同じ 233 kg の鉄でも、箱なら浮く浮力（鉄の船が浮く理由）

鉄の船は、なぜ浮く？

鉄のくぎを水に落とすと、すぐに沈みます。ところが、港に浮かぶ大きな船も、同じ鉄（鋼）でできています。何万トンもある船が、どうして沈まないのでしょうか。

ここでは、鉄の量をそろえて比べます。1 m 角で、6面とも厚さ 5 mm の鉄板でできた、閉じた箱を考えます。鉄の量は 0.0297 m³、質量は 233 kg です。同じ 233 kg の鉄を、すき間なく固めた塊（一辺 31 cm の立方体）も用意します。

予想してから読む233 kg の鉄を、1 m 角の閉じた箱（板厚 5 mm）にして、真水に入れると、どうなる？

A沈むB23 cm ほど沈んで浮くC半分の 50 cm ほど沈んで浮く

公式はこれ

$$\sfuFb = \sryRho\,\sryG\,\sfuVd$$

右辺の $\sryRho\sfuVd$ は、押しのけた水の質量です。それに $\sryG$ をかけると、押しのけた水の重さになります。だから、浮力 ＝ 押しのけた水の重さ。これをアルキメデスの原理といいます。

浮いている箱では、浮力 2286 N と、箱の重さ 2286 N が釣り合っています。

身代わりの水

なぜ、浮力は押しのけた水の重さと同じになるのでしょうか。

静かな水の中に、箱と同じ形の「水のかたまり」があると思い浮かべてください。まわりと同じ水なので、このかたまりは浮きも沈みもせず、じっとしています。まわりの水が、かたまりの重さをちょうど支えているからです。

次に、かたまりを抜き取って、同じ形の箱を入れます。まわりの水の様子は変わらないので、まわりの水が箱を押す力も、さっきと同じです。つまり、箱が受ける力は「身代わりの水のかたまりの重さ」と同じになります。

まわりの水が押す力の正体は、水の圧力です。静水圧（深さと圧力） で見たとおり、水の圧力は深いほど大きくなります。箱の側面を押す力は、左右で同じ大きさなので打ち消し合います。残るのは、底を下から押し上げる力です。

箱が 23.4 cm 沈んでいるとき、底の圧力（ゲージ圧）は次のとおりです。

$$\sryP = \sryRho\,\sryG\,\sfuD = 998.2 \times 9.807 \times 0.2336 = 2.29\ \mathrm{kPa}$$

これが 1 m² の底を押すので、押し上げる力は 2.29 kPa × 1 m² ＝ 2286 N。押しのけた水 0.234 m³ の重さと、ぴったり同じです。

同じ鉄で、箱と塊を比べる

同じ 233 kg の鉄を、箱と塊にして、真水に入れたときを比べます。

塊が押しのけられるのは、鉄そのものの体積の水だけです。全部沈めても、浮力は 291 N で、重さ 2286 N に届きません。

箱は、中の空気の分まで水を押しのけられます。全部沈めれば 9789 N の浮力が出るので、そこまで沈む必要はありません。重さと同じ 2286 N の浮力が出る所、つまり 0.234 m³ の水を押しのけた所で止まります。底の面積が 1 m² なので、その深さは 23.4 cm です。

$$\sfuD = \dfrac{\sfuM}{\sryRho\,\sfuA^2} = \dfrac{233.2}{998.2 \times 1^2} = 0.2336\ \mathrm{m} = 23.4\ \mathrm{cm}$$

浮くか沈むかは、平均の密度で決まる

鉄の密度は 7850 kg/m³ で、真水（998.2 kg/m³）の 7.86 倍です。鉄だけで比べれば、鉄はいつも沈みます。

箱では、中の空気も一緒に水を押しのけます。そこで、箱の質量を、空気まで含めた外の体積で割った平均の密度で考えます。

$$\sfuRhoAvg = \dfrac{\sfuM}{\sfuA^3} = \dfrac{233.2\ \mathrm{kg}}{1\ \mathrm{m^3}} = 233.2\ \mathrm{kg/m^3}$$

平均の密度が水より小さければ浮き、大きければ沈みます。1 m 角の箱の板を厚くしていくと、平均の密度は次のように増えます。

22 mm の箱は、水面の上に 7 mm しか出ていません。23 mm にすると、平均の密度が水を超えて、沈みます。

公式を、3つのかたまりに分けて読む

$$\sfuFb = \underbrace{\sryRho}_{\text{何の液体か}}\;\underbrace{\sryG}_{\text{重さに直す}}\;\underbrace{\sfuVd}_{\text{どれだけ押しのけたか}}$$

