消防の筒先は、22 kg の力で押し返す運動量の法則（噴流が押す力）

消防の筒先は、なぜ押し返してくる？

火事の現場で放水する消防隊員は、ホースの先の筒先を、両手でしっかり握り、体で押さえています。水を前へ勢いよく出すと、筒先は後ろへ強く押し返されるからです。

ホースの中の水は、ただ前へ流れているだけです。それなのに、筒先はどれだけの力で押し返してくるのでしょうか。出す水を増やすと、その力はどう変わるのでしょうか。

予想してから読む同じ筒先のまま、毎分の放水量を2倍にすると、筒先の反動は何倍になる？

A2倍B4倍C8倍

公式はこれ

$$\sudF = \sryRho\,\sudQ\,\sudV$$

$\sryRho\,\sudQ$ は、毎秒出る水の質量です。力は「毎秒の質量 × 速さ」と読めます。

毎秒の質量 × 速さ

ボールを壁に当て続ける

テニスのボールを打ち出す機械を、壁に向けて置きます。ボールが次々に壁に当たると、壁は、ボールに押され続けます。

壁を押す力は、2つのことで大きくなります。

1. 毎秒当たるボールの質量が大きいほど（重いボール・たくさんのボール）
2. ボールの速さが大きいほど

物の速さを止めるには、「質量 × 速さ」（運動量）の分だけ、押し返さなければなりません。毎秒止めた運動量が、そのまま押す力になります。これを運動量の法則といいます。

噴流に当てはめる

噴流は、水のかたまりが、切れ目なく並んで飛んでくるものです。板に当たった水は横へそれて、前へ進む速さは 0 になります。毎秒、質量 $\sryRho\sudQ$ の水が、速さ $\sudV$ を失います。

$$\sudF = \underbrace{\sryRho\,\sudQ}_{\text{毎秒の質量}} \times \underbrace{\sudV}_{\text{失った速さ}}$$

筒先の側では、逆のことが起きています。筒先は、止まっていた水を毎秒 $\sryRho\sudQ$ だけ、速さ $\sudV$ まで押し出します。水を前へ押せば、筒先は同じ大きさで後ろへ押し返されます。これが反動です。

数で確かめる

消防の筒先の口径を 22.2 mm、放水量を毎分 550 L とします。毎分 550 L は、毎秒 9.17 L です。

1. 口の面積：$\sudA = \pi \times 22.2^2 / 4 = 387\ \mathrm{mm^2}$
2. 噴流の速さ：$\sudV = \sudQ / \sudA = 9.17 \times 10^{-3} / (387 \times 10^{-6}) = 23.7\ \mathrm{m/s}$
3. 毎秒の質量：$\sudM = 998.2 \times 9.17 \times 10^{-3} = 9.15\ \mathrm{kg/s}$

$$\sudF = \sudM\,\sudV = 9.15 \times 23.7 = 217\ \mathrm{N}$$

217 N を 9.807 で割ると、22.1 kg。22 kg の物を持ち上げるのと同じ重さの力が、筒先を後ろへ押します。

この数字は、実物の測定と合っています。東京消防庁の消防科学研究所は 1974年に、口径 22.2 mm のノズルで、放水量が毎分 550 L のとき、反動が 22 kg だったと報告しています。同じ報告には、筒先を持っていられる限界は、反動 20 kg くらいと言われていることも書かれています。

筒先の手前の圧力と、反動の関係

筒先の手前では、水はホースの中をゆっくり流れ、圧力を持っています。筒先は、その圧力を速さに両替します。ベルヌーイの定理 の財布の中身の両替です（ホースの中の速さは、小さいので考えません）。

$$\sudP = \tfrac{1}{2}\sryRho\sudV^2 = \tfrac{1}{2} \times 998.2 \times 23.7^2 = 280\ \mathrm{kPa}$$

東京消防庁の測定では、毎分 550 L のときのノズルの圧力は、ほぼ 0.29 MPa（3 kgf/cm²）でした。損失を考えない 280 kPa と、よく合います。

力の式に $\sudQ = \sudA\,\sudV$ を入れると、反動は、圧力と口の面積でも書けます。

$$\sudF = \sryRho\,\sudA\,\sudV^2 = 2 \times \tfrac{1}{2}\sryRho\sudV^2 \times \sudA = 2\,\sudP\,\sudA$$

