ファンを付けると、ヒートシンクは 5分の1 ですむ熱抵抗と放熱（対流）

モータドライバは、なぜ熱くなる？

ロボットや電動の台車では、モータに流す電流を、トランジスタで入れたり切ったりして調節します。この回路をモータドライバといいます。

トランジスタには、電流が流れるときに少しだけ抵抗があります。その分の電気は、熱になります。大きな電流を流すと、1個で 10 W ほどの熱が出ることもあります。

トランジスタの中の、電流を入れたり切ったりする部分を接合部といいます。接合部の温度には上限があります。たとえば、Infineon のトランジスタ IRF540N のデータシートでは 175℃ です。これを越えると、素子が壊れます。

予想してから読む10 W の熱が出るトランジスタを、ヒートシンクを付けずに 40℃ の空気の中で使う。接合部の温度は？（データシートの、接合部から周りの空気までの熱抵抗は 62 K/W）

A約 50℃B約 100℃C600℃ を超える

公式はこれ

熱伝導（断熱材と壁） の単元で、壁を通る熱の流れを「落差 ÷ 流れにくさ」で読みました。これを、温度の上がりについて解きます。

$$\shkDT = \shkP \times \shkR$$

熱は、接合部からケース（素子の外の殻）へ、ケースからシートを通ってヒートシンクへ、ヒートシンクから周りの空気へと、順に流れます。3つの熱抵抗を直列に通るので、足し算です。

$$\shkR = \shkRjc + \shkRcs + \shkRsa, \qquad \shkTj = \shkTa + \shkP\,\shkR$$

合計は $1.0 + 0.5 + 2.5 = 4.0\ \mathrm{K/W}$。上がりは $10 \times 4.0 = 40\ \mathrm{K}$ で、接合部は $40 + 40 = 80^{\circ}\mathrm{C}$ です。

1.0 と 0.5 は、この単元で決めた例の値です。IRF540N のデータシートでは、接合部 → ケースが 1.15 K/W（最大）、ケース → ヒートシンクが 0.50 K/W（平らな面にグリースを塗ったとき）です。

電気回路と並べて読む

電気回路の オームの法則とキルヒホッフの法則準備中 で、直列の抵抗の両端の電圧が、抵抗の比で分かれるのと同じです。温度の上がりも、熱抵抗の比で分かれます。この単元の素子では、40 K の上がりのうち、10 K が素子の中、5 K がシート、25 K がヒートシンクから空気までです。

空気へ逃がす熱抵抗

ヒートシンクの表面に触れた空気は、温まって軽くなり、上へのぼります。そこへ、下から冷たい空気が入ってきます。空気が動いて熱を運ぶ伝わり方を、対流といいます。

表面から空気へ流れる熱は、表面と空気の温度差と、表面の面積 $\shkA$ に比例します。比例の係数 $\shkH$ を熱伝達率といいます。

$$\shkP = \shkH\,\shkA\,(\shkTs - \shkTa) \qquad\Longrightarrow\qquad \shkRsa = \dfrac{1}{\shkH\,\shkA}$$

熱伝達率は、空気の動き方で大きく変わります。この単元では、自然にのぼる空気で $\shkH$ ≈ 10、ファンで風を当てて ≈ 50 W/(m²·K) とします（どちらも目安。ひれの形や風の速さで、何倍も変わります）。住宅の省エネルギー基準の表では、外壁の室内側の表面は 0.11 m²·K/W（熱伝達率にして約 9）で、自然にのぼる空気の目安と同じくらいです。

自然の空気で、放熱面 400 cm²（0.04 m²）なら、$\shkRsa = 1/(10 \times 0.04) = 2.5\ \mathrm{K/W}$。面積は、ひれの表面も含めたものです。

公式を、かたまりに分けて読む

$$\shkTj = \underbrace{\shkTa}_{\text{周りの温度}} + \underbrace{\shkP}_{\text{発熱}} \times \Big(\underbrace{\shkRjc + \shkRcs}_{\text{素子とシートで決まる}} + \underbrace{\dfrac{1}{\shkH\,\shkA}}_{\text{放熱の工夫で変えられる}}\Big)$$

1. 周りの温度 $\shkTa$　出発点です。箱の中や夏の屋外では、40℃ を超えることもあります。周りが 10 K 上がれば、接合部もそのまま 10 K 上がります。
2. 発熱 $\shkP$　上がりは発熱に比例します。2倍の熱なら、2倍上がります。
3. 素子とシートで決まる分　素子を選んだ時点で決まります。ヒートシンクをどれだけ大きくしても、この 1.5 K/W より下がりません。
4. 放熱の工夫で変えられる分　面積を広げるか、ファンで熱伝達率を上げると、小さくなります。

