同じ力でも、リズムが合うと揺れは10倍強制振動と共振

ブランコは、押すタイミングで大きくなる

ブランコの背中を押すとき、力いっぱい押す必要はありません。ブランコが前へ動き出したところで、軽く押す。これを1往復ごとにくり返すと、ゆれはどんどん大きくなります。

押すリズムがずれると、そうはなりません。ブランコが戻ってくるところで押すと、かえってゆれを止めてしまいます。大事なのは、力の大きさよりタイミングです。

同じことが、機械でも起きます。洗濯機の脱水では、回り始めてしばらくすると、本体が一度ガタガタと大きく揺れることがあります。もっと速く回るようになると、また静かになります。

なぜ、ある速さのときだけ揺れるのでしょうか。なぜ、もっと速くすると静かになるのでしょうか。

この単元では、1自由度の自由振動（ばねと質量） と同じ、質量 2 kg のおもりと、ばね定数 800 N/m のばねで考えます。外から揺すらないときの振動数（固有振動数）は 3.18 Hz でした。今回は、ゆれを弱めるダンパも付けます。強さは、減衰振動 の減衰比で ζ = 0.05 です。

このおもりを、振幅 4 N の力で、上下に揺すり続けます。4 N の力でゆっくり押せば、ばねは $4/800\ \mathrm{m}$、つまり 5 mm 縮むだけです。

では、固有振動数と同じ 3.18 Hz のリズムで揺すると、おもりは何 mm 揺れるでしょうか。

予想してから読む静かに押すと 5 mm。固有振動数と同じリズムで揺すると、振幅は？（ζ = 0.05）

A5 mm（変わらない）B50 mm（10倍）Cどこまでも大きくなる

綱引きに、外から押すリズムが加わる

1自由度の自由振動（ばねと質量） で、ゆれは2つの綱引きだと見ました。ばねは「戻そうとする」。おもりは「そのまま動き続けようとする」。

今回は、そこに外からの力が加わります。力は、決まったリズムで上下に向きを変えます。

$$F(t) = \skrFZero \sin \skrOmega t$$

$\skrFZero$ は力の振幅、$\skrOmega$ は揺する角振動数です。1秒に揺する回数（振動数）なら $\skrF = \skrOmega/2\pi$ [Hz] です。

揺すり始めは、おもり自身のゆれ（固有振動数のゆれ）も混ざります。でも、それはダンパで消えていきます。この単元のおもりでは、5秒たつと1%以下（0.7%）になります。残るのは、揺する力と同じ振動数のゆれだけです。このゆれを定常のゆれといい、この単元では、定常のゆれだけを考えます。

$$x(t) = \skrX \sin(\skrOmega t - \sksPhi)$$

$\skrX$ は振幅、$\sksPhi$ は、力の山からゆれの山までの遅れ（位相の遅れ）です。

揺する速さで、綱引きの勝ち方が変わります。

• ゆっくり揺する。おもりは、ほとんど加速しません。ばねだけが相手です。おもりは力にそのままついてきて、静かに押したときと同じ 5 mm 揺れます。
• 固有振動数で揺する。ばねの「戻そうとする」と、おもりの「動き続けようとする」が、ちょうど打ち消し合います。力を止めるのは、ダンパだけです。
• 速く揺する。おもりの「動き続けようとする」が勝ちます。おもりは力についていけず、ほとんど動きません。

振幅倍率の式を、3つのかたまりで読む

定常のゆれの振幅は、静かに押したときの変位 $\skrXst = \skrFZero/\skrk$ の何倍かで表します。この倍率を振幅倍率といいます。

$$\dfrac{\skrX}{\skrXst} = \dfrac{1}{\sqrt{\underbrace{(1-r^2)^2}_{\text{ばねとおもりの差}} + \underbrace{(2\skrZeta\,r)^2}_{\text{ダンパ}}}}$$

$r$ は、揺する振動数が固有振動数の何倍かを表す振動数比です。

$$r = \dfrac{\skrF}{\skrFn} = \dfrac{\skrOmega}{\skrOmegaN}$$

1. ばねとおもりの差 $1 - r^2$　1 は、ばねの「戻そうとする」強さです。$r^2$ は、おもりの「動き続けようとする」強さです。揺する速さの2乗で強くなります。2つは逆向きに働くので、引き算になります。
2. ダンパ $2\skrZeta\,r$　ダンパの力は、おもりの速さに比例します。速く揺するほど、おもりの速さも増えるので、$r$ に比例します。
3. 2乗して足し、√ をとる　ダンパの力の山は、ばねの力の山から 1/4 周期ずれています（速さがいちばん大きいのは、真ん中を通るとき）。ずれた2つの力は、直角に組んだ2本の矢印のように足し合わされます。だから、三平方の定理と同じ「2乗して足して √」になります。

