締める力の9割は、摩擦に消えるねじの締め付けとトルク

ホイールナットは、なぜ「103 N·m」と決まっている？

車のタイヤを替えたら、最後にホイールナットを締めます。取扱説明書には、締め付けの強さが数字で書いてあります。トヨタのプリウスなら 103 N·m、ホンダのフィットなら 108 N·m です。乗用車では、100 N·m 前後の車が多くあります。

N·m は、回す力の効き目、トルクの単位です。長さ 0.5 m のレンチの先に 206 N（21 kg くらいの物を持ち上げる力）をかけると、103 N·m になります。

決めたいのは、本当はトルクではありません。ナットがボルトを引っぱる力、軸力です。軸力が足りないと、走るうちにナットがゆるみます。大きすぎると、ボルトが伸びきってしまいます。

ところが、軸力は、締めている人には見えません。測れるのは、レンチにかけたトルクだけです。そこで、トルクから軸力を見積もる式を使います。

この単元では、機械によく使う M10 のボルト（ねじの外径 10 mm、並目）で考えます。20 kN の軸力で締めたいとき、何 N·m で締めればよいでしょうか。そのトルクは、どこへ行くのでしょうか。

予想してから読むM10 を 40 N·m で締めると、軸力は 20 kN でした。ねじに油を付けて滑りやすくすると（トルク係数が 0.2 から 0.15 に下がる）、同じ 40 N·m で締めた軸力は？

A15 kN に減るB20 kN のままC約 26.7 kN に増える

公式はこれ

$$\sksT = \ssmK\,\ssmD\,\ssmF$$ $$\sksT = 0.2 \times 10\ \mathrm{mm} \times 20{,}000\ \mathrm{N} = 40{,}000\ \mathrm{N\cdot mm} = 40\ \mathrm{N\cdot m}$$

答えは 約 40 N·m です。式はかけ算だけで、軸力を2倍にしたければ、トルクも2倍にします。

$\ssmK$ の 0.2 は、油を付けていない鋼のボルトで、よく使う目安の値です。どこから来た数なのかを、次に見ます。

締めたボルトは、伸びたばね

ナットを締めると、ボルトは2枚の板の間で、ほんの少し引き伸ばされます。伸びたボルトは、ばねのように縮もうとして、板を両側から押し付けます。この縮もうとする力が、軸力です。

輪ゴムで本をまとめるのと同じです。輪ゴムを伸ばしてかけると、ゴムが縮もうとして、本をしっかり押さえます。

ボルトは、伸びたぶんだけ板を押します。ナットを回すのは、ボルトを伸ばすためです。

トルクの行き先：てんびんで読む

ナットを1回転させると、ナットはねじの山1つ分、ピッチ $\ssmP$ だけ進みます（送りねじ）。M10 の並目なら 1.5 mm です。

送りねじの単元のてんびん（入れた仕事＝出た仕事）で、1回転の仕事を比べます。

• 入れた仕事：トルク × 回した角度 ＝ $\sksT \times 2\pi$
• ボルトを伸ばす仕事：軸力 × 進んだ長さ ＝ $\ssmF \times \ssmP$

摩擦がなければ、2つは等しくなります。そのときのトルクを $\ssmTp$ とすると、

$$\ssmTp \times 2\pi = \ssmF\,\ssmP \qquad\Longrightarrow\qquad \ssmTp = \dfrac{\ssmF\,\ssmP}{2\pi}$$

数を入れると、

$$\ssmTp = \dfrac{20{,}000\ \mathrm{N} \times 1.5\ \mathrm{mm}}{2\pi} = 4{,}775\ \mathrm{N\cdot mm} \approx 4.77\ \mathrm{N\cdot m}$$

ボルトを伸ばすだけなら、4.77 N·m で済みます。実際には 40 N·m かけています。残りの 35.2 N·m は、摩擦に使われます。割合で見ると、ボルトを伸ばす分は 4.77 ÷ 40 ＝ 11.9%、約1割です。

摩擦は2か所で起きています。

1. ねじ面：ナットのねじ山が、ボルトのねじ山の上をすべる所
2. 座面：ナットの下の面が、板（または座金）の上をすべる所

ねじの締め付けの規格（JIS B 1083）は、締め付けトルクの 90% 前後が、ねじ面と座面の摩擦で使われる、としています。同じ規格の式で、2か所の摩擦係数をどちらも 0.15 くらいとして分けると、M10 では、ねじ面に約4割、座面に約5割です。

摩擦の分は、熱になって消えます。$\ssmK = 0.2$ の大部分は、摩擦の大きさを表した数なのです。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\sksT = \underbrace{\ssmK}_{\text{摩擦で決まる}} \times \underbrace{\ssmD}_{\text{こする所の半径}} \times \underbrace{\ssmF}_{\text{押し付ける力}}$$