どの数字がいちばん効く？

初期値（10 W・自然の空気・400 cm²・周り 40℃、接合部 80℃）から、1つずつ 10% 変えたときの接合部の温度です。

放熱面を 10% 広げても、小さくなるのは、合計の熱抵抗のうちヒートシンクの分（2.5 K/W）だけです。だから、発熱を 10% 減らすほうがよく効きます。

ヒートシンクの大きさを決める

接合部を 80℃ に抑えたい、とします。周りが 40℃、発熱が 10 W なら、使える熱抵抗の合計は $(80 - 40) \div 10 = 4.0\ \mathrm{K/W}$。素子とシートで 1.5 K/W を使うので、空気へ逃がす熱抵抗は 2.5 K/W 以下にします。

$$\shkA = \dfrac{1}{\shkH\,\shkRsa} = \dfrac{1}{10 \times 2.5} = 0.04\ \mathrm{m^2} = 400\ \mathrm{cm^2}$$

ファンで $\shkH$ を 50 にすると、$1/(50 \times 2.5) = 0.008\ \mathrm{m^2}$、つまり 80 cm² です。熱伝達率が 5倍なので、面積は 5分の1 ですみます。

パソコンの部品の冷却に、小さなヒートシンクとファンを組み合わせることが多いのは、このためです。その代わり、ファンが止まると、熱伝達率が下がって、温度が一気に上がります。

動かしてみよう

発熱 $\shkP$ のスライダーを動かしてください。下の温度の階段が、空気の 40℃ を足場にして、上へ伸びます。3つの段の高さの比は、熱抵抗の比のままです。

次に、放熱面の面積 $\shkA$ を小さくしてください。ひれが短くなり、いちばん右の熱抵抗 $\shkRsa$ と、その段が大きくなります。「ファン」を選ぶと、同じ面積でも段が低くなります。接合部の点が、最高接合温度の線を越えると赤くなります。

「いまの図を残して比べる」を押すと、そのときの温度の上がりを基準にして、何倍になったかが出ます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1発熱 P を 2倍の 20 W にする。温度の上がり ΔT と、下の温度の階段の高さを見る（まだ）
2. 2発熱 10 W のまま、放熱面の面積 A を半分の 200 cm² にする。どの熱抵抗が増えたかを見る（まだ）
3. 3冷やし方を「ファン」にして、放熱面の面積 A を 5分の1 の 80 cm² にする（まだ）

P素子の発熱（熱の流れ）−W＋

h熱伝達率（冷やし方を選ぶ）

自然の空気（h ≈ 10）ファン（h ≈ 50）

A放熱面の面積（ひれを含む）−cm²＋

tₐ周りの空気の温度−℃＋

いまの図を残して比べる温度の上がり（周りの空気から）は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-heat}{\Delta T} = \htmlClass{q-heat}{P}\,\htmlClass{q-heat}{R}$$$$= 10\ \mathrm{W} \times 4\ \mathrm{K/W}$$$$= 40\ \mathrm{K}$$

温度の上がり（周りの空気から）

$\htmlClass{q-heat}{\Delta T} = 40\ \mathrm{K}$

素子の中（接合部）の温度

$\htmlClass{q-heat}{t_j} = 80\ {}^{\circ}\mathrm{C}$

素子のケースの温度

$\htmlClass{q-heat}{t_c} = 70\ {}^{\circ}\mathrm{C}$

ヒートシンクの温度

$\htmlClass{q-heat}{t_s} = 65\ {}^{\circ}\mathrm{C}$

空気へ逃がす熱抵抗（ヒートシンク → 空気）

$\htmlClass{q-heat}{R_{sa}} = 2.5\ \mathrm{K/W}$

熱抵抗の合計

$\htmlClass{q-heat}{R} = 4\ \mathrm{K/W}$

途中の計算（導出）を見る

1. ヒートシンクから空気へ逃がす熱抵抗

   $$\htmlClass{q-heat}{R_{sa}} = \dfrac{1}{\htmlClass{q-material}{h}\,\htmlClass{q-geometry}{A}} = \dfrac{1}{10 \times 0.04\ \mathrm{m^2}} = 2.5\ \mathrm{K/W}$$