導き方は、ページの最後に畳んであります。

山の高さを決めるもの

$r = 1$（固有振動数ぴったり）では、1つ目のかたまりが 0 になります。ばねとおもりが打ち消し合い、ダンパだけが残ります。

$$\dfrac{\skrX}{\skrXst} = \dfrac{1}{\sqrt{0 + (2\skrZeta \times 1)^2}} = \dfrac{1}{2\skrZeta}$$

共振の山の高さは、1/(2ζ) で決まります。ζ = 0.05 なら、$1/(2 \times 0.05) = 10$ 倍です。静かに押したときの 5 mm が、50 mm になります。

エネルギーで見ると、こうなります。力は、1往復ごとに、おもりにエネルギーを入れます。ダンパは、1往復ごとに、エネルギーを熱にして奪います。ダンパが奪う分は、振幅の2乗に比例して増えます。ゆれが大きくなっていき、入れる分と奪う分が等しくなったところで、振幅は止まります。ダンパが弱いほど、その釣り合いは大きな振幅まで来ないと起きません。

ζ を2倍にすると、山の高さは半分です。

山のいちばん高いところは、正確には $r = \sqrt{1 - 2\skrZeta^2}$ で、$r = 1$ より少しだけ左にあります。ζ = 0.05 なら、$r = 0.9975$ で 10.01倍です。ζ が小さいときは、「固有振動数で揺すると最大、高さは 1/(2ζ)」と見て差し支えありません。

ブランコに戻ります。共振のとき、位相の遅れは 90° です。力がいちばん強いのは、おもりが真ん中を、いちばん速く通るときです。そのとき、力はおもりが動く向きを向いています。ブランコを、前へ動いている間に前へ押すのと同じです。だから、押すたびにゆれが大きくなります。

√2倍より速く揺すると、かえって小さい

$r = \sqrt{2}$ では、$1 - r^2 = 1 - 2 = -1$ です。1つ目のかたまりは $(-1)^2 = 1$ で、ゆっくり押したときと同じ大きさに戻ります。ダンパのかたまりが少し足されるので、振幅倍率は 1 より小さくなります。

固有振動数の √2倍（約1.41倍）より速く揺すると、静かに押したときより小さく揺れます。この単元のおもりでは、$3.18 \times \sqrt{2} = 4.50$ Hz です。

さらに速く、2倍の 6.37 Hz で揺すると、振幅倍率は 0.33倍で、振幅は 1.66 mm です。速いところでは、振幅はほぼ $1/r^2$ で小さくなります。

洗濯機に戻ります。脱水の途中でガタガタ揺れるのは、回る速さが、本体の固有振動数を通り過ぎるときです。それより十分速く回れば、本体は「動き続けようとする」側が勝ち、静かになります。（洗濯物のかたよりが出す力は、回る速さとともに大きくなります。くわしくは 回転体の不つり合い で見ます。）

力とゆれの、山のずれ（位相の遅れ）

揺する速さで、力の山とゆれの山の、ずれ方も変わります。

$$\sksPhi = \tan^{-1}\dfrac{2\skrZeta\,r}{1 - r^2}$$

シミュレータの記録紙では、薄い朱の線が力、青い線がおもりの変位です。山のずれを見比べてください。

どの数字がいちばん効く？

固有振動数ぴったり（3.18 Hz）で揺すっているとき、それぞれの数字を1割（10%）だけ変えると、振幅はどう変わるかを並べます。揺する振動数は、ばねやおもりを変えても 3.18 Hz のままとします。

共振しているときは、山から外すのがいちばん効きます。ダンパを1割強めるより、ばねを1割硬くするほうが、3倍以上効きます。

動かしてみよう

揺する振動数 $\skrF$ を少しずつ上げて、ゆれの大きさがどう変わるかを見てください。3.18 Hz に近づくと、急に大きくなります。

盤の下のグラフは、共振曲線です。横軸は振動数比 $r$、縦軸は振幅倍率です。太い線がいまの ζ、薄い線は ζ = 0.05・0.1・0.2・0.5 の曲線で、点がいまの揺すり方です。縦軸は、1 から 10 までと、0.1 から 1 までが、同じ幅になる目盛り（対数の目盛り）です。小さな倍率も、大きな山も、1枚に収まります。

揺すり続ける強制振動なので、数字を変えても、時計は 0 に戻りません。「↺ はじめから」を押すと、止まった状態から揺すり始めます。f を 3.18 Hz にして押すと、ゆれが少しずつ育って約 50 mm で落ち着くのが見えます。時間がたてば、揺すり始めのゆれは消えて、定常のゆれだけになります。「いまの図を残して比べる」を押してから数字を変えると、前の波形を薄く重ねて比べられます。