1. 押し付ける力 $\ssmF$　ねじ面も座面も、軸力 $\ssmF$ で押し付けられています。押し付ける力が2倍なら、摩擦も2倍です。ボルトを伸ばす分 $\ssmF\ssmP/(2\pi)$ も、$\ssmF$ に比例します。
2. こする所の半径 $\ssmD$　摩擦の力は、ねじ山や座面の上で、軸から離れた所に働きます。同じ摩擦の力でも、半径が大きいほど、回すのに大きなトルクがいります。その半径は、ボルトの太さにほぼ比例します。
3. 摩擦で決まる $\ssmK$　残りの、摩擦係数やねじの形をまとめた数です。乾いた鋼で、摩擦係数が 0.15 くらいなら、0.2 になります。

油を付けると、トルクはそのままでも軸力が変わる

ねじに油を付けると、摩擦が減って、$\ssmK$ は小さくなります。

$\ssmK$ を 0.2 のつもりで、40 N·m で締めたとします。実際の $\ssmK$ が 0.15 だったら、軸力は

$$\ssmF = \dfrac{\sksT}{\ssmK\,\ssmD} = \dfrac{40{,}000}{0.15 \times 10} = 26{,}700\ \mathrm{N} = 26.7\ \mathrm{kN}$$

ねらいの 20 kN の 1.33倍です。反対に、さびや汚れで 0.25 だったら、16 kN にしかなりません。

トルクで軸力を決めるやり方は、手軽ですが、精度はこの程度です。大事なボルトでは、油の付け方まで決めておきます。

どの数字がいちばん効く？

M10・20 kN・$\ssmK = 0.2$（40 N·m）から、1つずつ変えたときです。

式の上では、どれも同じように効きます。でも、$\ssmF$ と $\ssmD$ は自分で決められるのに、$\ssmK$ は、ねじの表面の状態しだいです。いちばん読めないのは、$\ssmK$ です。

ホイールナットに戻る

ホイールナットのねじは、呼び径 12 mm です。103 N·m で締め、$\ssmK = 0.2$ とすると、

$$\ssmF = \dfrac{103{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}}{0.2 \times 12\ \mathrm{mm}} = 42{,}900\ \mathrm{N} \approx 42.9\ \mathrm{kN}$$

ナット1個で、約 43 kN の力でホイールをハブに押し付けています。103 N·m という数字は、この軸力をねらって決めたものです。トルクで決めているので、ナットのねじに油を付けたり、さびたまま締めたりすると、ねらいから外れます。

工場の機械のボルトも、トルクレンチで締めます。トルクレンチは、決めたトルクに達すると「カチッ」と手応えがあり、それ以上かけずに済みます。

動かしてみよう

ねじの呼びは、表の行（M6〜M20 の並目）から選びます。軸力 $\ssmF$ とトルク係数 $\ssmK$ を動かすと、要るトルクと、その行き先の帯が変わります。

$\ssmK$ を小さくすると、帯の中の「ボルトを伸ばす」分の割合が大きくなります。摩擦が減って、トルクの多くがボルトに届くからです。右下のものさしは、いまのトルクで締めたとき、$\ssmK$ が 0.15〜0.25 にずれたら、軸力がどこまで散らばるかを示します。墨の破線は、強度区分 8.8 のボルトが降伏し始める軸力です（M10 なら 37.1 kN。ボルトの強さ）。軸力を 40 kN にすると、トルクは 80 N·m でちょうど2倍ですが、M10 の 8.8 では降伏を越えます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1M10・K = 0.2 のまま、ねらいの軸力 F を2倍の 40 kN にする（まだ）
2. 2M10・20 kN のまま、トルク係数 K を 0.15 に下げる（ねじに油を付けたつもり）（まだ）
3. 3K = 0.2 のまま、呼びを M12 にして、軸力 F を 43 kN にする（ホイールナットのねじ）（まだ）

dねじの呼び径（並目 M6〜M20 の表の行）

M6M8M10M12M14M16M18M20

F軸力（ボルトを引っぱる力）−kN＋

Kトルク係数−＋

いまの図を残して比べるトルクは、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-moment}{T} = \htmlClass{q-material}{K}\,\htmlClass{q-geometry}{d}\,\htmlClass{q-force}{F}$$$$= 0.2 \times 10\ \mathrm{mm} \times 20{,}000\ \mathrm{N}$$$$= 40{,}000\ \mathrm{N\cdot mm} = 40\ \mathrm{N\cdot m}$$