2. 熱抵抗の合計（直列なので足し算）

   $$\htmlClass{q-heat}{R} = \htmlClass{q-heat}{R_{jc}} + \htmlClass{q-heat}{R_{cs}} + \htmlClass{q-heat}{R_{sa}} = 1 + 0.5 + 2.5 = 4\ \mathrm{K/W}$$

3. 温度の上がり（熱の流れ × 熱抵抗）

   $$\htmlClass{q-heat}{\Delta T} = \htmlClass{q-heat}{P}\,\htmlClass{q-heat}{R} = 10\ \mathrm{W} \times 4\ \mathrm{K/W} = 40\ \mathrm{K}$$

4. 素子の中（接合部）の温度

   $$\htmlClass{q-heat}{t_j} = \htmlClass{q-heat}{t_a} + \htmlClass{q-heat}{\Delta T} = 40 + 40 = 80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$$

5. ヒートシンクとケースの温度（空気の側から上がりを足す）

   $$\htmlClass{q-heat}{t_s} = \htmlClass{q-heat}{t_a} + \htmlClass{q-heat}{P}\,\htmlClass{q-heat}{R_{sa}},\quad \htmlClass{q-heat}{t_c} = \htmlClass{q-heat}{t_s} + \htmlClass{q-heat}{P}\,\htmlClass{q-heat}{R_{cs}} = 40 + 25,\quad 65 + 5 = 65\,{}^{\circ}\mathrm{C},\quad 70\,{}^{\circ}\mathrm{C}$$

よくある勘違い

「データシートの最大損失 130 W まで使える」

IRF540N のデータシートには、最大損失 130 W と書いてあります。これは、ケースを 25℃ に保てたとき、という条件の値です。接合部 175℃ とケース 25℃ の差 150 K を、接合部 → ケースの 1.15 K/W で割ると、130 W になります。

ケースを 25℃ に保つには、熱抵抗 0 のヒートシンクが要ります。実際には、シートとヒートシンクの熱抵抗が加わるので、使える発熱は、ずっと小さくなります。

「ヒートシンクを大きくすれば、いくらでも冷える」

ヒートシンクをどれだけ大きくしても、素子とシートの熱抵抗（この単元では 1.5 K/W）は残ります。10 W なら、接合部は周りより少なくとも 15 K 高くなります。それより下げたいときは、素子を替える（熱抵抗の小さい素子にする）か、発熱そのものを減らします。

この公式が使える条件

• 温度が時間で変わらない（電源を入れて十分たったあと）。電源を入れた直後は、ヒートシンクが温まるまで、接合部の温度はもっと低い
• 熱伝達率 $\shkH$ は、ひれの面全体で同じとする。実際は、ひれの根元から先へ行くほど温度が下がるので、ひれの先は根元ほど熱を逃がさない（ひれの効率）。製品のヒートシンクは、メーカーが測った熱抵抗の値を使う
• 放射（表面から光として出ていく熱）は、熱伝達率の目安に含めて考える
• 熱は、ヒートシンクを通る1本の道だけを流れる（基板や足を通って逃げる分は入れない）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

熱の流れは、どの段でも同じ：温度が時間で変わらないなら、素子にもシートにもヒートシンクにも、熱はたまりません。家計簿で、入ってきた分 ＝ 出ていった分です。だから、接合部で出た熱 $\shkP$ が、そのまま3つの段を順に流れます。

段ごとの温度の下がり：どの段も「温度差 ＝ 熱の流れ × 熱抵抗」です。

$$\shkTj - \shkTc = \shkP\,\shkRjc, \qquad \shkTc - \shkTs = \shkP\,\shkRcs, \qquad \shkTs - \shkTa = \shkP\,\shkRsa$$

足し合わせる：3つを足すと、途中の $\shkTc$ と $\shkTs$ が消えます。

$$\shkTj - \shkTa = \shkP\,(\shkRjc + \shkRcs + \shkRsa)$$

空気へ逃がす熱抵抗：表面から空気へ流れる熱は $\shkP = \shkH\,\shkA\,(\shkTs - \shkTa)$（ニュートンの冷却の法則と呼ばれる、実験で確かめられた決まり）。温度差について解くと $\shkTs - \shkTa = \shkP/(\shkH\,\shkA)$ なので、熱抵抗は $1/(\shkH\,\shkA)$ です。

熱伝導の熱抵抗と比べる：壁の熱抵抗は $L/(\lambda A)$ でした。どちらも面積に反比例します。面積 1 m² あたりの流れにくさは、熱伝導では 厚さ ÷ 熱伝導率、対流では 1 ÷ 熱伝達率です。