm にする（まだ）
3. 3深さ h を 0.25 m にして、圧力の棒と速さの棒を見比べる（まだ）

h水面から穴までの深さ−m＋

d穴の直径−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる穴から出る速さは、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-displacement}{v} = \sqrt{2\,\htmlClass{q-geometry}{g}\,\htmlClass{q-geometry}{h}}$$$$= \sqrt{2 \times 9.807 \times 1}$$$$= 4.43\ \mathrm{m/s}$$

穴から出る速さ

$\htmlClass{q-displacement}{v} = 4.43\ \mathrm{m/s}$

穴の高さの水の圧力（ゲージ圧）

$\htmlClass{q-stress}{p} = 9.79\ \mathrm{kPa}$

穴の断面積

$\htmlClass{q-geometry}{A} = 78.5\ \mathrm{mm^2}$

理論の流量（縮流なし）

$\htmlClass{q-displacement}{Q_{\mathrm{th}}} = 0.348\ \mathrm{L/s}$

実際の流量

$\htmlClass{q-displacement}{Q} = 0.212\ \mathrm{L/s}$

実際の流量（毎分）

$\htmlClass{q-displacement}{Q} = 12.7\ \mathrm{L/min}$

途中の計算（導出）を見る

1. 穴の高さの水の圧力（ゲージ圧。上に載った水の重さ）

   $$\htmlClass{q-stress}{p} = \htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-geometry}{g}\,\htmlClass{q-geometry}{h} = 998.2 \times 9.807 \times 1 = 9.79\ \mathrm{kPa}$$

2. 穴から出る速さ（圧力を、すべて速さに両替する）

   $$\htmlClass{q-displacement}{v} = \sqrt{2\,\htmlClass{q-geometry}{g}\,\htmlClass{q-geometry}{h}} = \sqrt{2 \times 9.807 \times 1} = 4.43\ \mathrm{m/s}$$

3. 穴の断面積

   $$\htmlClass{q-geometry}{A} = \dfrac{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{d}^2}{4} = \dfrac{\pi \times 10^2}{4} = 78.5\ \mathrm{mm^2}$$

4. 理論の流量（噴流が、穴と同じ太さで出るとしたとき）

   $$\htmlClass{q-displacement}{Q_{\mathrm{th}}} = \htmlClass{q-geometry}{A}\,\htmlClass{q-displacement}{v} = 78.5\times 10^{-6}\ \mathrm{m^2} \times 4.43\ \mathrm{m/s} = 0.348\ \mathrm{L/s}$$

5. 実際の流量（噴流が穴より細くなる分を、流量係数でかける）

   $$\htmlClass{q-displacement}{Q} = \htmlClass{q-material}{C}\,\htmlClass{q-geometry}{A}\,\htmlClass{q-displacement}{v} = 0.61 \times 0.348\ \mathrm{L/s} = 0.212\ \mathrm{L/s} = 12.7\ \mathrm{L/min}$$

よくある勘違い

「深さが2倍なら、出る速さも2倍」

2倍になるのは、穴の手前の圧力です。速さは √ が付くので、約 1.41倍にしかなりません。速さを2倍にするには、4倍の深さが要ります。

「重い液体ほど、勢いよく出る」

重い液体は、穴の手前の圧力が大きくなります。でも、押し出す相手も、同じ割合で重くなります。だから、出る速さは同じです。

空気の抵抗がなければ、重い物も軽い物も、同じ速さで落ちるのと同じです。

「流れの速い所ほど、圧力も高い」

ホースの水を手に当てると強く押されるので、速い流れは圧力が高い、と思いがちです。実際は逆で、管の細い所のように流れが速くなった所では、圧力は下がっています。上の図でも、速い細い所の液柱は 320 mm で、遅い太い所の 511 mm より低くなっていました。手が押されるのは、流れが手に当たって止められ、速さの分が圧力に両替されるからです。噴流が物を押す力は、あとの 運動量の法則（噴流が押す力） で扱います。

この公式が使える条件

• 損失がない（ねばりけによる摩擦を考えない。長い管では成り立たない）
• 流れの様子が時間で変わらない（定常の流れ）
• 流体が押し縮められない（液体。空気でも、ゆっくりした流れならよい）
• 同じ流れの線の上の、2か所の間で比べる
• 水槽の水面は十分広く、水面の下がる速さは 0 とみなせる
• 穴は、深さに比べて十分小さい（穴の上と下で、深さの差が小さい）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

エネルギーの勘定で導く：流れの中の、体積 $\Delta V$（質量 $m = \sryRho\,\Delta V$）の水のかたまりが、場所 1 から場所 2 へ移るとします。

場所 1 では、後ろの水が、圧力 $\sryP_1$ でかたまりを押し込みます。押し込む仕事は「力 × 動いた距離」で、断面積を $A_1$、動いた距離を $s_1$ とすると $\sryP_1 A_1 s_1 = \sryP_1\,\Delta V$ です。場所 2 では、かたまりが前の水を押しのけるので、$\sryP_2\,\Delta V$ の仕事を払います。

差し引きでもらった仕事 $(\sryP_1 - \sryP_2)\,\Delta V$ が、運動エネルギーと位置エネルギーの増えになります（損失なし）。

$$(\sryP_1 - \sryP_2)\,\Delta V = \tfrac{1}{2}m(\sryV_2^2 - \sryV_1^2) + mg(\sryZ_2 - \sryZ_1)$$

両辺を $\Delta V$ で割り、$m/\Delta V = \sryRho$ を入れて、場所 1 と場所 2 の量を左右に分けます。

$$\sryP_1 + \tfrac{1}{2}\sryRho\sryV_1^2 + \sryRho\sryG\sryZ_1 = \sryP_2 + \tfrac{1}{2}\sryRho\sryV_2^2 + \sryRho\sryG\sryZ_2$$

これがベルヌーイの定理です。

水槽の穴に当てはめる：場所 1 を水面（$\sryP_1 = 0$、$\sryV_1 = 0$、$\sryZ_1 = \sbeH$）、場所 2 を穴を出た所（$\sryP_2 = 0$、$\sryZ_2 = 0$）にとると、

$$\sryRho\sryG\sbeH = \tfrac{1}{2}\sryRho\sbeV^2 \qquad\Longrightarrow\qquad \sbeV = \sqrt{2\,\sryG\,\sbeH}$$

細くなる管に当てはめる：高さが同じ（$\sryZ_1 = \sryZ_2$）なら、圧力の差は速さの分の差です。上の図では $\tfrac{1}{2} \times 998.2 \times (2^2 - 0.5^2) = 1.87\ \mathrm{kPa}$ で、水柱にすると 191 mm です。