1. 水の密度 $\sryRho$　入れる液体で決まります。海水（1025 kg/m³）は真水より 2.7% 重いので、同じ体積を押しのけても、浮力は 2.7% 大きくなります。
2. 重力加速度 $\sryG$　押しのけた水の質量を、重さ（力）に直す数です。
3. 押しのけた体積 $\sfuVd$　水の中にある部分の体積です。物が何でできているかは入っていません。鉄でも木でも、同じ形で同じだけ沈めば、浮力は同じです。

浮くか沈むかを決めるのは、材料ではなく、形でした。材料が効くのは、重さの側だけです。

どの数字がいちばん効く？

1 m 角・板厚 5 mm の箱が真水に浮いているときから、それぞれの数字を 10% 変えると、沈む深さは次のように変わります。

意外なのは、箱の大きさがほとんど効かないことです。2 m 角にしても、0.5 m 角にしても、板厚 5 mm なら、沈む深さは約 23 cm のままです。

鉄の船に戻る

大きな鉄の船が浮くのは、船体が、中に広い空間をかかえた箱の形をしているからです。鉄の量に比べて、ずっと大きな体積の水を押しのけられます。船の平均の密度は、水よりずっと小さくなっています。

荷物を積むと、船は重くなります。重くなった分だけ多くの水を押しのけるまで、深く沈みます。

川から海へ出ると、船は少し浮き上がります。1 m 角の箱なら、真水で 23.4 cm 沈んでいたのが、海水では 22.7 cm になります。海水は重いので、同じ重さの水を、少ない体積で押しのけられるからです。

動かしてみよう

はじめは、1 m 角・板厚 5 mm の箱が、真水に浮いています。青の破線で囲んだ所が、押しのけた水です。右の2本の矢印（重さと浮力）は、同じ長さになっています。

鉄の形を「塊」に替えると、塊は底へ沈み、浮力の矢印が短くなります。鉄板の厚さ $\sfuT$ を厚くしていくと、箱は深く沈み、下の平均の密度の目盛りが、水の印に近づきます。

水の種類を「海水」に替えると、沈む深さが少しだけ浅くなります。

シミュレータスライダーを動かすと、図と答えが、その場で変わります初期値に戻す

試してみよう0 / 3

1. 1水の種類を「海水」に替えて、沈む深さ d が真水のときの 23.4 cm からどう変わるか見る（箱・1 m・5 mm のまま）（まだ）
2. 2鉄の形を「塊」にして、重さの矢印と浮力の矢印を比べる（真水・1 m・5 mm のまま）（まだ）
3. 3箱のまま、鉄板の厚さ t を 23 mm まで厚くして、平均の密度の目盛りを見る（真水・1 m）（まだ）

形鉄の形

箱（中は空気）塊（同じ量の鉄）

水水の種類

真水（淡水）海水

a箱の一辺（外のり）−m＋

t鉄板の厚さ−mm＋

初期値の図を薄く重ねるいまの図を残して比べる沈む深さは、初期値の ×1

図を拡大する（横にずらして見る）

いまの式（数字を入れた形）

$$\htmlClass{q-geometry}{d} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{m}}{\htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-geometry}{a}^2}$$$$= \dfrac{233}{998.2 \times 1^2}$$$$= 23.4\ \mathrm{cm}$$

沈む深さ

$\htmlClass{q-geometry}{d} = 23.4\ \mathrm{cm}$

鉄の体積

$\htmlClass{q-geometry}{V_{\text{鉄}}} = 0.0297\ \mathrm{m^3}$

鉄の質量

$\htmlClass{q-material}{m} = 233\ \mathrm{kg}$

重さ

$\htmlClass{q-force}{W} = 2{,}286\ \mathrm{N}$

全部沈めたときの浮力

$\htmlClass{q-force}{F_{B\max}} = 9{,}789\ \mathrm{N}$

浮力

$\htmlClass{q-force}{F_B} = 2{,}286\ \mathrm{N}$

押しのけた水の体積

$\htmlClass{q-geometry}{V} = 0.234\ \mathrm{m^3}$

平均の密度（中の空気を含む）

$\htmlClass{q-material}{\bar{\rho}} = 233.2\ \mathrm{kg/m^3}$

途中の計算（導出）を見る

1. 鉄板の体積（外の立方体から、中の空気の立方体を引く）

   $$\htmlClass{q-geometry}{V_{\text{鉄}}} = \htmlClass{q-geometry}{a}^3 - (\htmlClass{q-geometry}{a} - 2\htmlClass{q-geometry}{t})^3 = 1^3 - (1 - 2 \times 0.005)^3 = 0.0297\ \mathrm{m^3}$$

2. 鉄の質量と重さ

   $$\htmlClass{q-force}{W} = \htmlClass{q-material}{\rho_{\text{鉄}}}\,\htmlClass{q-geometry}{V_{\text{鉄}}}\,\htmlClass{q-geometry}{g} = 7850 \times 0.0297 \times 9.807 = 2{,}286\ \mathrm{N}\ (233\ \mathrm{kg})$$

