1回では平気な力でも、何十万回で割れる疲労と疲労限度

クランクは、何回踏まれても割れない？

自転車のペダルは、クランクという腕の先に付いています。ペダルを踏むと、クランクが回り、チェーンが後ろの車輪を回します。

クランクが前に来るたびに、足はペダルを下へ踏みます。クランクは片持ちのはりのように、根元で曲げられます。足が上がる側では、力はほとんどかかりません。ひと回りごとに、同じ向きの曲げが1回かかって、抜けます。

その回数は、思ったより多くなります。1分に60回転で、1日1時間こぐと、1日に 3,600 回。1年で 60 × 60 × 365 ＝ 約 131 万回です。

この単元のクランクは、長さ 170 mm、腕の断面は厚さ 12 mm・高さ 24 mm の長方形とします。材料は、一般構造用の鋼 SS400 で、引張強さは規格の下限の 400 MPa、降伏点は 245 MPa とします（JIS G 3101。厚さ 16 mm 以下の値）。600 N（体重 61 kg ほどの重さ）で踏むとき、根元の応力は 88.5 MPa です。

1回なら、この応力は何でもありません。降伏点 245 MPa の、3分の1 ほどです。では、これを何百万回と繰り返しても、割れないのでしょうか。

予想してから読む引張強さ 400 MPa の鋼。何回繰り返しても割れない応力の上限（疲労限度）は、およそいくら？

A約 400 MPaB約 245 MPaC約 200 MPa

公式はこれ

疲労限度は、材料ごとに、何百万回も繰り返す試験で確かめます。試験の値が無いときは、引張強さから、次の目安で見積もります。

$$\shrSigW \approx 0.5\,\shrSigB$$

$\shrSigma$ が $\shrSigW$ より小さければ、何回踏んでも割れません。88.5 MPa は 200 MPa の内側なので、このクランクは足ります。

1回では折れないのに、繰り返すと折れる

針金のクリップを、少しだけ曲げて戻します。何ともありません。それを何十回も繰り返すと、やがて曲げた所でぽきりと折れます。

クリップでは、1回ごとに、曲げた所が少し伸びたまま戻らなくなっています。降伏点を越えているので、数十回で折れます。

機械の部品で起きる疲労は、もっと静かです。降伏点より低い応力でも、表面の小さな傷や角から、目に見えない細い割れが生まれます。割れは、1回ごとに、ほんの少しずつ奥へ進みます。残った断面が荷重を支えきれなくなった所で、一気に割れます。

だから、疲労で割れる直前まで、見た目はほとんど変わりません。曲がりもせず、ある日、急に割れます。

ものさしの線を、引き直す

前の 許容応力と安全率 の単元で、応力を「余白のものさし」で見ました。静かな荷重なら、ものさしの強さの線は、降伏点か引張強さでした。

繰り返す荷重では、強さの線を引き直します。何回でも耐えられる線、つまり疲労限度です。

繰り返す荷重では、線が、引張強さの半分まで手前に来ます。前の単元で、繰り返す荷重の安全率の目安が、静かな荷重より大きかったのは、このためです。

何回で割れるかを調べる線図

何回で割れるかは、試験で調べます。同じ材料の試験片に、同じ大きさの応力を繰り返しかけて、割れるまでの回数を数えます。応力を変えて何本も試し、横軸に回数、縦軸に応力をとって並べた図を、S-N 線図といいます（S は応力、N は回数）。

回数は、1,000 回から 1 億回まで大きく変わるので、横軸は 10 倍ごとに同じ幅で刻みます。

鋼の S-N 線図は、応力を下げるほど右下へ下がり、ある回数（およそ 100 万〜1,000 万回）の先で水平になります。水平になった高さが、疲労限度です。その下の応力なら、線は右へどこまで行っても、割れる所に届きません。

この単元の盤では、試験の値が無いときによく使う目安で、線図を描きます。

• 1,000 回で割れる応力は、引張強さの 0.9倍
• 100 万回の先は水平で、高さは引張強さの 0.5倍（疲労限度）
• その間は、両方の軸を 10 倍ごとに刻んだ図の上で、まっすぐ結ぶ

アルミ合金には、鋼のようなはっきりした疲労限度がありません。線は、1,000 万回を越えても、ゆっくり下がり続けます。アルミの部品は、何回まで使うかを決めて、その回数で割れない応力（疲労強さ）で設計します。