反動は「圧力 × 口の面積」の2倍です。280 kPa × 387 mm² × 2 で、やはり 217 N になります。

同じ筒先で流量2倍なら、力は4倍

流量と口径を変えて、力を比べます。

口を細くして、同じ量の水を2倍の速さで出すと、力は2倍です。毎秒ぶつかる質量は同じで、速さだけが2倍だからです。

同じ口から2倍の水を出すと、口を通る速さも2倍になります。量が2倍・速さが2倍で、力は4倍です。同じ東京消防庁の測定では、毎分 720 L に増えると、反動は 37 kg になりました。計算では 371 N（37.9 kg）です。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\sudF = \underbrace{\sryRho}_{\text{1 m³ の質量}}\ \underbrace{\sudQ}_{\text{毎秒の体積}}\ \underbrace{\sudV}_{\text{速さ}}$$

1. $\sryRho$　水は 1 m³ で約 1,000 kg。空気は 1.2 kg なので、同じ量・同じ速さなら、力は水の約830分の1です。
2. $\sudQ$　毎秒どれだけの体積を出すか。ρ とかけると、毎秒の質量になります。
3. $\sudV$　そのかたまりを、どれだけの速さにしたか。同じ量なら、速いほど強く押します。

量と速さは、筒先の口で結びついています（$\sudV = \sudQ / \sudA$）。口の大きさが決まっていると、量を増やせば速さも増えます。だから、同じ筒先では、力は流量の2乗で効きます。

空気でも、同じ式が使えます。天井からフックで吊った扇を回すと、羽根は空気を下へ押し出します。回すと、フックが扇を引く力は増えるでしょうか、減るでしょうか。予想してから、風の強さを「強」にしてみてください。

天井扇とフック風の強さを切り替えて、フックが扇を引く力（朱の矢印）がどう変わるかを見てください初期値に戻す

風の強さ切弱中強

風の向き下向き（夏）上向き（冬の逆回転）

❚❚ 止める

フックの力 ＝ 重さ 63.7 N − 空気が押す力 0.0 N ＝ 63.7 N

風の速さ v ＝ 0.0 m/s（扇の下の風。どこも同じ速さとみなす）

03

羽根の直径 D ＝ 1.20 m

0.91.5

扇の質量 m ＝ 6.5 kg

38

羽根は、止まっていた空気を速さ v まで押し出します。押す力は「毎秒の質量 × 速さ」。筒先の反動と同じ式です。扇が空気を押すと、空気は同じ大きさで扇を押し返します。

いまの値

重さ m g

63.7 N

毎秒動かす空気 ṁ ＝ ρ A v

0.00 kg/s

空気を押す力 F ＝ ṁ v

0.0 N

フックの力

63.7 N

重さとくらべて

同じ

ヘリコプターが浮くのは、押す力が重さと同じになったとき（F ＝ m g）です。この見積もりでは、この扇が浮くには風の速さが 約 6.8 m/s 要ります。「強」の 2.0 m/s では、とても足りません。

ためす

1. 風を「切」から「強」にすると、フックの力は何 N 軽くなる？
2. 風の速さを 1.5 m/s から 3 m/s へ2倍にすると、空気を押す力は何倍になる？
3. 風の向きを「上向き」にすると、フックの力は重さより大きくなる？小さくなる？

答えを見る

1. 初めの扇（6.5 kg・直径 1.2 m）なら 約 5.4 N。重さの 約 9% です。　2. 4倍。毎秒の質量が2倍、速さも2倍になるからです。　3. 大きくなる。空気を上へ押すと、扇は下へ押し返されます。

実物のプロペラでは、羽根を通ったあとの流れが細く・速くなるので、同じ式でも係数が変わります（プロペラの単元の式では、羽根を通る速さ v に対して 2ρAv²）。この盤は、流れが細くならないとした、いちばん簡単な見積もりです。押す力は、この値の半分〜2倍の幅で変わります。 扇の下の空気を、羽根の円と同じ太さで、どこも同じ速さ v の流れとした見積もりです（空気の密度 1.2 kg/m³）。実物は、羽根の先と中心で速さが違い、部屋の中をめぐる流れでも変わります。 空気の粒は、流れを計算したものではありません。決めた道の上を、v に比例した速さで動かしています。風の速さと回転数の関係は機種で違うので、回転数は出していません。