トルク

$\htmlClass{q-moment}{T} = 40\ \mathrm{N\cdot m}$

ボルトを伸ばす分のトルク

$\htmlClass{q-moment}{T_p} = 4.775\ \mathrm{N\cdot m}$

摩擦に使われる分のトルク

$\htmlClass{q-moment}{T_f} = 35.23\ \mathrm{N\cdot m}$

トルクのうち、軸力を生む分の割合

$\htmlClass{q-moment}{T_p/T} = 11.9\ \%$

途中の計算（導出）を見る

1. トルク係数の式で、締め付けトルクを出す（M10）

   $$\htmlClass{q-moment}{T} = \htmlClass{q-material}{K}\,\htmlClass{q-geometry}{d}\,\htmlClass{q-force}{F} = 0.2 \times 10\ \mathrm{mm} \times 20{,}000\ \mathrm{N} = 40{,}000\ \mathrm{N\cdot mm} = 40\ \mathrm{N\cdot m}$$

2. ボルトを伸ばす分（1回転で、ナットはピッチの分だけ進む）

   $$\htmlClass{q-moment}{T_p} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F}\,\htmlClass{q-geometry}{P}}{2\pi} = \dfrac{20{,}000 \times 1.5}{2\pi} = 4{,}775\ \mathrm{N\cdot mm} = 4.77\ \mathrm{N\cdot m}$$

3. 残りは、ねじ面と座面の摩擦に使われる

   $$\htmlClass{q-moment}{T_f} = \htmlClass{q-moment}{T} - \htmlClass{q-moment}{T_p} = 40 - 4.77 = 35.2\ \mathrm{N\cdot m}$$

4. トルクのうち、ボルトを伸ばす（軸力を生む）分の割合

   $$\htmlClass{q-moment}{T_p/T} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{T_p}}{\htmlClass{q-moment}{T}} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{P}}{2\pi\,\htmlClass{q-material}{K}\,\htmlClass{q-geometry}{d}} = \dfrac{1.5}{2\pi \times 0.2 \times 10} = 11.9\ \%$$

よくある勘違い

「トルクは、ボルトを引っぱる力のこと」

トルクと軸力は、別の量です。

40 N·m のトルクで、20,000 N の軸力が出ます。数の大きさがまるで違うのは、ねじが「回す」を「引っぱる」に大きく変えるからです。

「同じトルクで締めれば、軸力も同じ」

トルクが同じでも、摩擦が違えば軸力は違います。K が 0.15 と 0.25 では、同じトルクで軸力が 1.67倍ちがいます。

「強く締めるほど、ゆるまない」

ある所までは正しいです。でも、締めすぎて軸力がボルトの降伏し始める力を越えると、ボルトは伸びたまま戻らなくなります。次にかかる力で、かえってゆるんだり切れたりします。

この公式が使える条件

• ナットを回して締めるとき（ゆるめるときは、ボルトを伸ばす分の向きが逆になり、トルクは小さい）
• 一般的なメートルねじ（山の角度 60°）の、1条ねじ
• トルク係数 $\ssmK$ は、ねじ面と座面の摩擦で決まる。0.2 は乾いた鋼の目安で、油・表面の処理・座金で変わる
• ボルトは降伏していない（伸びて戻る範囲）

トルク係数の中身（くわしく知りたい人へ）

ねじの締め付けの規格（JIS B 1083）は、トルク係数を次の式で表します。

$$\ssmK = \dfrac{1}{\ssmD}\left(\dfrac{\ssmP}{2\pi} + 0.577\,\mu_{th}\,d_2 + 0.5\,\mu_b\,D_b\right)$$

かっこの中の3つが、トルクの行き先の3つです。

1. $\dfrac{\ssmP}{2\pi}$：ボルトを伸ばす分（てんびんで出したもの）
2. $0.577\,\mu_{th}\,d_2$：ねじ面の摩擦。$\mu_{th}$ はねじ面の摩擦係数、$d_2$ は有効径（ねじ山の中ほどの直径）。0.577 は、ねじ山の斜面（60° の山の半分の 30°）で、押し付ける力が大きくなる分を含んだ数（$1/\sqrt{3}$）
3. $0.5\,\mu_b\,D_b$：座面の摩擦。$\mu_b$ は座面の摩擦係数、$D_b$ は座面の平均の直径

M10（$P = 1.5$、$d_2 = 9.026$、$D_b$ を二面幅 16 mm と穴 11 mm の平均の 13.5 mm）で、摩擦係数をどちらも 0.1472 とすると、

$$\ssmK = \dfrac{1}{10}\left(0.239 + 0.577 \times 0.1472 \times 9.026 + 0.5 \times 0.1472 \times 13.5\right) = \dfrac{1}{10}\left(0.239 + 0.767 + 0.994\right) = 0.200$$

3つの比が、0.239 : 0.767 : 0.994、つまり約 12% : 38% : 50% です。摩擦係数が 0.15 くらいのとき、$\ssmK$ が 0.2 になる、というのが、目安の出どころです。