降伏点より低くても、割れる

立ちこぎで強く踏むときを考えて、踏む力を2倍の 1,200 N とします。そして、腕の高さが 21 mm の、少し細いクランクを考えます。

$$\shrSigma = \dfrac{\shrF\,\shrL}{\shrB\,\shrH^2/6} = \dfrac{1200 \times 170}{12 \times 21^2 / 6} = 231\ \mathrm{MPa}$$

231 MPa は、降伏点 245 MPa より低い応力です。1回なら、クランクは伸びたまま戻らなくなることもありません。

でも、疲労限度 200 MPa を越えています。S-N 線図の目安で読むと、割れるまでの回数は約 18 万回。毎分60回転なら、約 50 時間です。1日1時間の立ちこぎなら、2か月もたちません。

同じ 1,200 N でも、腕の高さが 24 mm のクランクなら、応力は 177 MPa で、疲労限度の内側です（安全率 1.13）。何回踏んでも割れません。

応力の式を、かたまりに分けて読む

$$\shrSigma = \underbrace{\shrF\,\shrL}_{\text{根元を曲げる効き目}} \times \underbrace{\dfrac{6}{\shrB\,\shrH^2}}_{\text{腕の断面の弱さ}}$$

1. 根元を曲げる効き目 $\shrF\shrL$　踏む力と、クランクの長さのかけ算です。長いクランクほど、根元はよく曲げられます。600 N × 170 mm ＝ 102 N·m。
2. 腕の断面の弱さ $6/(\shrB\shrH^2)$　断面係数 $\shrZ = \shrB\shrH^2/6$ の逆数です。高さ $\shrH$ は2乗で効くので、腕を少し高くするだけで、応力は大きく下がります（材料力学の 断面係数（形の効率） の単元）。

どの数字がいちばん効く？

立ちこぎのクランク（1,200 N・高さ 21 mm・引張強さ 400 MPa、応力 231 MPa、約 18 万回）から、1つずつ 10% 変えたときの、割れるまでの回数です。

応力を 10% 変えるだけで、回数は 3倍も変わります。疲労では、応力のわずかな差が、寿命の大きな差になります。

いちばん効くのは、腕の高さです。2乗で応力を下げるうえに、疲労限度の内側に入れば、回数の心配そのものが無くなります。

鉄道の車軸は、車両の重さで曲げられたまま回ります。1回転ごとに、表面の1点は、引っぱられたり押されたりを1回ずつ繰り返します。疲労の試験と同じかかり方です。

動かしてみよう

踏む力 $\shrF$・腕の高さ $\shrH$・引張強さ $\shrSigB$ を変えると、左の図で根元の応力が、右の S-N 線図で割れるまでの回数が動きます。

応力の横線が、疲労限度の線（緑）より下にあれば、線図と交わらず「割れない」と出ます。上に出ると、線図と交わった所の回数が出ます。

「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、前の図と比べられます。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1踏む力 F を2倍の 1,200 N にする（立ちこぎで強く踏む）（まだ）
2. 2F = 1,200 N のまま、腕の高さ h を 21 mm に細くする（まだ）
3. 3F = 1,200 N・h = 21 mm のまま、引張強さ σB を 600 MPa の鋼に替える（まだ）

Fペダルを踏む力−N＋

hクランクの腕の高さ−mm＋

σB引張強さ−MPa＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる疲労限度で見た安全率は、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-material}{S_w} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{\sigma_w}}{\htmlClass{q-stress}{\sigma}}$$$$= \dfrac{200}{88.5}$$$$= 2.26\quad(\htmlClass{q-geometry}{N_f}:\ \text{割れない})$$

根元の曲げモーメント

$\htmlClass{q-moment}{M} = 102\ \mathrm{N\cdot m}$

踏むたびにかかる応力

$\htmlClass{q-stress}{\sigma} = 88.5\ \mathrm{MPa}$

疲労限度（目安：引張強さの 0.5倍）

$\htmlClass{q-stress}{\sigma_w} = 200\ \mathrm{MPa}$

疲労限度で見た安全率

$\htmlClass{q-material}{S_w} = 2.26\$

途中の計算（導出）を見る

1. ペダルを踏む力が、クランクの根元を曲げる（曲げモーメント）

   $$\htmlClass{q-moment}{M} = \htmlClass{q-force}{F}\,\htmlClass{q-geometry}{L} = 600\ \mathrm{N} \times 170\ \mathrm{mm} = 102{,}000\ \mathrm{N\cdot mm}$$