どの数字がいちばん効く？

毎分 550 L・口径 22.2 mm から、1つずつ数字を変えたときの、反動の変わり方です。

いちばん効くのは、同じ筒先のまま流量を増やすことです。

消防の筒先に戻る

毎分 550 L の放水で、筒先の反動は 217 N（約 22 kg）。持っていられる限界と言われる 20 kg とほぼ同じです。消防隊員が両手と体で筒先を押さえるのは、それだけの力が、休まず押し返してくるからです。

ポンプの圧力が急に上がると、流量が増え、反動は流量の2乗で大きくなります。東京消防庁の研究所は、そうした圧力の変化があっても放水量を一定に保つ「定流量器」を作り、隊員の安全を図った、と報告しています。

ホースを地面に置いたまま水を出すと、筒先が跳ね回ります。押さえる人がいないので、反動で筒先が後ろへ、横へと動き続けるのです。

動かしてみよう

流量 $\sudQ$ と口径 $\sudD$ のスライダーを動かしてみてください。左の筒先の反動と、右の板を押す力の矢印は、いつも同じ長さで伸び縮みします。

口径を細くすると、噴流が細く、速くなり、力も大きくなります。流量を増やすと、量と速さが一緒に増えるので、矢印はもっと大きく伸びます。

「いまの図を残して比べる」を押してから流量を2倍にすると、矢印が4倍に伸びるのを、並べて見られます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1口径は 22.2 mm のまま、流量 Q を毎分 720 L にして（筒先の圧力を上げたとき）、反動を見る（まだ）
2. 2流量は毎分 550 L のまま、口径 d を 15.7 mm（口の面積が半分）にして、力が何倍になるか見る（まだ）
3. 3口径は 22.2 mm のまま、流量 Q を2倍の毎分 1,100 L にして、力が何倍になるか見る（まだ）

Q筒先から出る水の量−L/min＋

d筒先の口径−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる噴流が板を押す力（筒先の反動）は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-force}{F} = \htmlClass{q-material}{\dot{m}}\,\htmlClass{q-displacement}{v} = \htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-displacement}{Q}\,\htmlClass{q-displacement}{v}$$$$= 9.15 \times 23.7$$$$= 217\ \mathrm{N}$$

噴流が板を押す力（筒先の反動）

$\htmlClass{q-force}{F} = 217\ \mathrm{N}$

噴流の速さ

$\htmlClass{q-displacement}{v} = 23.7\ \mathrm{m/s}$

毎秒出る水の質量

$\htmlClass{q-material}{\dot{m}} = 9.15\ \mathrm{kg/s}$

同じ重さになる物の質量

$\htmlClass{q-material}{m_{\mathrm{eq}}} = 22.1\ \mathrm{kg}$

筒先の口の面積

$\htmlClass{q-geometry}{A} = 387\ \mathrm{mm^2}$

筒先の手前に要る圧力（ゲージ・損失なし）

$\htmlClass{q-stress}{p} = 280\ \mathrm{kPa}$

途中の計算（導出）を見る

1. 筒先の口の面積

   $$\htmlClass{q-geometry}{A} = \dfrac{\pi\,\htmlClass{q-geometry}{d}^2}{4} = \dfrac{\pi \times 22.2^2}{4} = 387\ \mathrm{mm^2}$$

2. 噴流の速さ（毎秒の体積を、口の面積で割る）

   $$\htmlClass{q-displacement}{v} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{Q}}{\htmlClass{q-geometry}{A}} = \dfrac{9.17\times 10^{-3}\ \mathrm{m^3/s}}{387\times 10^{-6}\ \mathrm{m^2}} = 23.7\ \mathrm{m/s}$$

3. 毎秒ぶつかる水の質量

   $$\htmlClass{q-material}{\dot{m}} = \htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-displacement}{Q} = 998.2 \times 9.17\times 10^{-3} = 9.15\ \mathrm{kg/s}$$