3. 箱を全部沈めたときの浮力（中の空気の分まで、水を押しのける）

   $$\htmlClass{q-force}{F_{B\max}} = \htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-geometry}{g}\,\htmlClass{q-geometry}{a}^3 = 998.2 \times 9.807 \times 1^3 = 9{,}789\ \mathrm{N}$$

4. 浮く。重さと同じ重さの水を押しのけた所で止まる。沈む深さ

   $$\htmlClass{q-geometry}{d} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{m}}{\htmlClass{q-material}{\rho}\,\htmlClass{q-geometry}{a}^2} = \dfrac{233}{998.2 \times 1^2} = 23.4\ \mathrm{cm}$$

5. 平均の密度（中の空気まで含めた重さ ÷ 外の体積）。水より小さければ浮く

   $$\htmlClass{q-material}{\bar{\rho}} = \dfrac{\htmlClass{q-material}{m}}{\htmlClass{q-geometry}{a}^3} = \dfrac{233}{1} = 233\ \mathrm{kg/m^3}$$

よくある勘違い

「重い物は沈み、軽い物は浮く」

浮くか沈むかを決めるのは、重さではなく、平均の密度です。

233 kg の箱は浮き、数 g のくぎは沈みます。

「深く沈めるほど、浮力は大きくなる」

水面から下に沈んでいく間は、押しのける水が増えるので、浮力も増えます。でも、全部沈んだあとは、どれだけ深く沈めても、押しのける水の体積は同じです。浮力も変わりません。深い所では、上の面を押す圧力も、下の面を押す圧力も、同じだけ増えるからです。

「浮力は、物の重さで決まる」

浮力を決めるのは、物の重さではなく、押しのけた水です。浮いている物では、たまたま浮力と重さが同じになっていますが、それは押しのける水の量が、重さに合わせて決まった結果です。沈んだ塊では、浮力（291 N）は重さ（2286 N）よりずっと小さくなります。

この公式が使える条件

• 水（液体）が止まっている（流れや波がない）
• 水は押し縮められない（深くなっても、密度が同じ）
• 物が水の中で動いていない（動いていると、水の抵抗が加わる）
• 箱の中の空気の重さは考えない（1 m³ の空気は約 1.2 kg で、箱の 233 kg に比べて小さい）
• 箱は傾かずに、まっすぐ浮いているとする（傾いて倒れるかどうかは、別に考える）

式の導き方（くわしく知りたい人へ）

水の圧力で導く：底の面積 $\sryA$、高さ $\sryH$ の柱が、水の中に縦に沈んでいるとします。上の面は深さ $z_1$、下の面は深さ $z_2 = z_1 + \sryH$ にあります。

静水圧（深さと圧力） の $\sryP = \sryRho\sryG z$ から、上の面は下向きに $\sryRho\sryG z_1 \sryA$、下の面は上向きに $\sryRho\sryG z_2 \sryA$ の力で押されます。側面を押す力は、向かい合う面どうしで打ち消し合います。

上向きの力から下向きの力を引くと、

$$\sfuFb = \sryRho\sryG z_2 \sryA - \sryRho\sryG z_1 \sryA = \sryRho\sryG (z_2 - z_1)\sryA = \sryRho\sryG\,\sryA\sryH$$

$\sryA\sryH$ は柱の体積、つまり押しのけた水の体積 $\sfuVd$ です。$z_1$ が消えたので、全部沈んだあとは、深さによらないことも分かります。

柱が水面から一部だけ出ているときは、上の面は空気の中で、ゲージ圧は 0 です。水の中にある深さを $\sfuD$ とすると、$\sfuFb = \sryRho\sryG\sryA\sfuD$。水の中の部分の体積が $\sryA\sfuD$ なので、やはり押しのけた水の重さです。

どんな形の物も、細い縦の柱の集まりと考えれば、柱ごとに同じことが言えます。足し合わせると、物全体で $\sfuFb = \sryRho\sryG\sfuVd$ になります。

沈む深さ：浮いている箱では、浮力 ＝ 重さです。

$$\sryRho\sryG\,\sfuA^2\sfuD = \sfuM\sryG \qquad\Longrightarrow\qquad \sfuD = \dfrac{\sfuM}{\sryRho\,\sfuA^2}$$

両辺の $\sryG$ は消えます。

浮くか沈むかの境目：全部沈めたときの浮力 $\sryRho\sryG\sfuA^3$ が、重さ $\sfuM\sryG$ と同じになる所です。$\sfuM / \sfuA^3 = \sryRho$、つまり平均の密度が水と同じになる所です。1 m 角の閉じた箱では、

$$7850 \times \left(1 - (1 - 2\sfuT)^3\right) = 998.2 \qquad\Longrightarrow\qquad \sfuT = 22.2\ \mathrm{mm}$$