2. 腕の断面（長方形）の断面係数

   $$\htmlClass{q-material}{Z} = \dfrac{\htmlClass{q-geometry}{b}\,\htmlClass{q-geometry}{h}^2}{6} = \dfrac{12 \times 24^2}{6} = 1{,}152\ \mathrm{mm^3}$$

3. 踏むたびに根元にかかる応力

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma} = \dfrac{\htmlClass{q-moment}{M}}{\htmlClass{q-material}{Z}} = \dfrac{102{,}000}{1{,}152} = 88.5\ \mathrm{MPa}$$

4. 疲労限度の目安（引張強さの半分）

   $$\htmlClass{q-stress}{\sigma_w} = 0.5\,\htmlClass{q-stress}{\sigma_B} = 0.5 \times 400\ \mathrm{MPa} = 200\ \mathrm{MPa}$$

5. 疲労限度と比べる（安全率が 1 以上なら、何回踏んでも割れない）

   $$\htmlClass{q-material}{S_w} = \dfrac{\htmlClass{q-stress}{\sigma_w}}{\htmlClass{q-stress}{\sigma}} = \dfrac{200}{88.5} = 2.26\quad(\htmlClass{q-geometry}{N_f}:\ \text{割れない})$$

よくある勘違い

「引張強さより、ずっと低い応力なら大丈夫」

1回だけなら大丈夫です。でも、繰り返すなら、比べる相手は引張強さではなく、疲労限度です。この鋼では、引張強さの半分の 200 MPa を越えると、いつかは割れます。

「疲労は、古くなったから起きる」

疲労で効くのは、年数ではなく、繰り返した回数と応力の大きさです。毎日長く乗る自転車は、たまにしか乗らない自転車より、早く回数がたまります。反対に、疲労限度の内側で使う鋼の部品は、何年使っても疲労では割れません。

「疲労限度」「降伏点」「引張強さ」の取り違え

疲労限度は「耐久限度」とも言います。

この式が使える条件

• 疲労限度 ＝ 引張強さの 0.5倍は、引張強さ 1,400 MPa ほどまでの鋼の目安。鋼の種類や組織で、引張強さの 35〜60% ほどにばらつく。実際の設計では、材料の試験の値を使う
• 1,000 回で 0.9倍は、引張強さが 490 MPa ほどまでの鋼の目安。それより強い鋼では、もう少し小さく見積もる（盤では、どの引張強さでも 0.9倍で描いている）
• S-N 線図は、表面がなめらかな、細い丸棒の試験の値をもとにした目安。表面の傷・角・穴があると、割れはもっと早い
• 試験は、向きが入れかわる曲げ（両振り）。クランクのように同じ向きにだけ曲げる場合は、安全側に見て、踏んだときの最大の応力を、そのまま試験の応力と比べている
• クランクの根元の曲げだけを考える（ペダルの軸が横にずれていることによるねじりは考えない）
• 鋼だけ。アルミ合金には、はっきりした疲労限度が無い

S-N 線図の目安の式（くわしく知りたい人へ）

両方の軸を10倍ごとに刻んだ図の上の直線は、$\log_{10}$ をとった量どうしの一次式です。1,000 回で $0.9\,\shrSigB$、100 万回で $0.5\,\shrSigB$ を通るので、

$$\log_{10} \shrNf = 3 + \dfrac{6 - 3}{\log_{10}(0.9/0.5)} \,\log_{10}\dfrac{0.9\,\shrSigB}{\shrSigma}$$

$\log_{10}(0.9/0.5) = 0.255$ なので、傾きは $3 / 0.255 = 11.75$ です。応力が 10% 上がると、$\log_{10} \shrNf$ は $11.75 \times \log_{10} 1.1 = 0.486$ 下がり、回数は $10^{-0.486} = 0.33$ 倍になります。

立ちこぎのクランク（231 MPa）なら、

$$\log_{10} \shrNf = 3 + 11.75 \times \log_{10}\dfrac{360}{231} = 5.26 \qquad\Longrightarrow\qquad \shrNf = 1.8 \times 10^5\ \text{回}$$

$\shrSigma$ が $0.5\,\shrSigB$ 以下なら、線は水平になって、どの回数とも交わりません。これが「割れない」です。