シミュレータ数字を変えると、動きと答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1揺する振動数 f を、固有振動数とほぼ同じ 3.18 Hz にする（ζ は 0.05 のまま）（まだ）
2. 2f = 3.18 Hz のまま、減衰比 ζ を2倍の 0.1 にする（まだ）
3. 3ζ を 0.05 に戻し、f を固有振動数の約2倍の 6.37 Hz にする（まだ）

m質量−kg＋

kばね定数−N/m＋

ζ減衰比−＋

F0加振力の振幅−N＋

f振動数（加振）−Hz＋

❚❚ 止める↺ はじめから実際の速さ×11/4 の速さ×1/41/20 の速さ×1/20t = 0.00 s

初期値の波形を薄く重ねるいまの図を残して比べる振幅倍率は、初期値の ×1

いまの式（数字を入れた形）

$$\dfrac{\htmlClass{q-displacement}{X}}{\htmlClass{q-displacement}{X_{\mathrm{st}}}} = \dfrac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\htmlClass{q-material}{\zeta}\,r)^2}}$$$$= \dfrac{1}{\sqrt{(1-0.471^2)^2 + (2 \times 0.05 \times 0.471)^2}}$$$$= 1.28$$

固有振動数

$\htmlClass{q-flow}{f_n} = 3.18\ \mathrm{Hz}$

振動数比

$\htmlClass{q-flow}{\omega/\omega_n} = 0.471\$

静かに押したときの変位

$\htmlClass{q-displacement}{X_{\mathrm{st}}} = 5\ \mathrm{mm}$

振幅倍率

$\htmlClass{q-displacement}{X/X_{\mathrm{st}}} = 1.28\$

振幅

$\htmlClass{q-displacement}{X} = 6.42\ \mathrm{mm}$

位相の遅れ

$\htmlClass{q-flow}{\phi} = 3.47^\circ$

途中の計算（導出）を見る

1. 固有振動数（外から揺すらないときの振動数）

   $$\htmlClass{q-flow}{f_n} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\htmlClass{q-material}{k}}{\htmlClass{q-material}{m}}} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{800}{2}} = 3.18\ \mathrm{Hz}$$

2. 振動数比（揺する速さが、固有振動数の何倍か）

   $$r = \dfrac{\htmlClass{q-flow}{f}}{\htmlClass{q-flow}{f_n}} = \dfrac{1.5}{3.18} = 0.471$$

3. 静かに押したときの変位（同じ力でゆっくり押す）

   $$\htmlClass{q-displacement}{X_{\mathrm{st}}} = \dfrac{\htmlClass{q-force}{F_0}}{\htmlClass{q-material}{k}} = \dfrac{4}{800} = 5\ \mathrm{mm}$$

4. 振幅倍率

   $$\dfrac{\htmlClass{q-displacement}{X}}{\htmlClass{q-displacement}{X_{\mathrm{st}}}} = \dfrac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\htmlClass{q-material}{\zeta}\,r)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{(1-0.471^2)^2 + (2 \times 0.05 \times 0.471)^2}} = 1.28$$

5. 振幅

   $$\htmlClass{q-displacement}{X} = \dfrac{\htmlClass{q-displacement}{X}}{\htmlClass{q-displacement}{X_{\mathrm{st}}}} \times \htmlClass{q-displacement}{X_{\mathrm{st}}} = 1.28 \times 5 = 6.42\ \mathrm{mm}$$

6. 位相の遅れ（力の山から、ゆれの山までの遅れ。分母が負なら 90° をこえる）

   $$\htmlClass{q-flow}{\phi} = \tan^{-1}\dfrac{2\htmlClass{q-material}{\zeta}\,r}{1-r^2} = \tan^{-1}\dfrac{2 \times 0.05 \times 0.471}{1-0.471^2} = 3.47^\circ$$

よくある勘違い

「共振すると、ゆれはどこまでも大きくなる」

ダンパ（減衰）がまったく無ければ、式の上では、振幅倍率は無限大です。でも、本物の機械には、必ず少し減衰があります。ゆれが大きくなるほど、ダンパが奪うエネルギーが増えるので、振幅は 1/(2ζ) 倍で止まります。

止まるといっても、ζ = 0.01 なら50倍です。盤で ζ を 0.01 にして、揺する速さを 3.18 Hz に合わせると、振幅は約 250 mm になります。減衰の小さい物ほど、共振は危険です。

「速く揺するほど、大きく揺れる」

山があるのは、固有振動数のところだけです。それより速く揺すると、振幅は小さくなり、√2倍をこえると、静かに押したときより小さくなります。速く揺すると、おもりの「動き続けようとする」が勝ち、力についていけないからです。