4. 板を押す力（毎秒の質量 × 失った速さ）。筒先の反動も同じ大きさ

   $$\htmlClass{q-force}{F} = \htmlClass{q-material}{\dot{m}}\,\htmlClass{q-displacement}{v} = \htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-displacement}{Q}\,\htmlClass{q-displacement}{v} = 9.15 \times 23.7 = 217\ \mathrm{N}$$

5. 同じ重さになる物の質量（力を g で割る）

   $$\htmlClass{q-material}{m_{\mathrm{eq}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F}}{\htmlClass{q-geometry}{g}} = \dfrac{217}{9.807} = 22.1\ \mathrm{kg}$$

6. 筒先の手前に要る圧力（速さの分を圧力で払う。損失なし）

   $$\htmlClass{q-stress}{p} = \tfrac{1}{2}\,\htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-displacement}{v}^2 = \tfrac{1}{2} \times 998.2 \times 23.7^2 = 280\ \mathrm{kPa}$$

よくある勘違い

「反動は、圧力 × 口の面積」

筒先の手前の圧力に、口の面積をかけただけでは、反動の半分しか出ません。

圧力 × 口の面積は、口を栓でふさいだとき、栓が押される力です。水が流れ出すと、止まっていた水を毎秒 23.7 m/s まで速くして押し出す分が加わり、反動はちょうどその2倍になります。

「力は、水の勢い（速さ）だけで決まる」

速さだけでは決まりません。同じ 23.7 m/s でも、毎秒の量が半分なら、力も半分です。力は「量 × 速さ」です。

「指でホースの先をつぶすと、水が増えるので強く当たる」

蛇口を同じだけ開けているなら、出る水の量は、ほとんど同じです。つぶすと速さが増え、その分だけ強く当たります。量が同じで速さが4倍なら、力も4倍です。

この公式が使える条件

• 流れが時間で変わらない（定常の流れ）
• 板は止まっていて、噴流は板に直角に当たり、前向きの速さを全部失って横へそれる
• 噴流の速さは、口から板まで変わらない（空気の抵抗と重力の影響が小さい、近い距離）
• 筒先の反動は、噴流の分だけで考える。ホースの中の水の速さや、ホースの曲がりが生む力は入れない（実際に隊員が受ける力は、ホースの形でも変わる）
• 筒先の手前の圧力の式は、損失のないとき

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

運動量の変わり方から：短い時間 $\Delta t$ の間に、筒先を出る水の質量は $\Delta m = \sryRho\,\sudQ\,\Delta t$ です。この水は、筒先の中で、速さ 0（ゆっくり流れるホースの中）から $\sudV$ まで速くされます。

物の運動量（質量 × 速さ）を変えるには、力 × 時間が要ります。$\sudF\,\Delta t = \Delta m\,\sudV$ です。

$$\sudF\,\Delta t = \sryRho\,\sudQ\,\Delta t \times \sudV \qquad\Longrightarrow\qquad \sudF = \sryRho\,\sudQ\,\sudV$$

筒先が水を前へ押す力が $\sudF$ なので、水は筒先を同じ大きさで後ろへ押します（作用と反作用）。

板の側も同じです。板に着いた水 $\Delta m$ は、前向きの速さ $\sudV$ を失います。前向きの運動量が $\Delta m\,\sudV$ だけ減るので、板は水を後ろ向きに $\sudF$ で押し、水は板を前向きに $\sudF$ で押します。

速さの変わり方が違うとき：水が速さ $v_1$ で来て、前向きの速さ $v_2$ で去るなら、

$$\sudF = \sryRho\,\sudQ\,(v_1 - v_2)$$

横へそらす平らな板は $v_2 = 0$、真後ろへ折り返すおわん形は $v_2 = -v_1$ で、力は2倍の $2\sryRho\sudQ v_1$ です。

圧力で書くと：筒先の手前の圧力 $\sudP$ は、損失がなければ $\tfrac{1}{2}\sryRho\sudV^2$ です。$\sudQ = \sudA\,\sudV$ と合わせて、

$$\sudF = \sryRho\,\sudA\,\sudV^2 = 2\,\sudP\,\sudA$$