「固有振動数」と「揺する振動数」

似た言葉なので、分けておきます。

共振は、この2つが一致したときに起きます。

この公式が使える条件

• ゆれが小さく、ばねの力が伸びに比例する範囲
• ダンパの力が、おもりの速さに比例する（粘性減衰）
• 揺する力の振幅 $\skrFZero$ が、振動数によらず一定（回転の不つり合いのように、速く回すほど力が大きくなる場合は、回転体の不つり合い で扱います）
• 揺すり始めのゆれが消えたあとの、定常のゆれだけを見る（シミュレータは、揺すり始めのゆれも描くが、すぐに定常のゆれだけになる）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

運動方程式：おもりにかかる力は、ばねの力 $-\skrk\,x$、ダンパの力 $-\skrc\,\dot{x}$、外からの力 $\skrFZero\sin\skrOmega t$ です。

$$\skrm\,\ddot{x} + \skrc\,\dot{x} + \skrk\,x = \skrFZero \sin \skrOmega t$$

定常のゆれを入れる：$x = \skrX\sin(\skrOmega t - \sksPhi)$ とおきます。$\theta = \skrOmega t - \sksPhi$ と書くと、

$$\dot{x} = \skrOmega\skrX\cos\theta,\qquad \ddot{x} = -\skrOmega^2\skrX\sin\theta$$

左辺に入れると、$\sin\theta$ の項と $\cos\theta$ の項に分かれます。

$$(\skrk - \skrm\skrOmega^2)\skrX\sin\theta + \skrc\,\skrOmega\skrX\cos\theta = \skrFZero\sin(\theta + \sksPhi)$$

右辺を $\sin(\theta + \sksPhi) = \sin\theta\cos\sksPhi + \cos\theta\sin\sksPhi$ と開いて、$\sin\theta$ どうし、$\cos\theta$ どうしを等しくおきます。

$$(\skrk - \skrm\skrOmega^2)\skrX = \skrFZero\cos\sksPhi,\qquad \skrc\,\skrOmega\skrX = \skrFZero\sin\sksPhi$$

2つを2乗して足すと、$\cos^2 + \sin^2 = 1$ で $\sksPhi$ が消えます。割ると $\tan\sksPhi$ が出ます。

$$\skrX = \dfrac{\skrFZero}{\sqrt{(\skrk - \skrm\skrOmega^2)^2 + (\skrc\,\skrOmega)^2}},\qquad \tan\sksPhi = \dfrac{\skrc\,\skrOmega}{\skrk - \skrm\skrOmega^2}$$

無次元にする：分母と分子を $\skrk$ で割ります。$\skrm\skrOmega^2/\skrk = \skrOmega^2/\skrOmegaN^2 = r^2$。減衰比の定義 $\skrc = 2\skrZeta\sqrt{\skrm\skrk}$ から、$\skrc\,\skrOmega/\skrk = 2\skrZeta\,\skrOmega\sqrt{\skrm/\skrk} = 2\skrZeta\,r$。$\skrFZero/\skrk = \skrXst$ なので、

$$\dfrac{\skrX}{\skrXst} = \dfrac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\skrZeta r)^2}},\qquad \tan\sksPhi = \dfrac{2\skrZeta r}{1-r^2}$$

エネルギーの釣り合い：1往復で力がする仕事は $\pi\skrFZero\skrX\sin\sksPhi$、ダンパが奪う仕事は $\pi\skrc\,\skrOmega\skrX^2$ です（どちらも $\cos^2$ を1周期で平均すると 1/2 になることから）。上の2つ目の式 $\skrc\,\skrOmega\skrX = \skrFZero\sin\sksPhi$ は、この2つが等しいことと同じです。共振 $r = 1$ では $\sksPhi = 90^\circ$ で、$\skrX = \skrFZero/(\skrc\,\skrOmegaN)$。$\skrc\,\skrOmegaN = 2\skrZeta\skrk$ なので $\skrX/\skrXst = 1/(2\skrZeta)$ です。

山の位置：分母の中身 $(1-r^2)^2 + 4\skrZeta^2 r^2$ を $r^2$ で微分して 0 とおくと、$-2(1-r^2) + 4\skrZeta^2 = 0$、つまり $r^2 = 1 - 2\skrZeta^2$。このときの高さは $1/(2\skrZeta\sqrt{1-\skrZeta^2})$ です。

1倍に戻る点：振幅倍率が 1 になるのは、$(1-r^2)^2 + 4\skrZeta^2r^2 = 1$、つまり $r^2 = 2 - 4\skrZeta^2$ のときです。$\skrZeta$ がどんな値でも $\sqrt{2}$ 以下なので、√2倍より速ければ、必ず 1 倍より小さくなります。